Rappels équations et inéquations 2nde : Identités remarquables

Exercice 1 / 6

Reconnaître Sans résoudre

✓ Vu

Pour chaque expression, indiquer quelle identité remarquable (①②③) s'applique, puis donner sa forme factorisée (on ne demande pas de résoudre d'équation).

a)

\(x^2+8x+16\)

b)

\(x^2-14x+49\)

c)

\(x^2-64\)

d)

\(9x^2+12x+4\)

e)

\(4x^2-25\)

f)

\(25x^2-20x+4\)

💡 Indices

Cherche d'abord les deux carrés parfaits \(a^2\) et \(b^2\) (aux extrémités), puis regarde le terme du milieu pour choisir entre ① et ②. S'il n'y a que deux termes séparés par un « moins », c'est ③.

Ici \(a\) n'est pas \(x\) mais un multiple de \(x\) (par exemple \(3x\) ou \(5x\)) : cherche sa racine carrée comme pour un nombre.

a) \(x^2+8x+16\)

\(a=x\), \(b=4\) (\(4^2=16\)), terme du milieu \(+2\times x\times4=+8x\) ✓

Identité ①\(x^2+8x+16 = (x+4)^2\)

b) \(x^2-14x+49\)

\(a=x\), \(b=7\) (\(7^2=49\)), terme du milieu \(-2\times x\times7=-14x\) ✓

Identité ②\(x^2-14x+49 = (x-7)^2\)

c) \(x^2-64\)

\(a=x\), \(b=8\) (\(8^2=64\)), pas de terme du milieu, juste une soustraction ✓

Identité ③\(x^2-64 = (x+8)(x-8)\)

d) \(9x^2+12x+4\)

\(a=3x\) (\((3x)^2=9x^2\)), \(b=2\) (\(2^2=4\)), terme du milieu \(2\times3x\times2=+12x\) ✓

Identité ①\(9x^2+12x+4 = (3x+2)^2\)

e) \(4x^2-25\)

\(a=2x\) (\((2x)^2=4x^2\)), \(b=5\) (\(5^2=25\)), pas de terme du milieu ✓

Identité ③\(4x^2-25 = (2x+5)(2x-5)\)

f) \(25x^2-20x+4\)

\(a=5x\) (\((5x)^2=25x^2\)), \(b=2\) (\(2^2=4\)), terme du milieu \(-2\times5x\times2=-20x\) ✓

Identité ②\(25x^2-20x+4 = (5x-2)^2\)

⚠ Point de vigilance : vérifie toujours le terme du milieu par le calcul \(2ab\) — deux expressions qui « ressemblent » à une identité remarquable peuvent ne pas en être une si ce terme ne correspond pas.

Exercice 2 / 6

Identité ① Carré d'une somme

✓ Vu

Factoriser à l'aide de l'identité ①, puis résoudre chaque équation.

a) \(x^2+8x+16=0\)

b) \(x^2+12x+36=0\)

c) \(25x^2+10x+1=0\)

d) \(9x^2+30x+25=0\)

💡 Indices

Une fois factorisé en \((a+b)^2=0\), il n'y a qu'une seule solution : \(a+b=0\).

Identité ① : \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\).

a) \(x^2+8x+16=0\)

\(a=x\), \(b=4\) : \(x^2+8x+16=(x+4)^2\).

\((x+4)^2 = 0\)

\(x\) \(+4\) \(= 0\)

\(-4\)

\(x = -4\)

Solution unique : \(x = -4\)

b) \(x^2+12x+36=0\)

\(a=x\), \(b=6\) : \(x^2+12x+36=(x+6)^2\).

\((x+6)^2 = 0\)

\(x\) \(+6\) \(= 0\)

\(-6\)

\(x = -6\)

Solution unique : \(x = -6\)

c) \(25x^2+10x+1=0\)

\(a=5x\), \(b=1\) : \(25x^2+10x+1=(5x+1)^2\).

\((5x+1)^2 = 0\)

\(5x\) \(+1\) \(= 0\)

\(-1\)

5\(x = -1\)

\(\div 5\)

\(x = -0{,}2\)

Solution unique : \(x = -0{,}2\)

d) \(9x^2+30x+25=0\)

\(a=3x\), \(b=5\) : \(9x^2+30x+25=(3x+5)^2\).

\((3x+5)^2 = 0\)

\(3x\) \(+5\) \(= 0\)

\(-5\)

3\(x = -5\)

\(\div 3\)

\(x = -\dfrac{5}{3}\)

Solution unique : \(x = -\dfrac{5}{3}\)

⚠ À retenir : une équation qui se factorise en \((a+b)^2=0\) n'a toujours qu'une seule solution.

Exercice 3 / 6

Identité ② Carré d'une différence

✓ Vu

Factoriser à l'aide de l'identité ②, puis résoudre chaque équation.

a) \(x^2-8x+16=0\)

b) \(x^2-14x+49=0\)

c) \(16x^2-8x+1=0\)

d) \(4x^2-20x+25=0\)

💡 Indices

Comme pour l'identité ①, une fois factorisé en \((a-b)^2=0\), il n'y a qu'une seule solution : \(a-b=0\).

Identité ② : \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\).

a) \(x^2-8x+16=0\)

\(a=x\), \(b=4\) : \(x^2-8x+16=(x-4)^2\).

\((x-4)^2 = 0\)

\(x\) \(-4\) \(= 0\)

\(+4\)

\(x = 4\)

Solution unique : \(x = 4\)

b) \(x^2-14x+49=0\)

\(a=x\), \(b=7\) : \(x^2-14x+49=(x-7)^2\).

\((x-7)^2 = 0\)

\(x\) \(-7\) \(= 0\)

\(+7\)

\(x = 7\)

Solution unique : \(x = 7\)

c) \(16x^2-8x+1=0\)

\(a=4x\), \(b=1\) : \(16x^2-8x+1=(4x-1)^2\).

\((4x-1)^2 = 0\)

\(4x\) \(-1\) \(= 0\)

\(+1\)

4\(x = 1\)

\(\div 4\)

\(x = 0{,}25\)

Solution unique : \(x = 0{,}25\)

d) \(4x^2-20x+25=0\)

\(a=2x\), \(b=5\) : \(4x^2-20x+25=(2x-5)^2\).

\((2x-5)^2 = 0\)

\(2x\) \(-5\) \(= 0\)

\(+5\)

2\(x = 5\)

\(\div 2\)

\(x = 2{,}5\)

Solution unique : \(x = 2{,}5\)

Exercice 4 / 6

Identité ③ Différence de carrés

✓ Vu

Factoriser à l'aide de l'identité ③, puis résoudre chaque équation.

a) \(x^2-81=0\)

b) \(x^2-4=0\)

c) \(9x^2-16=0\)

d) \(16x^2-9=0\)

💡 Indices

Une fois factorisé en \((a+b)(a-b)=0\), applique la règle du produit nul : deux facteurs, donc deux équations à résoudre séparément.

Identité ③ : \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) — toujours deux solutions.

a) \(x^2-81=0\)

\(a=x\), \(b=9\) : \(x^2-81=(x+9)(x-9)\).

1er facteur = 0

\(x+9=0\)

\(x = -9\)

2e facteur = 0

\(x-9=0\)

\(x = 9\)

Solutions\(x = -9\) et \(x = 9\).

b) \(x^2-4=0\)

\(a=x\), \(b=2\) : \(x^2-4=(x+2)(x-2)\).

1er facteur = 0

\(x+2=0\)

\(x = -2\)

2e facteur = 0

\(x-2=0\)

\(x = 2\)

Solutions\(x = -2\) et \(x = 2\).

c) \(9x^2-16=0\)

\(a=3x\), \(b=4\) : \(9x^2-16=(3x+4)(3x-4)\).

1er facteur = 0

\(3x\) \(+4\) \(= 0\)

\(-4\)

3\(x = -4\)

\(\div 3\)

\(x = -\dfrac{4}{3}\)

2e facteur = 0

\(3x\) \(-4\) \(= 0\)

\(+4\)

3\(x = 4\)

\(\div 3\)

\(x = \dfrac{4}{3}\)

Solutions\(x = -\dfrac{4}{3}\) et \(x = \dfrac{4}{3}\).

d) \(16x^2-9=0\)

\(a=4x\), \(b=3\) : \(16x^2-9=(4x+3)(4x-3)\).

1er facteur = 0

\(4x\) \(+3\) \(= 0\)

\(-3\)

4\(x = -3\)

\(\div 4\)

\(x = -0{,}75\)

2e facteur = 0

\(4x\) \(-3\) \(= 0\)

\(+3\)

4\(x = 3\)

\(\div 4\)

\(x = 0{,}75\)

Solutions\(x = -0{,}75\) et \(x = 0{,}75\).

⚠ À retenir : une équation qui se factorise en \((a+b)(a-b)=0\) a toujours deux solutions opposées.

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques

✓ Vu

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, et corriger si nécessaire.

a) \(x^2+2x+1\) est un carré parfait égal à \((x+1)^2\).

b) \(x^2-6x+9\) se factorise en \((x-3)(x+3)\).

c) Pour reconnaître une identité remarquable, il faut vérifier le terme du milieu (le terme croisé).

d) \(x^2-49\) se factorise en \((x-7)^2\).

e) L'équation \((x+5)^2=0\) a deux solutions distinctes, \(x=5\) et \(x=-5\).

f) \(x^2-16=0\) a deux solutions car c'est une différence de carrés.

💡 Indices

Compte le nombre de termes dans l'expression de départ : un carré parfait comme \((x-3)^2\) redéveloppé a 3 termes, alors qu'une différence de carrés n'en a que 2.

\((x+5)^2=0\) est de la forme \((a+b)^2=0\), qui n'a qu'une seule solution.

a) \(x^2+2x+1 = (x+1)^2\)

✓ VRAI — \(a=x\), \(b=1\), terme du milieu \(2\times x\times1=2x\) ✓ (identité ①).

b) \(x^2-6x+9 = (x-3)(x+3)\)

❌ FAUX — \(x^2-6x+9\) a un terme du milieu (\(-6x\)) : c'est l'identité ②, donc \(x^2-6x+9=(x-3)^2\), pas une différence de carrés.

c) Il faut vérifier le terme du milieu

✓ VRAI — c'est ce terme croisé (\(2ab\) ou \(-2ab\)) qui confirme qu'on a bien affaire à une identité ① ou ②.

d) \(x^2-49 = (x-7)^2\)

❌ FAUX — \(x^2-49\) n'a pas de terme du milieu : c'est une différence de carrés (identité ③), donc \(x^2-49=(x+7)(x-7)\).

e) \((x+5)^2=0\) a deux solutions, \(x=5\) et \(x=-5\)

❌ FAUX — un carré parfait égal à 0 n'a qu'une seule solution : \(x+5=0\), donc \(x=-5\).

f) \(x^2-16=0\) a deux solutions car c'est une différence de carrés

✓ VRAI — \(x^2-16=(x+4)(x-4)\), donc \(x=-4\) ou \(x=4\).

⚠ À retenir : un carré parfait \((a\pm b)^2=0\) donne toujours une solution, tandis qu'une différence de carrés \((a+b)(a-b)=0\) en donne toujours deux.

Exercice 6 / 6

Bilan Les 3 identités mélangées

✓ Vu

Pour chaque équation, identifier l'identité remarquable applicable, factoriser, puis résoudre.

a) \(x^2+10x+25=0\)

b) \(x^2-100=0\)

c) \(x^2-18x+81=0\)

d) \(4x^2-1=0\)

💡 Indices

Repère d'abord \(a\) et \(b\) (les deux carrés parfaits), puis regarde s'il y a un terme du milieu et quel est son signe pour choisir la bonne identité.

a) \(x^2+10x+25=0\)

\(a=x\), \(b=5\), terme du milieu \(+10x\) ✓

Identité ①\(x^2+10x+25=(x+5)^2\)

\((x+5)^2=0\)

\(x+5=0\)

\(x = -5\)

Solution unique : \(x = -5\)

b) \(x^2-100=0\)

\(a=x\), \(b=10\), pas de terme du milieu ✓

Identité ③\(x^2-100=(x+10)(x-10)\)

1er facteur = 0

\(x+10=0\)

\(x=-10\)

2e facteur = 0

\(x-10=0\)

\(x=10\)

Solutions\(x=-10\) et \(x=10\).

c) \(x^2-18x+81=0\)

\(a=x\), \(b=9\), terme du milieu \(-18x\) ✓

Identité ②\(x^2-18x+81=(x-9)^2\)

\((x-9)^2=0\)

\(x-9=0\)

\(x = 9\)

Solution unique : \(x = 9\)

d) \(4x^2-1=0\)

\(a=2x\), \(b=1\), pas de terme du milieu ✓

Identité ③\(4x^2-1=(2x+1)(2x-1)\)

1er facteur = 0

2\(x = -1\)

\(x = -0{,}5\)

2e facteur = 0

2\(x = 1\)

\(x = 0{,}5\)

Solutions\(x=-0{,}5\) et \(x=0{,}5\).

💡 Bilan : repérer la bonne identité est la clé — une fois l'expression factorisée, il ne reste plus qu'à appliquer le produit nul (une ou deux solutions selon le cas).