Inéquations du premier degré

Chapitre 4 — Équations & Inéquations — Feuille n°7 — 2nde

⚠ Sens inversé 📏 Intervalles → Droite numérique

📌 La règle cruciale à connaître

On résout une inéquation comme une équation, avec la méthode des flèches, sauf pour une règle supplémentaire :

Nombre positif
Multiplier ou diviser par un nombre positif : le sens ne change pas.
⚠ Nombre négatif
Multiplier ou diviser par un nombre négatif : le sens de l'inégalité s'inverse !

Écriture des solutions en intervalle

\(x > a\) ou \(x \geq a\) \(\;]a\,;+\infty[\) ou \(\;[a\,;+\infty[\)
Crochet Fermé \([\;]\) si borne incluse (\(\leq,\geq\)), ouvert \(]\;[\) si exclue (\(<,>\))
\(x < a\) ou \(x \leq a\) \(\;]-\infty\,;a[\) ou \(\;]-\infty\,;a]\)
Corrections vues :
0 / 7

Exercice 1 / 7

Sens conservé Coefficients positifs
✓ Vu

Résoudre chacune des inéquations suivantes.

a)
\(x+5 > 12\)
b)
\(3x-2 \leq 10\)
c)
\(2x+7 < 15\)
d)
\(x-6 \geq -2\)
e)
\(4x+1 > 21\)
f)
\(5x-3 \leq 22\)

💡 Indices

Applique la méthode des flèches comme pour une équation : ici, on ne multiplie ni ne divise par un nombre négatif, donc le sens de l'inégalité ne change jamais.
Règle : tant qu'on additionne, soustrait, multiplie ou divise par un nombre positif, le sens de l'inégalité ne change pas.
a) \(x+5 > 12\)
\(x\) \(+5\) \(\;>\; 12\)
\(-5\)
\(-5\)
\(x \;>\; 7\)
\(x > 7\), soit \(\;]7\,;+\infty[\)
b) \(3x-2 \leq 10\)
\(3x\) \(-2\) \(\;\leq\; 10\)
\(+2\)
\(+2\)
3\(x \;\leq\; 12\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x \;\leq\; 4\)
\(x \leq 4\), soit \(\;]-\infty\,;4]\)
c) \(2x+7 < 15\)
\(2x\) \(+7\) \(\;<\; 15\)
\(-7\)
\(-7\)
2\(x \;<\; 8\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x \;<\; 4\)
\(x < 4\), soit \(\;]-\infty\,;4[\)
d) \(x-6 \geq -2\)
\(x\) \(-6\) \(\;\geq\; -2\)
\(+6\)
\(+6\)
\(x \;\geq\; 4\)
\(x \geq 4\), soit \(\;[4\,;+\infty[\)
e) \(4x+1 > 21\)
\(4x\) \(+1\) \(\;>\; 21\)
\(-1\)
\(-1\)
4\(x \;>\; 20\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(x \;>\; 5\)
\(x > 5\), soit \(\;]5\,;+\infty[\)
f) \(5x-3 \leq 22\)
\(5x\) \(-3\) \(\;\leq\; 22\)
\(+3\)
\(+3\)
5\(x \;\leq\; 25\)
\(\div 5\)
\(\div 5\)
\(x \;\leq\; 5\)
\(x \leq 5\), soit \(\;]-\infty\,;5]\)

Exercice 2 / 7

⚠ Sens inversé Division par un négatif
✓ Vu

Résoudre chacune des inéquations suivantes. Attention à l'inversion du sens !

a)
\(-2x > 8\)
b)
\(-3x \leq 9\)
c)
\(-x+4 < 10\)
d)
\(-5x-2 \geq 13\)
e)
\(7-2x > 1\)
f)
\(-4x+6 \leq -2\)

💡 Indices

Dès que tu divises (ou multiplies) par un nombre négatif pour isoler \(x\), n'oublie pas de retourner le symbole d'inégalité : \(<\) devient \(>\), \(\leq\) devient \(\geq\) (et inversement).
⚠ Règle cruciale : diviser ou multiplier par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
a) \(-2x > 8\)
\(-2\)\(x \;>\; 8\)
\(\div(-2)\)
\(\div(-2)\)
⚠️ On divise par −2 : le sens \(>\) devient \(<\)
\(x \;<\; -4\)
\(x < -4\), soit \(\;]-\infty\,;-4[\)
b) \(-3x \leq 9\)
\(-3\)\(x \;\leq\; 9\)
\(\div(-3)\)
\(\div(-3)\)
⚠️ On divise par −3 : le sens \(\leq\) devient \(\geq\)
\(x \;\geq\; -3\)
\(x \geq -3\), soit \(\;[-3\,;+\infty[\)
c) \(-x+4 < 10\)
\(-x\) \(+4\) \(\;<\; 10\)
\(-4\)
\(-4\)
\(-1\)\(x \;<\; 6\)
\(\div(-1)\)
\(\div(-1)\)
⚠️ On divise par −1 : le sens \(<\) devient \(>\)
\(x \;>\; -6\)
\(x > -6\), soit \(\;]-6\,;+\infty[\)
d) \(-5x-2 \geq 13\)
\(-5x\) \(-2\) \(\;\geq\; 13\)
\(+2\)
\(+2\)
\(-5\)\(x \;\geq\; 15\)
\(\div(-5)\)
\(\div(-5)\)
⚠️ On divise par −5 : le sens \(\geq\) devient \(\leq\)
\(x \;\leq\; -3\)
\(x \leq -3\), soit \(\;]-\infty\,;-3]\)
e) \(7-2x > 1\)
7 \(- 2x \;>\; 1\)
\(-7\)
\(-7\)
\(-2\)\(x \;>\; -6\)
\(\div(-2)\)
\(\div(-2)\)
⚠️ On divise par −2 : le sens \(>\) devient \(<\)
\(x \;<\; 3\)
\(x < 3\), soit \(\;]-\infty\,;3[\)
f) \(-4x+6 \leq -2\)
\(-4x\) \(+6\) \(\;\leq\; -2\)
\(-6\)
\(-6\)
\(-4\)\(x \;\leq\; -8\)
\(\div(-4)\)
\(\div(-4)\)
⚠️ On divise par −4 : le sens \(\leq\) devient \(\geq\)
\(x \;\geq\; 2\)
\(x \geq 2\), soit \(\;[2\,;+\infty[\)
⚠ À retenir : c'est uniquement la multiplication ou division par un négatif qui inverse le sens — additionner ou soustraire ne change jamais rien, même avec un nombre négatif.

Exercice 3 / 7

x des deux côtés Regrouper puis diviser
✓ Vu

Résoudre chacune des inéquations suivantes, où l'inconnue apparaît des deux côtés.

a) \(3x+2 > x+8\)
b) \(5x-1 \leq 2x+11\)
c) \(2x+9 < 5x-3\)
d) \(x+10 \geq 4x-2\)

💡 Indices

Regroupe les termes en \(x\) d'un côté (en éliminant le terme en \(x\) de l'autre membre), puis les nombres de l'autre. Vérifie bien le signe du coefficient final avant de diviser.
a) \(3x+2 > x+8\)
\(3x+2 \;>\;\) \(x\) \(+ 8\)
\(-x\)
\(-x\)
\(2x\) \(+2\) \(\;>\; 8\)
\(-2\)
\(-2\)
2\(x \;>\; 6\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x \;>\; 3\)
\(x > 3\), soit \(\;]3\,;+\infty[\)
b) \(5x-1 \leq 2x+11\)
\(5x-1 \;\leq\;\) \(2x\) \(+ 11\)
\(-2x\)
\(-2x\)
\(3x\) \(-1\) \(\;\leq\; 11\)
\(+1\)
\(+1\)
3\(x \;\leq\; 12\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x \;\leq\; 4\)
\(x \leq 4\), soit \(\;]-\infty\,;4]\)
c) \(2x+9 < 5x-3\)

On regroupe les \(x\) à gauche en éliminant le terme de droite (\(5x\)).

\(2x+9 \;<\;\) \(5x\) \(- 3\)
\(-5x\)
\(-5x\)
\(-3x\) \(+9\) \(\;<\; -3\)
\(-9\)
\(-9\)
\(-3\)\(x \;<\; -12\)
\(\div(-3)\)
\(\div(-3)\)
⚠️ On divise par −3 : le sens \(<\) devient \(>\)
\(x \;>\; 4\)
\(x > 4\), soit \(\;]4\,;+\infty[\)
d) \(x+10 \geq 4x-2\)

On regroupe les \(x\) à gauche en éliminant le terme de droite (\(4x\)).

\(x+10 \;\geq\;\) \(4x\) \(- 2\)
\(-4x\)
\(-4x\)
\(-3x\) \(+10\) \(\;\geq\; -2\)
\(-10\)
\(-10\)
\(-3\)\(x \;\geq\; -12\)
\(\div(-3)\)
\(\div(-3)\)
⚠️ On divise par −3 : le sens \(\geq\) devient \(\leq\)
\(x \;\leq\; 4\)
\(x \leq 4\), soit \(\;]-\infty\,;4]\)

Exercice 4 / 7

Droite numérique Écriture en intervalle
✓ Vu

Résoudre chaque inéquation, représenter les solutions sur une droite numérique, puis donner l'intervalle.

a) \(5x-3 \geq 7\)
b) \(-3x+9 > 21\)
c) \(4x-5 < x+7\)

💡 Indices

Un cercle vide ∘ signifie que la borne n'est pas incluse (\(<\) ou \(>\)) ; un disque plein ● signifie qu'elle est incluse (\(\leq\) ou \(\geq\)).
a) \(5x-3 \geq 7\)
\(5x\) \(-3\) \(\;\geq\; 7\)
\(+3\)
\(+3\)
5\(x \;\geq\; 10\)
\(\div 5\)
\(\div 5\)
\(x \;\geq\; 2\)

Représentation sur la droite numérique :

0 2

Disque plein ● en 2 : la borne est incluse (\(\geq\)).

\(x \geq 2\), soit \(\;[2\,;+\infty[\)
b) \(-3x+9 > 21\)
\(-3x\) \(+9\) \(\;>\; 21\)
\(-9\)
\(-9\)
\(-3\)\(x \;>\; 12\)
\(\div(-3)\)
\(\div(-3)\)
⚠️ On divise par −3 : le sens \(>\) devient \(<\)
\(x \;<\; -4\)

Représentation sur la droite numérique :

−4 0

Cercle vide ∘ en −4 : la borne est exclue (\(<\)).

\(x < -4\), soit \(\;]-\infty\,;-4[\)
c) \(4x-5 < x+7\)
\(4x-5 \;<\;\) \(x\) \(+ 7\)
\(-x\)
\(-x\)
\(3x\) \(-5\) \(\;<\; 7\)
\(+5\)
\(+5\)
3\(x \;<\; 12\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x \;<\; 4\)

Représentation sur la droite numérique :

0 4

Cercle vide ∘ en 4 : la borne est exclue (\(<\)).

\(x < 4\), soit \(\;]-\infty\,;4[\)

Exercice 5 / 7

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, et corriger si nécessaire.

a) Pour résoudre \(-3x>12\), on doit diviser par \(-3\) et changer le sens : \(x<-4\).
b) L'inéquation \(x+5>2\) a pour solution \(x>-3\), soit l'intervalle \(]-3\,;+\infty[\).
c) Multiplier les deux membres d'une inéquation par 2 ne change jamais le sens.
d) L'inéquation \(-x \leq 4\) équivaut à \(x \leq -4\).
e) \(x \geq 3\) se note en intervalle \([3\,;+\infty[\), avec un crochet fermé car 3 est inclus.
f) Additionner un nombre négatif aux deux membres d'une inéquation inverse le sens.

💡 Indices

\(-x \leq 4\) revient à diviser par \(-1\). N'oublie pas la règle du sens inversé.
La règle du sens inversé concerne-t-elle l'addition/soustraction, ou seulement la multiplication/division ?
a) \(-3x>12\) donne \(x<-4\)

✓ VRAI — \(12\div(-3)=-4\), et on inverse bien le sens en divisant par un négatif.

b) \(x+5>2\) a pour solution \(x>-3\), soit \(]-3\,;+\infty[\)

✓ VRAI — \(x>2-5=-3\), addition/soustraction ne change pas le sens, et la borne \(-3\) est exclue (\(>\)) donc crochet ouvert.

c) Multiplier par 2 ne change jamais le sens

✓ VRAI — 2 est un nombre positif, donc le sens de l'inégalité est conservé.

d) \(-x \leq 4\) équivaut à \(x \leq -4\)

❌ FAUX — diviser par \(-1\) inverse le sens : \(-x \leq 4\) donne \(x \geq -4\), pas \(x \leq -4\).

e) \(x \geq 3\) se note \([3\,;+\infty[\)

✓ VRAI — la borne \(3\) est incluse (\(\geq\)), donc le crochet est fermé de ce côté ; \(+\infty\) est toujours ouvert.

f) Additionner un négatif inverse le sens

❌ FAUX — seules la multiplication et la division par un nombre négatif inversent le sens. Additionner ou soustraire, même un nombre négatif, ne change jamais rien.

⚠ À retenir : la règle du sens inversé ne s'applique qu'à la multiplication et à la division par un négatif — jamais à l'addition ou à la soustraction.

Exercice 6 / 7

Traduire Sans résoudre
✓ Vu

Pour chaque situation, choisir l'inconnue \(x\) (en précisant ce qu'elle représente), puis écrire l'inéquation correspondante — on ne demande pas de la résoudre.

1) Un forfait téléphonique coûte 20 € par mois plus 0,10 € par appel supplémentaire. On veut que la facture reste inférieure ou égale à 35 €.
2) Une agence de location facture 50 € de forfait plus 0,20 € par km parcouru. Un client dispose d'un budget de 130 €.
3) Pour valider un examen, il faut une moyenne d'au moins 10 sur trois notes : 8, 12 et une troisième note inconnue.

💡 Indices

Commence toujours par écrire clairement ce que représente \(x\) (avec son unité), puis traduis chaque montant ou contrainte un par un avant d'assembler l'inéquation complète.
Une moyenne de trois notes s'écrit \(\dfrac{\text{somme des notes}}{3}\). La contrainte « au moins 10 » se traduit par \(\geq 10\).
1) Forfait téléphonique

Inconnue : on note \(x\) le nombre d'appels supplémentaires.

Traduction : la facture totale est \(20+0{,}10x\) (forfait + coût des appels), qui doit rester \(\leq 35\).

\(20+0{,}10x \leq 35\)
2) Location de véhicule

Inconnue : on note \(x\) le nombre de km parcourus.

Traduction : le coût total est \(50+0{,}20x\) (forfait + coût au km), qui doit rester \(\leq 130\).

\(50+0{,}20x \leq 130\)
3) Moyenne à l'examen

Inconnue : on note \(x\) la troisième note.

Traduction : la moyenne des trois notes est \(\dfrac{8+12+x}{3}\), qui doit être \(\geq 10\).

\(\dfrac{8+12+x}{3} \geq 10\)
⚠ Point de vigilance : une contrainte « au maximum » ou « ne doit pas dépasser » se traduit par \(\leq\), tandis que « au moins » ou « au minimum » se traduit par \(\geq\).

Exercice 7 / 7

Résoudre Interpréter
✓ Vu

Reprendre les inéquations posées à l'exercice 6, les résoudre, puis interpréter le résultat dans son contexte.

1) Combien d'appels supplémentaires peut-on passer au maximum ?
2) Quelle distance maximale le client peut-il parcourir ?
3) Quelle note minimale faut-il obtenir pour valider l'examen ?

💡 Indices

Multiplie d'abord les deux membres par 3 pour éliminer le dénominateur, avant d'isoler \(x\).
1) Forfait téléphonique

Inéquation posée à l'exercice 6 : \(20+0{,}10x \leq 35\).

\(20\) \(+0{,}10x\) \(\;\leq\; 35\)
\(0{,}10x \;\leq\; 15\)
\(x \;\leq\; 150\)
InterprétationLe client peut passer au maximum 150 appels supplémentaires pour rester dans son budget.
2) Location de véhicule

Inéquation posée à l'exercice 6 : \(50+0{,}20x \leq 130\).

\(50\) \(+0{,}20x\) \(\;\leq\; 130\)
\(0{,}20x \;\leq\; 80\)
\(x \;\leq\; 400\)
InterprétationLe client peut parcourir au maximum 400 km avec son budget de 130 €.
3) Moyenne à l'examen

Inéquation posée à l'exercice 6 : \(\dfrac{8+12+x}{3} \geq 10\).

\(\dfrac{8+12+x}{3} \;\geq\; 10\)
\(8+12+x \;\geq\; 30\)
\(20+x \;\geq\; 30\)
\(x \;\geq\; 10\)
InterprétationIl faut obtenir une note d'au moins 10 pour valider l'examen avec une moyenne suffisante.
💡 À retenir : une contrainte de budget, de distance ou de moyenne se traduit naturellement par une inéquation — la résoudre donne directement la valeur maximale ou minimale acceptable.

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