Rappels équations et inéquations 2nde : cours et exercices corri…

I. Résoudre une équation du premier degré à une inconnue

📋 Règle

Pour résoudre une équation, on peut :

•Développer, réduire ou factoriser les deux membres de l'équation
•Additionner ou soustraire les deux membres de l'équation
•Multiplier ou diviser les deux membres de l'équation

💡 Vérification (facultative) : une fois la solution trouvée, on peut la substituer dans l'équation de départ pour contrôler qu'elle est correcte. C'est un bon réflexe pour éviter les erreurs de calcul.

✏️ Exemple

Résoudre l'équation \(5(x - 3) = 3x + 1\).

On commence par développer le membre de gauche.

\(5(x - 3) = 3x + 1\)

On développe :

\(5x - 15 = 3x + 1\)

\(5x - 15 = \) \(3x\) \(+ 1\)

\(-3x\)

\(2x\) \(-15\) \(= 1\)

\(+15\)

\(2\)\(x = 16\)

\(\div 2\)

\(x = 8\)

La solution est \(x = 8\)

✅ Vérification : gauche : \(5 \times (8 - 3) = 5 \times 5 = 25\) | droite : \(3 \times 8 + 1 = 25\) ✓

🧩 Exercice

Résoudre l'équation \(3(2x + 1) = 5x - 4\).

\(3(2x + 1) = 5x - 4\)

On développe :

\(6x + 3 = \) \(5x\) \(- 4\)

\(-5x\)

\(x\) \(+3\) \(= -4\)

\(-3\)

\(x = -7\)

La solution est \(x = -7\)

✅ Vérification : gauche : \(6\times(-7)+3 = -42+3 = -39\) | droite : \(5\times(-7)-4 = -35-4 = -39\) ✓

II. Résoudre une équation avec des quotients

📗 Propriété — Égalité des produits en croix

Quels que soient les nombres \(a, b, c\) et \(d\) (\(b \neq 0\) et \(d \neq 0\)) :

Si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), alors \(ad = bc\)

✏️ Exemple

En utilisant le théorème de Thalès, Lucas trouve l'égalité suivante : \(\dfrac{5}{AB} = \dfrac{3}{2}\). Trouver \(AB\).

On applique l'égalité des produits en croix :

\(\dfrac{5}{AB} = \dfrac{3}{2}\)

Produit en croix :

\(5 \times 2 = 3 \times AB\)

\(\) \(3\) \(\times AB = 10\)

\(\div 3\)

\(AB = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33\)

La solution est \(AB = \dfrac{10}{3}\)

✅ Vérification : \(\dfrac{5}{\,\frac{10}{3}\,} = 5 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}\) ✓

🧩 Exercice

Résoudre l'équation \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{9}{6}\).

\(\dfrac{x}{4} = \dfrac{9}{6}\)

Produit en croix :

\(x \times 6 = 4 \times 9\)

\(6\)\(x = 36\)

\(\div 6\)

\(x = 6\)

La solution est \(x = 6\)

✅ Vérification : \(\dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}\) ✓

2. Équations de la forme \(\dfrac{A(x)}{B(x)} = k\)

📘 Définition — Domaine de définition

Dans une fraction \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\), le dénominateur \(B(x)\) ne peut jamais être égal à zéro (on ne peut pas diviser par zéro).

Le domaine de définition est l'ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles l'expression est bien définie, c'est-à-dire les valeurs de \(x\) telles que \(B(x) \neq 0\).

⚠️ Si la valeur trouvée annule \(B(x)\), elle est à exclure : l'équation n'a pas de solution.

📋 Méthode — Résoudre \(\dfrac{A(x)}{B(x)} = k\)

1 Trouver le domaine de définition : résoudre \(B(x) \neq 0\) pour identifier les valeurs interdites.
2 Multiplier les deux membres par \(B(x)\) (autorisé car \(B(x) \neq 0\) dans le domaine), ce qui supprime le dénominateur.
3 Résoudre l'équation obtenue avec la méthode des flèches.
4 Vérifier que la solution trouvée n'est pas une valeur interdite.

✏️ Exemple 1 — Solution acceptée

Résoudre l'équation \(\dfrac{2x + 1}{x - 3} = 5\).

Étape 1 — Domaine de définition :
Le dénominateur est \(B(x) = x - 3\).
On résout \(x - 3 = 0\), soit \(x = 3\).
➜ La valeur \(x = 3\) est interdite.

Étape 2 — On multiplie les deux membres par \((x - 3)\) :

\(\dfrac{2x + 1}{x - 3} = 5\)

On multiplie chaque membre par \((x - 3)\) :

\(2x + 1 = 5(x - 3)\)

On développe :

\(2x + 1 = 5x - 15\)

Étape 3 — Résolution par la méthode des flèches :

\(2x + 1 = \) \(5x\) \(- 15\)

\(-5x\)

\(-3x\) \(+1\) \(= -15\)

\(-1\)

\(-3\)\(x = -16\)

\(\div (-3)\)

\(x = \dfrac{16}{3}\)

Étape 4 — Vérification du domaine :
La valeur interdite était \(x = 3\). Or \(\dfrac{16}{3} \neq 3\) : la solution est acceptée.

\(x = \dfrac{16}{3}\)

✅ Vérification (facultative) : \(\dfrac{2 \times \frac{16}{3} + 1}{\frac{16}{3} - 3} = \dfrac{\frac{32}{3} + \frac{3}{3}}{\frac{16}{3} - \frac{9}{3}} = \dfrac{\frac{35}{3}}{\frac{7}{3}} = \dfrac{35}{7} = 5\) ✓

✏️ Exemple 2 — Solution exclue ⚠️

Résoudre l'équation \(\dfrac{3x - 9}{x - 3} = 4\).

Étape 1 — Domaine de définition :
Le dénominateur est \(B(x) = x - 3\). On résout \(x - 3 = 0\), soit \(x = 3\).
➜ La valeur \(x = 3\) est interdite.

Étape 2 — On multiplie par \((x - 3)\) :

\(3x - 9 = 4(x - 3)\)

On développe :

\(3x - 9 = 4x - 12\)

Étape 3 — Résolution :

\(3x - 9 = \) \(4x\) \(- 12\)

\(-4x\)

\(-x\) \(-9\) \(= -12\)

\(+9\)

\(-1\)\(x = -3\)

\(\div (-1)\)

\(x = 3\)

Étape 4 — Vérification du domaine :
La valeur interdite était \(x = 3\), et on a trouvé \(x = 3\).
La solution est exclue du domaine : l'équation n'a aucune solution.

✖ Aucune solution La fraction \(\dfrac{3x-9}{x-3}\) n'est pas définie en \(x=3\), donc l'équation est impossible.

🧩 Exercice 1

Résoudre l'équation \(\dfrac{5x - 2}{x + 4} = 3\).

Étape 1 — Domaine :
\(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\). ➜ \(x = -4\) est interdit.

Étape 2 — On multiplie par \((x + 4)\) :

\(5x - 2 = 3(x + 4)\)

On développe :

\(5x - 2 = 3x + 12\)

Étape 3 — Résolution :

\(5x - 2 = \) \(3x\) \(+ 12\)

\(-3x\)

\(2x\) \(-2\) \(= 12\)

\(+2\)

\(2\)\(x = 14\)

\(\div 2\)

\(x = 7\)

Étape 4 — Domaine : \(x = 7 \neq -4\) : solution acceptée ✓

\(x = 7\)

✅ Vérification (facultative) : \(\dfrac{5 \times 7 - 2}{7 + 4} = \dfrac{33}{11} = 3\) ✓

🧩 Exercice 2 — Dénominateur avec coefficient

Résoudre l'équation \(\dfrac{4x + 3}{2x - 1} = 3\).

Étape 1 — Domaine :
On résout \(2x - 1 = 0\) :
\(2x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}\). ➜ \(x = \dfrac{1}{2}\) est interdit.

Étape 2 — On multiplie par \((2x - 1)\) :

\(4x + 3 = 3(2x - 1)\)

On développe :

\(4x + 3 = 6x - 3\)

Étape 3 — Résolution :

\(4x + 3 = \) \(6x\) \(- 3\)

\(-6x\)

\(-2x\) \(+3\) \(= -3\)

\(-3\)

\(-2\)\(x = -6\)

\(\div (-2)\)

\(x = 3\)

Étape 4 — Domaine : \(x = 3 \neq \dfrac{1}{2}\) : solution acceptée ✓

\(x = 3\)

✅ Vérification (facultative) : \(\dfrac{4 \times 3 + 3}{2 \times 3 - 1} = \dfrac{15}{5} = 3\) ✓

III. Modéliser un problème par une équation

📋 Méthode

Pour modéliser une situation à l'aide d'une équation :

1On choisit l'inconnue \(x\) en fonction de ce que l'on cherche
2On traduit les données du problème par une équation
3On résout l'équation
4On interprète le résultat (répondre à la question posée)

✏️ Exemple

Léa a acheté 19 bonbons de 3 parfums différents : à la fraise, à la réglisse et à la menthe. Elle constate qu'elle a 4 bonbons à la menthe, et deux fois plus de bonbons à la réglisse que de bonbons à la fraise. Combien a-t-elle de bonbons à la fraise ?

Étape 1 — Inconnue : On pose \(x\) = nombre de bonbons à la fraise.

Étape 2 — Traduction :
• Bonbons à la fraise : \(x\)
• Bonbons à la réglisse : \(2x\) (deux fois plus)
• Bonbons à la menthe : \(4\)
• Total : \(x + 2x + 4 = 19\)

Étape 3 — Résolution :

\(3x\) \(+4\) \(\;=\; 19\)

\(-4\)

\(3\)\(x \;=\; 15\)

\(\div 3\)

\(x \;=\; 5\)

La solution est \(x = 5\)

Étape 4 — Interprétation :

\(x = 5\) donc Léa a 5 bonbons à la fraise, \(2 \times 5 = 10\) bonbons à la réglisse et 4 à la menthe.

Vérification : \(5 + 10 + 4 = 19\) bonbons au total ✓

🧩 Exercice

Un jardin rectangulaire a un périmètre de 54 m. Sa longueur est le double de sa largeur. Quelles sont les dimensions du jardin ?

Étape 1 — Inconnue : On pose \(x\) = largeur du jardin (en m).

Étape 2 — Traduction :
• Largeur : \(x\)
• Longueur : \(2x\)
• Périmètre : \(2 \times (x + 2x) = 54\), soit \(6x = 54\)

Étape 3 — Résolution :

\(6\)\(x \;=\; 54\)

\(\div 6\)

\(x \;=\; 9\)

La solution est \(x = 9\)

Étape 4 — Interprétation :

La largeur est \(9\text{ m}\) et la longueur est \(2 \times 9 = 18\text{ m}\).

Vérification : \(2 \times (9 + 18) = 2 \times 27 = 54\text{ m}\) ✓

IV. Équations particulières

1. Équations avec produit nul

📗 Propriété

Un produit est nul lorsqu'au moins l'un de ses facteurs est nul.

\(A \times B = 0 \;\Longleftrightarrow\; A = 0 \;\text{ ou }\; B = 0\)

💡 Remarque

Pour résoudre une équation du second degré, on la ramène sous la forme d'une équation avec produit nul.

✏️ Exemple

Résoudre l'équation \((x + 1)(x - 3) = 0\).

Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. On résout donc deux équations séparément :

1er facteur = 0

\(x\) \(+1\) \(\;=\; 0\)

\(-1\)

\(x \;=\; -1\)

2e facteur = 0

\(x\) \(-3\) \(\;=\; 0\)

\(+3\)

\(x \;=\; 3\)

Conclusion : L'équation \((x+1)(x-3)=0\) admet deux solutions : \(x = -1\) et \(x = 3\).

🧩 Exercice

Résoudre les équations suivantes :

\((a)\;\;(2x - 6)(x + 4) = 0\) \(\qquad (b)\;\;(3x + 9)(x - 5) = 0\) \(\qquad (c)\;\;x(4x - 8) = 0\) \(\qquad (d)\;\;(2x + 1)(2x - 1) = 0\)

(a) \((2x-6)(x+4)=0\)

1er facteur = 0

\(2x\) \(-6\) \(\;=\; 0\)

\(+6\)

\(2\)\(x \;=\; 6\)

\(\div 2\)

\(x \;=\; 3\)

2e facteur = 0

\(x\) \(+4\) \(\;=\; 0\)

\(-4\)

\(x \;=\; -4\)

Solutions de (a) : \(x = 3\) et \(x = -4\).

(b) \((3x+9)(x-5)=0\)

1er facteur = 0

\(3x\) \(+9\) \(\;=\; 0\)

\(-9\)

\(3\)\(x \;=\; -9\)

\(\div 3\)

\(x \;=\; -3\)

2e facteur = 0

\(x\) \(-5\) \(\;=\; 0\)

\(+5\)

\(x \;=\; 5\)

Solutions de (b) : \(x = -3\) et \(x = 5\).

(c) \(x(4x-8)=0\)

Le produit est déjà factorisé : les deux facteurs sont \(x\) et \((4x-8)\).

1er facteur = 0

\(x \;=\; 0\)

2e facteur = 0

\(4x\) \(-8\) \(\;=\; 0\)

\(+8\)

\(4\)\(x \;=\; 8\)

\(\div 4\)

\(x \;=\; 2\)

Solutions de (c) : \(x = 0\) et \(x = 2\).

(d) \((2x+1)(2x-1)=0\)

1er facteur = 0

\(2x\) \(+1\) \(\;=\; 0\)

\(-1\)

\(2\)\(x \;=\; -1\)

\(\div 2\)

\(x \;=\; -\dfrac{1}{2}\)

2e facteur = 0

\(2x\) \(-1\) \(\;=\; 0\)

\(+1\)

\(2\)\(x \;=\; 1\)

\(\div 2\)

\(x \;=\; \dfrac{1}{2}\)

Solutions de (d) : \(x = -\dfrac{1}{2}\) et \(x = \dfrac{1}{2}\). 💡 On reconnaît \((2x+1)(2x-1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1\), une identité remarquable !

2. Équations de la forme \(x^2 = a\)

📘 Définition — Racine carrée

La racine carrée d'un nombre positif \(n\) est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, est égal à \(n\). Ce nombre se note \(\sqrt{n}\).

📙 Propriété — Solutions de \(x^2 = a\)

L'équation \(x^2 = a\) admet :

Si \(a > 0\) Deux solutions
\(x = -\sqrt{a}\) et \(x = \sqrt{a}\)

Si \(a = 0\) Une solution
\(x = 0\)

Si \(a < 0\) Aucune solution
(pas de racine carrée d'un nombre négatif)

✏️ Exemple

Résoudre chacune des équations suivantes :

\(x^2 = -8\) | \(x^2 = 65\) | \(x^2 = 0\) | \(x^2 = 9\)

\(x^2 = -8\)

\(-8 < 0\) : pas de solution (on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif).

\(x^2 = 65\)

\(65 > 0\) : deux solutions

\(x = -\sqrt{65}\) et \(x = \sqrt{65}\)

\(\sqrt{65} \approx 8{,}06\)

\(x^2 = 0\)

Une seule solution : \(x = 0\)

\(x^2 = 9\)

\(9 > 0\) : deux solutions

\(x = -\sqrt{9} = -3\) et \(x = \sqrt{9} = 3\)

car \(3^2 = 9\) ✓

V. Équations avec identités remarquables ②③ NIVEAU 2de

📌 Rappel — Les 3 identités remarquables

En 2nde, on utilise les trois identités remarquables pour factoriser une expression, puis appliquer la règle du produit nul :

① Carré d'une somme

\((\textcolor{#1a6fa0}{a}+\textcolor{#b85c0b}{b})^{2}=\textcolor{#1a6fa0}{a}^{2}+\textcolor{#6b3fa0}{2ab}+\textcolor{#b85c0b}{b}^{2}\)

② Carré d'une différence

\((\textcolor{#1a6fa0}{a}-\textcolor{#b85c0b}{b})^{2}=\textcolor{#1a6fa0}{a}^{2}-\textcolor{#6b3fa0}{2ab}+\textcolor{#b85c0b}{b}^{2}\)

⚠️ Le dernier terme est toujours positif \(+b^2\), même en partant d'une différence.

③ Différence de carrés

\(\textcolor{#1a6fa0}{a}^{2}-\textcolor{#b85c0b}{b}^{2}=(\textcolor{#1a6fa0}{a}+\textcolor{#b85c0b}{b})(\textcolor{#1a6fa0}{a}-\textcolor{#b85c0b}{b})\)

💡 Stratégie : pour résoudre une équation du type expression = 0, on cherche à factoriser l'expression avec une identité remarquable, puis on applique la règle du produit nul.

① Carré d'une somme — \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

✏️ Exemple 1 — Identité ①

Résoudre l'équation \(\textcolor{#1a6fa0}{x^2} + \textcolor{#6b3fa0}{4x} + \textcolor{#b85c0b}{4} = 0\).

On cherche si cette expression est un carré parfait. On repère :

1er terme : \(\textcolor{#1a6fa0}{\sqrt{x^2} = x}\)
2e terme : \(\textcolor{#b85c0b}{\sqrt{4} = 2}\)
Vérification du terme croisé : \(\textcolor{#6b3fa0}{2} \times \textcolor{#1a6fa0}{x} \times \textcolor{#b85c0b}{2} = \textcolor{#6b3fa0}{4x}\) ✓
Le signe du milieu est + → c'est l'identité ①

\(\textcolor{#1a6fa0}{x^2} + \textcolor{#6b3fa0}{4x} + \textcolor{#b85c0b}{4} = (\textcolor{#1a6fa0}{x} + \textcolor{#b85c0b}{2})^2\)

L'équation devient :

\((\textcolor{#1a6fa0}{x} + \textcolor{#b85c0b}{2})^2 = 0\)

On écrit comme un produit : \((x + 2)(x + 2) = 0\)

Les deux facteurs sont identiques → une seule solution :

\(x\) \(+2\) \(= 0\)

\(-2\)

\(x = -2\)

Conclusion : L'équation admet une unique solution : \(x = -2\).

✏️ Exemple 2 — Identité ① avec coefficient

Résoudre l'équation \(\textcolor{#1a6fa0}{9x^2} + \textcolor{#6b3fa0}{6x} + \textcolor{#b85c0b}{1} = 0\).

On cherche à reconnaître l'identité ①. On repère :

1er terme : \(\textcolor{#1a6fa0}{\sqrt{9x^2} = 3x}\)
2e terme : \(\textcolor{#b85c0b}{\sqrt{1} = 1}\)
Vérification du terme croisé : \(\textcolor{#6b3fa0}{2} \times \textcolor{#1a6fa0}{3x} \times \textcolor{#b85c0b}{1} = \textcolor{#6b3fa0}{6x}\) ✓
Le signe du milieu est + → identité ①

\(\textcolor{#1a6fa0}{9x^2} + \textcolor{#6b3fa0}{6x} + \textcolor{#b85c0b}{1} = (\textcolor{#1a6fa0}{3x} + \textcolor{#b85c0b}{1})^2\)

\((3x + 1)^2 = 0\)

On écrit comme un produit : \((3x + 1)(3x + 1) = 0\)

Les deux facteurs sont identiques → une seule solution :

\(3x\) \(+1\) \(= 0\)

\(-1\)

\(3\)\(x = -1\)

\(\div 3\)

\(x = -\dfrac{1}{3}\)

Conclusion : L'équation admet une unique solution : \(x = -\dfrac{1}{3}\).

🧩 Exercice — Identité ①

Résoudre les équations suivantes :

\(\text{(a)}\; x^2 + 6x + 9 = 0 \qquad \text{(b)}\; x^2 + 10x + 25 = 0 \qquad \text{(c)}\; 4x^2 + 4x + 1 = 0\)

(a) \(\textcolor{#1a6fa0}{x^2} + \textcolor{#6b3fa0}{6x} + \textcolor{#b85c0b}{9}\)

\(\textcolor{#1a6fa0}{\sqrt{x^2}=x}\) · \(\textcolor{#b85c0b}{\sqrt{9}=3}\) · \(\textcolor{#6b3fa0}{2}\times\textcolor{#1a6fa0}{x}\times\textcolor{#b85c0b}{3}=\textcolor{#6b3fa0}{6x}\) ✓ → id ①

\((x+3)(x+3)=0 \Rightarrow x+3=0\)

\(x = -3\)

(b) \(\textcolor{#1a6fa0}{x^2} + \textcolor{#6b3fa0}{10x} + \textcolor{#b85c0b}{25}\)

\(\textcolor{#1a6fa0}{\sqrt{x^2}=x}\) · \(\textcolor{#b85c0b}{\sqrt{25}=5}\) · \(\textcolor{#6b3fa0}{2}\times\textcolor{#1a6fa0}{x}\times\textcolor{#b85c0b}{5}=\textcolor{#6b3fa0}{10x}\) ✓ → id ①

\((x+5)(x+5)=0 \Rightarrow x+5=0\)

\(x = -5\)

(c) \(\textcolor{#1a6fa0}{4x^2} + \textcolor{#6b3fa0}{4x} + \textcolor{#b85c0b}{1}\)

\(\textcolor{#1a6fa0}{\sqrt{4x^2}=2x}\) · \(\textcolor{#b85c0b}{\sqrt{1}=1}\) · \(\textcolor{#6b3fa0}{2}\times\textcolor{#1a6fa0}{2x}\times\textcolor{#b85c0b}{1}=\textcolor{#6b3fa0}{4x}\) ✓ → id ①

\((2x+1)(2x+1)=0 \Rightarrow 2x+1=0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)

\(x = -\dfrac{1}{2}\)

② Carré d'une différence — \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

✏️ Exemple 3 — Identité ②

Résoudre l'équation \(\textcolor{#1a6fa0}{x^2} - \textcolor{#6b3fa0}{6x} + \textcolor{#b85c0b}{9} = 0\).

On cherche si cette expression est un carré parfait. On repère :

1er terme : \(\textcolor{#1a6fa0}{\sqrt{x^2} = x}\)
2e terme : \(\textcolor{#b85c0b}{\sqrt{9} = 3}\)
Vérification du terme croisé : \(\textcolor{#6b3fa0}{2} \times \textcolor{#1a6fa0}{x} \times \textcolor{#b85c0b}{3} = \textcolor{#6b3fa0}{6x}\) ✓
Le signe du milieu est − → c'est l'identité ②

\(\textcolor{#1a6fa0}{x^2} - \textcolor{#6b3fa0}{6x} + \textcolor{#b85c0b}{9} = (\textcolor{#1a6fa0}{x} - \textcolor{#b85c0b}{3})^2\)

L'équation devient :

\((\textcolor{#1a6fa0}{x} - \textcolor{#b85c0b}{3})^2 = 0\)

On écrit comme un produit : \((x - 3)(x - 3) = 0\)

Les deux facteurs sont identiques → une seule solution :

\(x\) \(-3\) \(= 0\)

\(+3\)

\(x = 3\)

Conclusion : L'équation admet une unique solution : \(x = 3\).

✏️ Exemple 4 — Identité ② avec coefficient

Résoudre l'équation \(\textcolor{#1a6fa0}{4x^2} - \textcolor{#6b3fa0}{12x} + \textcolor{#b85c0b}{9} = 0\).

On cherche à reconnaître l'identité ②. On repère :

1er terme : \(\textcolor{#1a6fa0}{\sqrt{4x^2} = 2x}\)
2e terme : \(\textcolor{#b85c0b}{\sqrt{9} = 3}\)
Vérification du terme croisé : \(\textcolor{#6b3fa0}{2} \times \textcolor{#1a6fa0}{2x} \times \textcolor{#b85c0b}{3} = \textcolor{#6b3fa0}{12x}\) ✓
Le signe du milieu est − → identité ②

\(\textcolor{#1a6fa0}{4x^2} - \textcolor{#6b3fa0}{12x} + \textcolor{#b85c0b}{9} = (\textcolor{#1a6fa0}{2x} - \textcolor{#b85c0b}{3})^2\)

\((2x - 3)^2 = 0\)

On écrit comme un produit : \((2x - 3)(2x - 3) = 0\)

Les deux facteurs sont identiques → une seule solution :

\(2x\) \(-3\) \(= 0\)

\(+3\)

\(2\)\(x = 3\)

\(\div 2\)

\(x = \dfrac{3}{2}\)

Conclusion : L'équation admet une unique solution : \(x = \dfrac{3}{2}\).

🧩 Exercice — Identité ②

Résoudre les équations suivantes :

\(\text{(a)}\; x^2 - 4x + 4 = 0 \qquad \text{(b)}\; x^2 - 10x + 25 = 0 \qquad \text{(c)}\; 9x^2 - 6x + 1 = 0\)

(a) \(\textcolor{#1a6fa0}{x^2} - \textcolor{#6b3fa0}{4x} + \textcolor{#b85c0b}{4}\)

\(\textcolor{#1a6fa0}{\sqrt{x^2}=x}\) · \(\textcolor{#b85c0b}{\sqrt{4}=2}\) · \(\textcolor{#6b3fa0}{2}\times\textcolor{#1a6fa0}{x}\times\textcolor{#b85c0b}{2}=\textcolor{#6b3fa0}{4x}\) ✓ → id ②

\((x-2)(x-2)=0 \Rightarrow x-2=0\)

\(x = 2\)

(b) \(\textcolor{#1a6fa0}{x^2} - \textcolor{#6b3fa0}{10x} + \textcolor{#b85c0b}{25}\)

\(\textcolor{#1a6fa0}{\sqrt{x^2}=x}\) · \(\textcolor{#b85c0b}{\sqrt{25}=5}\) · \(\textcolor{#6b3fa0}{2}\times\textcolor{#1a6fa0}{x}\times\textcolor{#b85c0b}{5}=\textcolor{#6b3fa0}{10x}\) ✓ → id ②

\((x-5)(x-5)=0 \Rightarrow x-5=0\)

\(x = 5\)

(c) \(\textcolor{#1a6fa0}{9x^2} - \textcolor{#6b3fa0}{6x} + \textcolor{#b85c0b}{1}\)

\(\textcolor{#1a6fa0}{\sqrt{9x^2}=3x}\) · \(\textcolor{#b85c0b}{\sqrt{1}=1}\) · \(\textcolor{#6b3fa0}{2}\times\textcolor{#1a6fa0}{3x}\times\textcolor{#b85c0b}{1}=\textcolor{#6b3fa0}{6x}\) ✓ → id ②

\((3x-1)(3x-1)=0 \Rightarrow 3x-1=0 \Rightarrow x=\dfrac{1}{3}\)

\(x = \dfrac{1}{3}\)

③ Différence de carrés — \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)

📘 Méthode

Pour résoudre une équation du type \(a^2 - b^2 = 0\), on factorise avec l'identité ③, puis on applique la règle du produit nul. On obtient toujours deux solutions (symétriques).

✏️ Exemple 5 — Identité ③

Résoudre l'équation \(\textcolor{#1a6fa0}{x^2} - \textcolor{#b85c0b}{25} = 0\).

On repère deux carrés séparés par un « − » :

\(a = \sqrt{x^2} = x\)
\(b = \sqrt{25} = 5\)

\(\textcolor{#1a6fa0}{x^2} - \textcolor{#b85c0b}{25} = (\textcolor{#1a6fa0}{x}+\textcolor{#b85c0b}{5})(\textcolor{#1a6fa0}{x}-\textcolor{#b85c0b}{5})\)

L'équation devient \((\textcolor{#1a6fa0}{x}+\textcolor{#b85c0b}{5})(\textcolor{#1a6fa0}{x}-\textcolor{#b85c0b}{5}) = 0\). On applique le produit nul :

1er facteur = 0

\(x\) \(+5\) \(\;=\; 0\)

\(-5\)

\(x = -5\)

2e facteur = 0

\(x\) \(-5\) \(\;=\; 0\)

\(+5\)

\(x = 5\)

Conclusion : L'équation admet deux solutions : \(x = -5\) et \(x = 5\).

✏️ Exemple 6 — Identité ③ avec coefficient

Résoudre l'équation \(\textcolor{#1a6fa0}{4x^2} - \textcolor{#b85c0b}{49} = 0\).

\(a = \sqrt{4x^2} = 2x\)
\(b = \sqrt{49} = 7\)

\(\textcolor{#1a6fa0}{4x^2} - \textcolor{#b85c0b}{49} = (\textcolor{#1a6fa0}{2x}+\textcolor{#b85c0b}{7})(\textcolor{#1a6fa0}{2x}-\textcolor{#b85c0b}{7})\)

L'équation devient \((2x+7)(2x-7) = 0\). Produit nul :

1er facteur = 0

\(2x\) \(+7\) \(\;=\; 0\)

\(-7\)

\(2\)\(x = -7\)

\(\div 2\)

\(x = -\dfrac{7}{2}\)

2e facteur = 0

\(2x\) \(-7\) \(\;=\; 0\)

\(+7\)

\(2\)\(x = 7\)

\(\div 2\)

\(x = \dfrac{7}{2}\)

Conclusion : L'équation admet deux solutions : \(x = -\dfrac{7}{2}\) et \(x = \dfrac{7}{2}\).

🧩 Exercice — Identité ③

Résoudre les équations suivantes en utilisant l'identité ③ :

\(\text{(a)}\; x^2 - 16 = 0 \qquad \text{(b)}\; x^2 - 36 = 0 \qquad \text{(c)}\; 9x^2 - 4 = 0\)

(a) \(\textcolor{#1a6fa0}{x^2}-\textcolor{#b85c0b}{16}=0\)

\(a=x,\; b=4\)

\((x+4)(x-4)=0\)

\(x=-4\) ou \(x=4\)

(b) \(\textcolor{#1a6fa0}{x^2}-\textcolor{#b85c0b}{36}=0\)

\(a=x,\; b=6\)

\((x+6)(x-6)=0\)

\(x=-6\) ou \(x=6\)

(c) \(\textcolor{#1a6fa0}{9x^2}-\textcolor{#b85c0b}{4}=0\)

\(a=3x,\; b=2\)

\((3x+2)(3x-2)=0\)

\(3x+2=0 \Rightarrow x=-\dfrac{2}{3}\) | \(3x-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{2}{3}\)

\(x=-\dfrac{2}{3}\) ou \(x=\dfrac{2}{3}\)

VI. Inéquations du premier degré NIVEAU 2de

📘 Définition

Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue \(x\). La résoudre, c'est trouver l'ensemble de toutes les valeurs de \(x\) qui la rendent vraie. On appelle cet ensemble l'ensemble des solutions.

Exemples d'inéquations : \(2x + 3 > 7\) | \(5 - x \leq 3x + 1\) | \(-2x \geq 4\)

📌 Rappel — Les symboles d'inégalité

< strictement inférieur à

≤ inférieur ou égal à

> strictement supérieur à

≥ supérieur ou égal à

1. Règles de résolution

📋 Règles

On peut résoudre une inéquation de la même façon qu'une équation, avec une règle cruciale supplémentaire :

• Additionner ou soustraire le même nombre des deux membres → le sens de l'inégalité ne change pas
• Multiplier ou diviser par un nombre positif → le sens de l'inégalité ne change pas
! Multiplier ou diviser par un nombre négatif → le sens de l'inégalité s'inverse !

⚠️ Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, le signe < devient >, et le signe ≤ devient ≥ (et inversement).

📋 Méthode des flèches — Inéquations

On utilise la même méthode des flèches que pour les équations, mais on conserve le signe d'inégalité tout au long du calcul, et on l'inverse si on divise ou multiplie par un négatif.

2. Exemples

✏️ Exemple 1 — Sens conservé

Résoudre l'inéquation \(2x + 3 > 7\).

On isole \(x\) en appliquant la méthode des flèches. Ici on soustrait et on divise par +2 (positif) : le sens ne change pas.

\(2x\) \(+3\) \(\;>\; 7\)

\(-3\)

\(2\)\(x \;>\; 4\)

\(\div 2\)

\(x \;>\; 2\)

L'ensemble des solutions est \(\;x > 2\), soit \(\;]2\;;\;+\infty[\)

Représentation sur la droite numérique :

Le cercle vide ∘ en 2 indique que 2 n'est pas inclus (inégalité stricte >).

✅ Vérification : Testons \(x = 5\) : \(2 \times 5 + 3 = 13 > 7\) ✓ Testons \(x = 1\) : \(2 \times 1 + 3 = 5 \not> 7\) ✓ (bien exclu)

✏️ Exemple 2 — Sens qui s'inverse ⚠️

Résoudre l'inéquation \(-4x + 8 \geq 20\).

On isole \(x\). À l'étape finale, on divise par −4 (négatif) : le sens de l'inégalité s'inverse !

\(-4x\) \(+8\) \(\;\geq\; 20\)

\(-8\)

\(-4\)\(x \;\geq\; 12\)

\(\div (-4)\)

⚠️ On divise par −4 : le sens ≥ devient ≤

\(x \;\leq\; -3\)

L'ensemble des solutions est \(\;x \leq -3\), soit \(\;]-\infty\;;\;-3]\)

Représentation sur la droite numérique :

Le disque plein ● en −3 indique que −3 est inclus (inégalité large ≤).

✅ Vérification (facultative) : Testons \(x = -5\) : \(-4 \times (-5) + 8 = 28 \geq 20\) ✓ Testons \(x = 0\) : \(-4 \times 0 + 8 = 8 \not\geq 20\) ✓ (bien exclu)

✏️ Exemple 3 — \(x\) des deux côtés

Résoudre l'inéquation \(3x + 1 \leq 7x - 5\).

On regroupe les \(x\) à gauche. On divisera par +4 (positif) : le sens ne change pas.

\(3x + 1 \;\leq\;\) \(7x\) \(\;-\; 5\)

\(-7x\)

\(-4x\) \(+1\) \(\;\leq\; -5\)

\(-1\)

\(-4\)\(x \;\leq\; -6\)

\(\div (-4)\)

⚠️ On divise par −4 : le sens ≤ devient ≥

\(x \;\geq\; \dfrac{3}{2}\)

L'ensemble des solutions est \(\;x \geq \dfrac{3}{2}\), soit \(\;\left[\dfrac{3}{2}\;;\;+\infty\right[\)

Représentation sur la droite numérique :

✅ Vérification (facultative) : Testons \(x = 3\) : \(3\times3+1=10\) et \(7\times3-5=16\), \(10 \leq 16\) ✓

3. Notation des solutions en intervalle

📗 Résumé — Écriture des solutions

L'ensemble des solutions d'une inéquation s'écrit souvent sous forme d'intervalle :

\(x > a\)
Intervalle : \(\;]a\;;\;+\infty[\)
Cercle vide en \(a\)

\(x \geq a\)
Intervalle : \(\;[a\;;\;+\infty[\)
Disque plein en \(a\)

\(x < a\)
Intervalle : \(\;]-\infty\;;\;a[\)
Cercle vide en \(a\)

\(x \leq a\)
Intervalle : \(\;]-\infty\;;\;a]\)
Disque plein en \(a\)

💡 Le crochet [ ou ] est fermé quand la borne est incluse (≤ ou ≥). Il est ouvert ( ] ou [ vers l'infini) quand elle est exclue (< ou >). On écrit toujours \(+\infty\) et \(-\infty\) avec un crochet ouvert.

🧩 Exercice

Résoudre les inéquations suivantes et donner les solutions sous forme d'intervalle :

\(\text{(a) } 4x - 5 \geq 3 \qquad \text{(b) } -2x + 6 > 12 \qquad \text{(c) } 3x + 2 > x + 8\)

(a) \(4x - 5 \geq 3\)

Aucun négatif → sens conservé

\(4x\) \(-5\) \(\;\geq\; 3\)

\(+5\)

\(4\)\(x \;\geq\; 8\)

\(\div 4\)

\(x \;\geq\; 2\)

Solutions : \([2\;;\;+\infty[\)

(b) \(-2x + 6 > 12\)

Attention ! On va diviser par −2 → sens inversé

\(-2x\) \(+6\) \(\;>\; 12\)

\(-6\)

\(-2\)\(x \;>\; 6\)

\(\div (-2)\)

⚠️ > devient <

\(x \;<\; -3\)

Solutions : \(]-\infty\;;\;-3[\)

(c) \(3x + 2 > x + 8\)

\(3x + 2 \;>\;\) \(x\) \(\;+\; 8\)

\(-x\)

\(2x\) \(+2\) \(\;>\; 8\)

\(-2\)

\(2\)\(x \;>\; 6\)

\(\div 2\)

\(x \;>\; 3\)

Solutions : \(]3\;;\;+\infty[\)

Équations & Inéquations