Distance entre deux points —
Appliquer la formule

Distances et repérage n°1 — Feuille d'exercices — 2^nde

Formule de distance Coordonnées négatives Simplifier une racine

📌 Méthode — Calculer une distance AB dans un repère orthonormé

① Écarts de coordonnées

On calcule \(x_B - x_A\) et \(y_B - y_A\). Attention aux parenthèses dès qu'une coordonnée est négative !

\(x_B - x_A\) et \(y_B - y_A\)

② Carrés puis somme (Pythagore)

On élève chaque écart au carré — cela supprime les signes — puis on additionne les deux carrés.

\((x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2\)

③ Racine carrée = longueur

On prend la racine carrée (toujours positive) et on simplifie si possible en cherchant le plus grand carré parfait.

\(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

Corrections vues :

0 / 6

Exercice 1 / 6

Application directe Repère orthonormé

✓ Vu

Le repère est orthonormé. Calculer chacune des distances suivantes.

a) \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,6)\). Calculer \(AB\).

b) \(C(-3\,;\,-2)\) et \(D(1\,;\,1)\). Calculer \(CD\).

c) \(E(-2\,;\,5)\) et \(F(-2\,;\,-3)\). Calculer \(EF\).

d) \(G(2\,;\,-1)\) et \(H(9\,;\,-1)\). Calculer \(GH\).

e) \(I(-3\,;\,-4)\) et \(J(3\,;\,4)\). Calculer \(IJ\).

💡 Indices

Pour c) : \(E\) et \(F\) ont la même abscisse — le segment est vertical, un des deux écarts vaut 0. Pour d) : \(G\) et \(H\) ont la même ordonnée — le segment est horizontal.

Repère toujours d'abord \(x_A,y_A,x_B,y_B\), puis applique la formule sans te presser : écart en x, écart en y, carrés, somme, racine.

a) \(A(1;2)\), \(B(4;6)\)

Formule\(AB = \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}\)

Calcul\(= \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\)

b) \(C(-3;-2)\), \(D(1;1)\)

Formule\(CD = \sqrt{(1-(-3))^2+(1-(-2))^2}\)

Calcul\(= \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\)

c) \(E(-2;5)\), \(F(-2;-3)\) — segment vertical

Formule\(EF = \sqrt{(-2-(-2))^2+(-3-5)^2}\)

Calcul\(= \sqrt{0^2+(-8)^2} = \sqrt{64} = 8\)

d) \(G(2;-1)\), \(H(9;-1)\) — segment horizontal

Formule\(GH = \sqrt{(9-2)^2+(-1-(-1))^2}\)

Calcul\(= \sqrt{7^2+0^2} = \sqrt{49} = 7\)

e) \(I(-3;-4)\), \(J(3;4)\)

Formule\(IJ = \sqrt{(3-(-3))^2+(4-(-4))^2}\)

Calcul\(= \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\)

À retenir : quand deux points ont la même abscisse (ou la même ordonnée), un des deux écarts vaut 0 : la distance est directement la valeur absolue de l'autre écart.

Exercice 2 / 6

Piège classique Parenthèses

✓ Vu

Tous ces points ont des coordonnées négatives. Mets bien des parenthèses autour de chaque coordonnée avant de soustraire, puis calcule la distance. Laisse ta réponse finale sous la forme d'une racine carrée (éventuellement simplifiée), sans calculer de valeur arrondie.

a) \(K(-3\,;\,-5)\) et \(L(1\,;\,-2)\). Calculer \(KL\).

b) \(M(-6\,;\,2)\) et \(N(-2\,;\,-1)\). Calculer \(MN\).

c) \(P(-1\,;\,-7)\) et \(Q(-1\,;\,-1)\). Calculer \(PQ\).

d) \(R(4\,;\,-3)\) et \(S(-4\,;\,-3)\). Calculer \(RS\).

e) \(T(-5\,;\,-5)\) et \(U(-2\,;\,-1)\). Calculer \(TU\).

💡 Indices

\(1 - (-3) = 1 + 3 = 4\). Ne jamais écrire \(1 - -3\) sans parenthèses : c'est la source d'erreur n°1 sur cette formule.

Pour c) : \(P\) et \(Q\) ont la même abscisse \(-1\), le segment est vertical. Pour d) : \(R\) et \(S\) ont la même ordonnée \(-3\), le segment est horizontal.

a) \(K(-3;-5)\), \(L(1;-2)\)

Formule\(KL = \sqrt{(1-(-3))^2+(-2-(-5))^2}\)

Calcul\(= \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5\)

b) \(M(-6;2)\), \(N(-2;-1)\)

Formule\(MN = \sqrt{(-2-(-6))^2+(-1-2)^2}\)

Calcul\(= \sqrt{4^2+(-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\)

c) \(P(-1;-7)\), \(Q(-1;-1)\) — segment vertical

Formule\(PQ = \sqrt{(-1-(-1))^2+(-1-(-7))^2}\)

Calcul\(= \sqrt{0^2+6^2} = \sqrt{36} = 6\)

d) \(R(4;-3)\), \(S(-4;-3)\) — segment horizontal

Formule\(RS = \sqrt{(-4-4)^2+(-3-(-3))^2}\)

Calcul\(= \sqrt{(-8)^2+0^2} = \sqrt{64} = 8\)

e) \(T(-5;-5)\), \(U(-2;-1)\)

Formule\(TU = \sqrt{(-2-(-5))^2+(-1-(-5))^2}\)

Calcul\(= \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\)

⚠ Erreur à éviter : \(3 - (-2) = 5\), pas \(1\) ! Une soustraction de nombre négatif change le signe : entoure toujours la coordonnée négative de parenthèses avant de calculer.

Exercice 3 / 6

Racine non entière Simplifier \(\sqrt{\ }\)

✓ Vu

Ces distances ne tombent pas toujours sur un nombre entier. Calcule, puis simplifie la racine carrée obtenue quand c'est possible.

a) \(A(0\,;\,0)\) et \(B(2\,;\,4)\). Calculer \(AB\).

b) \(C(-1\,;\,2)\) et \(D(1\,;\,5)\). Calculer \(CD\).

c) \(E(-2\,;\,-1)\) et \(F(2\,;\,3)\). Calculer \(EF\).

d) \(G(1\,;\,-3)\) et \(H(4\,;\,3)\). Calculer \(GH\).

e) \(I(-3\,;\,0)\) et \(J(3\,;\,4)\). Calculer \(IJ\).

💡 Indices

Cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine : \(52 = 4 \times 13\), donc \(\sqrt{52} = \sqrt{4}\times\sqrt{13} = 2\sqrt{13}\).

Pour b), le nombre sous la racine est 13. Regarde s'il est divisible par 4, 9, 16... Si aucun carré parfait ne le divise, la racine est déjà sous sa forme la plus simple.

a) \(A(0;0)\), \(B(2;4)\)

Formule\(AB = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}\)

Simplifie\(\sqrt{20} = \sqrt{4\times 5} = 2\sqrt{5}\)

b) \(C(-1;2)\), \(D(1;5)\)

Formule\(CD = \sqrt{(1-(-1))^2+(5-2)^2} = \sqrt{2^2+3^2}\)

Calcul\(= \sqrt{4+9} = \sqrt{13}\) (13 n'a aucun diviseur carré parfait : déjà simplifiée)

c) \(E(-2;-1)\), \(F(2;3)\)

Formule\(EF = \sqrt{(2-(-2))^2+(3-(-1))^2} = \sqrt{4^2+4^2}\)

Calcul\(= \sqrt{16+16} = \sqrt{32}\)

Simplifie\(\sqrt{32} = \sqrt{16\times 2} = 4\sqrt{2}\)

d) \(G(1;-3)\), \(H(4;3)\)

Formule\(GH = \sqrt{(4-1)^2+(3-(-3))^2} = \sqrt{3^2+6^2}\)

Calcul\(= \sqrt{9+36} = \sqrt{45}\)

Simplifie\(\sqrt{45} = \sqrt{9\times 5} = 3\sqrt{5}\)

e) \(I(-3;0)\), \(J(3;4)\)

Formule\(IJ = \sqrt{(3-(-3))^2+(4-0)^2} = \sqrt{6^2+4^2}\)

Calcul\(= \sqrt{36+16} = \sqrt{52}\)

Simplifie\(\sqrt{52} = \sqrt{4\times 13} = 2\sqrt{13}\)

Méthode : pour simplifier \(\sqrt{n}\), décompose \(n\) en un produit « carré parfait × reste » en testant \(4, 9, 16, 25\)… Si aucun carré parfait ne divise \(n\), la racine est déjà sous sa forme la plus simple (comme au b).

Exercice 4 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques

✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier, et corriger si elle est fausse.

a) Pour \(A(2\,;\,5)\) et \(B(-1\,;\,3)\) : \(AB = \sqrt{(-1-2)^2+(3-5)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}\).

b) Pour \(C(1\,;\,-2)\) et \(D(4\,;\,-6)\) : \(CD^2 = 3^2+(-4)^2 = 9+16=25\) donc \(CD = 3+4=7\).

c) Pour \(E(-3\,;\,1)\) et \(F(2\,;\,1)\), comme les deux points ont la même ordonnée : \(EF = 2-(-3) = 5\).

d) Pour \(G(0\,;\,-4)\) et \(H(0\,;\,3)\) : \(GH = \sqrt{0^2+(3-(-4))^2} = \sqrt{49} = -7\).

e) Pour \(I(-2\,;\,-3)\) et \(J(1\,;\,-3)\) : \(IJ = \sqrt{(1-(-2))^2+(-3-(-3))^2} = 3\).

💡 Indices

On ne peut jamais « sortir » la racine d'une somme comme ça : \(\sqrt{9+16}\) n'est pas égal à \(\sqrt{9}+\sqrt{16}\). Il faut d'abord additionner sous la racine.

Une distance ne peut jamais être négative : la racine carrée désigne toujours le nombre positif.

a) VRAI

Le calcul applique correctement la formule, parenthèses comprises : \((-1-2)^2=(-3)^2=9\) et \((3-5)^2=(-2)^2=4\), donc \(AB=\sqrt{13}\). ✔

b) FAUX

Erreuron a écrit \(\sqrt{9+16} = \sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4\)

Correct\(CD = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\)

💡 On additionne toujours avant de prendre la racine : \(\sqrt{a^2+b^2}\neq a+b\) en général.

c) VRAI (mais rédaction à préciser)

\(E\) et \(F\) ont la même ordonnée, le segment \(EF\) est bien horizontal, donc \(EF = |x_F - x_E| = |2-(-3)| = 5\). Le raccourci est correct, mais il faut penser à écrire la valeur absolue : sans elle, on obtiendrait un résultat négatif si l'ordre des points était inversé.

d) FAUX

Erreuron a écrit \(\sqrt{49} = -7\)

Correct\(GH = \sqrt{49} = 7\)

💡 La racine carrée d'un nombre est toujours positive (ou nulle) : une distance ne peut jamais être négative.

e) VRAI

\(I\) et \(J\) ont la même ordonnée \(-3\) : \(IJ = \sqrt{3^2+0^2} = \sqrt{9} = 3\). ✔

Exercice 5 / 6

Entraînement En autonomie

✓ Vu

À toi de jouer, sans indice cette fois : calcule chaque distance. Laisse ta réponse finale sous la forme d'une racine carrée simplifiée (n'utilise pas de valeur arrondie).

\(A(3\,;\,-2)\) et \(B(-1\,;\,1)\)

\(C(-4\,;\,-4)\) et \(D(2\,;\,4)\)

\(E(5\,;\,0)\) et \(F(1\,;\,3)\)

\(G(-2\,;\,6)\) et \(H(6\,;\,6)\)

\(I(0\,;\,-5)\) et \(J(4\,;\,1)\)

a) \(A(3;-2)\), \(B(-1;1)\)

Calcul\(AB = \sqrt{(-1-3)^2+(1-(-2))^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25}=5\)

b) \(C(-4;-4)\), \(D(2;4)\)

Calcul\(CD = \sqrt{(2-(-4))^2+(4-(-4))^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100}=10\)

c) \(E(5;0)\), \(F(1;3)\)

Calcul\(EF = \sqrt{(1-5)^2+(3-0)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25}=5\)

d) \(G(-2;6)\), \(H(6;6)\) — segment horizontal

Calcul\(GH = \sqrt{(6-(-2))^2+0^2} = \sqrt{64}=8\)

e) \(I(0;-5)\), \(J(4;1)\)

Calcul\(IJ = \sqrt{(4-0)^2+(1-(-5))^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52}\)

Simplifie\(\sqrt{52} = \sqrt{4\times13} = 2\sqrt{13}\)

Exercice 6 / 6

Problème Contexte concret Unités

✓ Vu

Dans un repère orthonormé où 1 carreau représente 100 m, un randonneur part du point de départ \(D(-2\,;\,1)\), passe par un point de vue \(V(3\,;\,4)\), puis rejoint le refuge \(R(3\,;\,-2)\).

1) Calculer la distance \(DV\) (en carreaux), puis la convertir en mètres (arrondir à l'unité).

2) Calculer la distance \(VR\) en mètres.

3) En déduire la distance totale parcourue par le randonneur.

4) Calculer la distance \(DR\) à vol d'oiseau. Comparer avec la distance totale parcourue : que peut-on en conclure ?

💡 Indices

Si 1 carreau = 100 m, une distance de \(\sqrt{34}\) carreaux correspond à \(100\sqrt{34}\) mètres. Utilise une valeur approchée de \(\sqrt{34}\) pour arrondir.

Compare \(DR\) (le chemin direct) à \(DV+VR\) (le chemin par le point de vue). Le chemin direct est-il plus court ou plus long ?

1) Distance DV

Formule\(DV = \sqrt{(3-(-2))^2+(4-1)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}\)

En mètres\(\sqrt{34}\approx 5{,}83\) carreaux, soit environ \(583\) m

2) Distance VR

Formule\(VR = \sqrt{(3-3)^2+(-2-4)^2} = \sqrt{0+36} = 6\) carreaux

En mètres\(VR = 600\) m (segment vertical : \(V\) et \(R\) ont la même abscisse)

3) Distance totale parcourue

Somme\(DV + VR \approx 583 + 600\)

Total\(\approx 1183\) m

4) Distance DR à vol d'oiseau

Formule\(DR = \sqrt{(3-(-2))^2+(-2-1)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}\)

En mètres\(DR\approx 583\) m

Le chemin direct (≈ 583 m) est bien plus court que le chemin en passant par le point de vue (≈ 1183 m) : c'est cohérent, un détour est toujours plus long que le trajet direct.

💡 C'est une illustration de l'inégalité triangulaire : dans un triangle, un côté est toujours plus court que la somme des deux autres, ici \(DR < DV + VR\).