Triangle rectangle et isocèle —
Choisir la bonne méthode

Distances et repérage n°2 — Feuille d'exercices — 2nde

Réciproque de Pythagore Comparer des longueurs Nature d'un triangle

📌 Deux méthodes bien distinctes — à ne pas confondre

① Montrer qu'un triangle est RECTANGLE
On calcule les 3 longueurs (ou directement leurs carrés), on repère le plus grand côté (l'hypoténuse potentielle), puis on compare son carré à la somme des carrés des deux autres côtés (réciproque de Pythagore).
Si \(BC^2 = AB^2+AC^2\) alors rectangle en A
② Montrer qu'un triangle est ISOCÈLE
On calcule les 3 longueurs et on les compare deux à deux. Si deux longueurs sont égales, le triangle est isocèle — le sommet « principal » est celui où se rejoignent les deux côtés égaux.
Si \(AB = AC\) alors isocèle en A
③ Comment choisir ?
Si l'énoncé ne précise rien : calcule les 3 côtés (ou leurs carrés), puis vérifie les deux propriétés. Un triangle peut être rectangle seul, isocèle seul, les deux à la fois, ou ni l'un ni l'autre !
Rectangle ⇔ égalité entre carrés  ·  Isocèle ⇔ égalité entre longueurs
Corrections vues :
0 / 6

Exercice 1 / 6

Méthode 1 : rectangle Réciproque de Pythagore
✓ Vu

Le repère est orthonormé. Montrer que chacun des triangles suivants est rectangle, et préciser en quel sommet.

a) \(A(0\,;\,0)\), \(B(6\,;\,0)\), \(C(6\,;\,8)\).
b) \(D(-2\,;\,1)\), \(E(2\,;\,1)\), \(F(2\,;\,4)\).
c) \(G(-1\,;\,-2)\), \(H(3\,;\,1)\), \(I(6\,;\,-3)\).

💡 Indices

Calcule d'abord les 3 longueurs (ou leurs carrés directement, sans racine). Le plus grand côté est le seul candidat possible pour être l'hypoténuse.
Pour c), l'hypoténuse ne tombe pas sur un nombre entier : ce n'est pas grave, la réciproque de Pythagore fonctionne aussi avec \(\sqrt{50}\).
a) \(A(0;0)\), \(B(6;0)\), \(C(6;8)\)
On a : \(AB=6\) ; \(BC=8\) ; \(AC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\).
Le plus grand côté est \(AC=10\).
Gauche
Grand côté²\(AC^2 = 10^2 = 100\)
Droite
Somme carrés\(AB^2+BC^2 = 6^2+8^2 = 36+64 = 100\)
Or : Gauche \(=\) Droite, donc \(AC^2 = AB^2+BC^2\).
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\) (angle droit opposé au plus grand côté \(AC\)).
b) \(D(-2;1)\), \(E(2;1)\), \(F(2;4)\)
On a : \(DE=4\) (horizontal) ; \(EF=3\) (vertical) ; \(DF=\sqrt{4^2+3^2}=5\).
Le plus grand côté est \(DF=5\).
Gauche
Grand côté²\(DF^2 = 5^2 = 25\)
Droite
Somme carrés\(DE^2+EF^2 = 4^2+3^2 = 16+9 = 25\)
Or : Gauche \(=\) Droite, donc \(DF^2 = DE^2+EF^2\).
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(DEF\) est rectangle en \(E\) (angle droit opposé au plus grand côté \(DF\)).
c) \(G(-1;-2)\), \(H(3;1)\), \(I(6;-3)\)
On a : \(GH=\sqrt{4^2+3^2}=5\) ; \(HI=\sqrt{3^2+4^2}=5\) ; \(GI=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}\).
Le plus grand côté est \(GI=\sqrt{50}\).
Gauche
Grand côté²\(GI^2 = (\sqrt{50})^2 = 50\)
Droite
Somme carrés\(GH^2+HI^2 = 5^2+5^2 = 25+25 = 50\)
Or : Gauche \(=\) Droite, donc \(GI^2 = GH^2+HI^2\).
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(GHI\) est rectangle en \(H\) (angle droit opposé au plus grand côté \(GI\)).
À retenir : l'hypoténuse n'a pas besoin d'être un nombre entier (c) — on compare toujours le carré du plus grand côté (Gauche) à la somme des carrés des deux autres (Droite), jamais les longueurs elles-mêmes.

Exercice 2 / 6

Méthode 2 : isocèle Comparer les longueurs
✓ Vu

Montrer que chacun des triangles suivants est isocèle, et préciser en quel sommet.

a) \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,0)\), \(C(2\,;\,3)\).
b) \(D(-3\,;\,1)\), \(E(1\,;\,4)\), \(F(5\,;\,1)\).
c) \(G(-2\,;\,-3)\), \(H(2\,;\,-3)\), \(I(0\,;\,1)\).

💡 Indices

Calcule les 3 longueurs séparément, puis compare-les deux à deux : \(AB\) et \(AC\), \(AB\) et \(BC\), \(AC\) et \(BC\).
Pour comparer deux longueurs, il suffit de comparer ce qu'il y a sous la racine : si \(\sqrt{13}=\sqrt{13}\), pas besoin de calculer sa valeur décimale.
a) \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(2;3)\)
Longueurs\(AB=4\), \(AC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\), \(BC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)
Conclusion\(AC=BC=\sqrt{13}\) : triangle isocèle en \(C\)
b) \(D(-3;1)\), \(E(1;4)\), \(F(5;1)\)
Longueurs\(DE=\sqrt{4^2+3^2}=5\), \(EF=\sqrt{4^2+3^2}=5\), \(DF=\sqrt{8^2+0^2}=8\)
Conclusion\(DE=EF=5\) : triangle isocèle en \(E\)
c) \(G(-2;-3)\), \(H(2;-3)\), \(I(0;1)\)
Longueurs\(GH=4\), \(GI=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\), \(HI=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5\)
Conclusion\(GI=HI=2\sqrt5\) : triangle isocèle en \(I\)
À retenir : le sommet « isocèle » est celui d'où partent les deux côtés égaux — pas celui du côté qui diffère des deux autres.

Exercice 3 / 6

Mixte À toi de choisir la méthode
✓ Vu

Cette fois, l'énoncé ne te dit plus ce qu'il faut démontrer : étudie la nature de chaque triangle (rectangle ? isocèle ? les deux ? aucun des deux ?) en calculant les 3 longueurs.

a) \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,0)\), \(C(0\,;\,4)\).
b) \(D(-1\,;\,-2)\), \(E(3\,;\,-2)\), \(F(3\,;\,1)\).
c) \(G(0\,;\,0)\), \(H(6\,;\,0)\), \(I(3\,;\,4)\).
d) \(J(0\,;\,0)\), \(K(5\,;\,1)\), \(L(2\,;\,4)\).

💡 Indices

Calcule systématiquement les 3 longueurs (ou leurs carrés). Ensuite seulement, regarde : est-ce que deux longueurs sont égales (isocèle) ? Est-ce que le carré du plus grand côté est égal à la somme des deux autres carrés (rectangle) ?
Rien n'empêche un triangle d'être à la fois rectangle et isocèle (c'est même un cas classique), ni de n'être ni l'un ni l'autre.
a) \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(0;4)\)
Longueurs\(AB=4\), \(AC=4\), \(BC=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2\)
Isocèle ?\(AB=AC=4\) → isocèle en \(A\)
On a : le plus grand côté est \(BC=4\sqrt2\).
Gauche
Grand côté²\(BC^2 = (4\sqrt2)^2 = 32\)
Droite
Somme carrés\(AB^2+AC^2 = 16+16 = 32\)
Or : Gauche \(=\) Droite, donc \(BC^2=AB^2+AC^2\).
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
Triangle rectangle ET isocèle en A.
b) \(D(-1;-2)\), \(E(3;-2)\), \(F(3;1)\)
Longueurs\(DE=4\), \(EF=3\), \(DF=\sqrt{4^2+3^2}=5\)
Isocèle ?\(4\), \(3\) et \(5\) sont trois valeurs différentes → pas isocèle
On a : le plus grand côté est \(DF=5\).
Gauche
Grand côté²\(DF^2 = 5^2 = 25\)
Droite
Somme carrés\(DE^2+EF^2 = 16+9 = 25\)
Or : Gauche \(=\) Droite, donc \(DF^2=DE^2+EF^2\).
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(DEF\) est rectangle en \(E\).
Triangle rectangle seulement (en E), pas isocèle.
c) \(G(0;0)\), \(H(6;0)\), \(I(3;4)\)
Longueurs\(GH=6\), \(GI=\sqrt{3^2+4^2}=5\), \(HI=\sqrt{3^2+4^2}=5\)
Isocèle ?\(GI=HI=5\) → isocèle en \(I\)
On a : le plus grand côté est \(GH=6\).
Gauche
Grand côté²\(GH^2 = 6^2 = 36\)
Droite
Somme carrés\(GI^2+HI^2 = 25+25 = 50\)
Or : \(36 \neq 50\), donc Gauche \(\neq\) Droite.
Donc : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle \(GHI\) n'est pas rectangle.
Triangle isocèle seulement (en I), pas rectangle.
d) \(J(0;0)\), \(K(5;1)\), \(L(2;4)\)
Longueurs\(JK=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}\), \(JL=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\), \(KL=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}\)
Isocèle ?\(26\), \(20\) et \(18\) : trois valeurs différentes → pas isocèle
On a : le plus grand côté est \(JK=\sqrt{26}\).
Gauche
Grand côté²\(JK^2 = 26\)
Droite
Somme carrés\(JL^2+KL^2 = 20+18 = 38\)
Or : \(26 \neq 38\), donc Gauche \(\neq\) Droite.
Donc : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle \(JKL\) n'est pas rectangle.
Ni rectangle, ni isocèle.

Exercice 4 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier, et corriger si elle est fausse.

a) Pour un triangle \(ABC\) avec \(AB=5\), \(AC=5\), \(BC=8\) : comme deux côtés sont égaux, \(ABC\) est isocèle en \(A\).
b) Pour un triangle avec \(AB^2=20\), \(AC^2=45\), \(BC^2=65\) : comme \(20+45=65\), le triangle est rectangle en \(B\).
c) Dans un triangle rectangle en \(A\), l'hypoténuse \(BC\) est nécessairement le plus grand des trois côtés.
d) Si \(AB=AC\), alors le triangle \(ABC\) est automatiquement rectangle.
e) Pour montrer qu'un triangle est isocèle, il suffit de comparer les carrés des longueurs (par exemple \(AB^2\) et \(AC^2\)) sans calculer les racines carrées.

💡 Indices

Dans la réciproque de Pythagore, l'angle droit est au sommet opposé au plus grand côté — c'est-à-dire au sommet commun aux deux côtés dont on additionne les carrés.
Pense à un triangle équilatéral : il est isocèle (même plus, tous ses côtés sont égaux), mais ses angles valent tous 60° — pas d'angle droit.
a) VRAI

\(AB=AC\) : les deux côtés issus de \(A\) sont égaux, donc le triangle est bien isocèle en \(A\). ✔

b) FAUX

Le calcul \(AB^2+AC^2=BC^2\) est correct, mais l'angle droit se trouve au sommet commun aux deux côtés \(AB\) et \(AC\), c'est-à-dire en \(A\), pas en \(B\).

Le triangle est rectangle en A (pas en B).
c) VRAI

L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit, et c'est nécessairement le plus long des trois côtés d'un triangle rectangle.

d) FAUX

Isocèle et rectangle sont deux propriétés indépendantes. Un triangle équilatéral (tous les côtés égaux) est isocèle mais n'a aucun angle droit.

Contre-exemple : A(0;0), B(4;0), C(2;2√3) — équilatéral, donc isocèle, mais pas rectangle.
e) VRAI

Deux nombres positifs sont égaux si et seulement si leurs carrés sont égaux : comparer \(AB^2\) et \(AC^2\) est un raccourci valide et évite des calculs de racine inutiles.

Exercice 5 / 6

Entraînement En autonomie
✓ Vu

Sans indice cette fois : étudie la nature de chacun de ces triangles (rectangle ? isocèle ? les deux ? aucun des deux ?).

a)
\(A(1\,;\,1)\), \(B(5\,;\,1)\), \(C(5\,;\,4)\)
b)
\(D(-2\,;\,0)\), \(E(2\,;\,0)\), \(F(0\,;\,3)\)
c)
\(G(0\,;\,0)\), \(H(3\,;\,3)\), \(I(6\,;\,0)\)
d)
\(M(0\,;\,0)\), \(N(4\,;\,1)\), \(P(1\,;\,5)\)
a) \(A(1;1)\), \(B(5;1)\), \(C(5;4)\)
Longueurs\(AB=4\), \(BC=3\), \(AC=5\)
Isocèle ?longueurs toutes différentes → pas isocèle
On a : le plus grand côté est \(AC=5\).
Gauche
Grand côté²\(AC^2=25\)
Droite
Somme carrés\(AB^2+BC^2=16+9=25\)
Or : Gauche \(=\) Droite, donc \(AC^2=AB^2+BC^2\).
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\).
b) \(D(-2;0)\), \(E(2;0)\), \(F(0;3)\)
Longueurs\(DE=4\), \(DF=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\), \(EF=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)
Isocèle ?\(DF=EF=\sqrt{13}\) → isocèle en \(F\)
On a : le plus grand côté est \(DE=4\).
Gauche
Grand côté²\(DE^2=16\)
Droite
Somme carrés\(DF^2+EF^2=13+13=26\)
Or : \(16 \neq 26\), donc Gauche \(\neq\) Droite.
Donc : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle \(DEF\) n'est pas rectangle.
c) \(G(0;0)\), \(H(3;3)\), \(I(6;0)\)
Longueurs\(GH=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2\), \(HI=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2\), \(GI=6\)
Isocèle ?\(GH=HI=3\sqrt2\) → isocèle en \(H\)
On a : le plus grand côté est \(GI=6\).
Gauche
Grand côté²\(GI^2=36\)
Droite
Somme carrés\(GH^2+HI^2=18+18=36\)
Or : Gauche \(=\) Droite, donc \(GI^2=GH^2+HI^2\).
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(GHI\) est rectangle en \(H\).
Triangle rectangle ET isocèle en H.
d) \(M(0;0)\), \(N(4;1)\), \(P(1;5)\)
Longueurs\(MN=\sqrt{17}\), \(MP=\sqrt{26}\), \(NP=5\)
Isocèle ?valeurs toutes différentes → pas isocèle
On a : le plus grand côté est \(MP=\sqrt{26}\).
Gauche
Grand côté²\(MP^2=26\)
Droite
Somme carrés\(MN^2+NP^2=17+25=42\)
Or : \(26 \neq 42\), donc Gauche \(\neq\) Droite.
Donc : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle \(MNP\) n'est pas rectangle.
Ni rectangle, ni isocèle.

Exercice 6 / 6

Problème Contexte concret
✓ Vu

Dans un repère orthonormé (unité : 1 m), un terrain triangulaire a pour sommets \(A(0\,;\,0)\), \(B(80\,;\,0)\) et \(C(80\,;\,60)\). Le propriétaire veut installer une clôture tout autour, qui coûte 15 € le mètre.

1) Calculer les longueurs des trois côtés du terrain.
2) Montrer que ce terrain est un triangle rectangle. En quel sommet est l'angle droit ?
3) Ce terrain est-il aussi isocèle ? Justifier.
4) Calculer le coût total de la clôture.

💡 Indices

Le coût total correspond au périmètre du terrain multiplié par le prix au mètre. Le périmètre est la somme des trois longueurs.
1) Longueurs des côtés
AB\(AB = \sqrt{80^2+0^2} = 80\) m
BC\(BC = \sqrt{0^2+60^2} = 60\) m
AC\(AC = \sqrt{80^2+60^2} = \sqrt{6400+3600} = \sqrt{10000} = 100\) m
2) Nature : rectangle ?
On a : \(AB=80\) m ; \(BC=60\) m ; \(AC=100\) m. Le plus grand côté est \(AC=100\).
Gauche
Grand côté²\(AC^2 = 100^2 = 10\,000\)
Droite
Somme carrés\(AB^2+BC^2 = 6400+3600 = 10\,000\)
Or : Gauche \(=\) Droite, donc \(AC^2=AB^2+BC^2\).
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le terrain \(ABC\) est rectangle en \(B\).
3) Nature : isocèle ?

\(AB=80\), \(BC=60\), \(AC=100\) : les trois longueurs sont différentes.

Le terrain n'est pas isocèle.
4) Coût de la clôture
Périmètre\(80+60+100 = 240\) m
Coût\(240 \times 15 = 3\,600\) €

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