Nature d'un quadrilatère —
Parallélogramme, rectangle, losange, carré

Distances et repérage n°3 — Feuille d'exercices — 2nde

Côtés opposés Diagonales Ordre des sommets

📌 Méthode — Déterminer la nature d'un quadrilatère ABCD

① Base : parallélogramme
On calcule les 4 côtés \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\). Si les côtés opposés sont égaux deux à deux (\(AB=CD\) ET \(BC=DA\)), alors \(ABCD\) est un parallélogramme.
\(AB=CD\) et \(BC=DA\) \(\Rightarrow\) parallélogramme
② Aller plus loin
Une fois le parallélogramme établi : diagonales \(AC=BD\) égales \(\Rightarrow\) rectangle. Côtés consécutifs égaux (\(AB=BC\)) \(\Rightarrow\) losange. Les deux à la fois \(\Rightarrow\) carré.
Rectangle ⇔ diagonales égales  ·  Losange ⇔ côtés consécutifs égaux
③ Attention à l'ordre des sommets !
Dans \(ABCD\), les côtés sont \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) (sommets consécutifs). Les diagonales sont \(AC\) et \(BD\) (sommets non consécutifs) — ne pas les confondre !
Corrections vues :
0 / 6

Exercice 1 / 6

Parallélogramme Côtés opposés
✓ Vu

Le repère est orthonormé. Pour chaque quadrilatère \(ABCD\), calculer les quatre côtés et montrer qu'il s'agit d'un parallélogramme.

a) \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,1)\), \(C(6\,;\,5)\), \(D(2\,;\,4)\).
b) \(A(0\,;\,0)\), \(B(5\,;\,0)\), \(C(7\,;\,3)\), \(D(2\,;\,3)\).
c) \(A(-3\,;\,-1)\), \(B(-1\,;\,2)\), \(C(4\,;\,2)\), \(D(2\,;\,-1)\).

💡 Indices

Dans \(ABCD\), les côtés opposés sont \(AB\) & \(CD\) d'une part, \(BC\) & \(DA\) d'autre part. Il faut que les deux paires soient égales.
Si une seule paire de côtés opposés est égale, ce n'est pas suffisant pour conclure : il faut vérifier les deux paires.
a) \(A(0;0)\), \(B(4;1)\), \(C(6;5)\), \(D(2;4)\)
AB\(AB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}\)
CD\(CD=\sqrt{(2-6)^2+(4-5)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}\)
BC\(BC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\)
DA\(DA=\sqrt{(0-2)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\)
✔ Conclusion : \(AB=CD=\sqrt{17}\) et \(BC=DA=\sqrt{20}\) : les côtés opposés sont égaux deux à deux. \(ABCD\) est un parallélogramme.
b) \(A(0;0)\), \(B(5;0)\), \(C(7;3)\), \(D(2;3)\)
AB\(AB=5\) (horizontal)
CD\(CD=\sqrt{(2-7)^2+0^2}=5\) (horizontal)
BC\(BC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)
DA\(DA=\sqrt{(0-2)^2+(0-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)
✔ Conclusion : \(AB=CD=5\) et \(BC=DA=\sqrt{13}\) : côtés opposés égaux deux à deux. \(ABCD\) est un parallélogramme.
c) \(A(-3;-1)\), \(B(-1;2)\), \(C(4;2)\), \(D(2;-1)\)
AB\(AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)
CD\(CD=\sqrt{(2-4)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)
BC\(BC=\sqrt{5^2+0^2}=5\) (horizontal)
DA\(DA=\sqrt{(-3-2)^2+0^2}=5\) (horizontal)
✔ Conclusion : \(AB=CD=\sqrt{13}\) et \(BC=DA=5\) : côtés opposés égaux deux à deux. \(ABCD\) est un parallélogramme.
À retenir : on compare toujours les deux paires de côtés opposés (\(AB\)/\(CD\) et \(BC\)/\(DA\)) — jamais des côtés consécutifs, qui ne renseignent pas sur le parallélogramme.

Exercice 2 / 6

Rectangle / Losange / Carré Diagonales & côtés consécutifs
✓ Vu

Ces trois quadrilatères sont déjà des parallélogrammes. Préciser leur nature exacte en étudiant les diagonales et/ou les côtés consécutifs.

a) \(A(0\,;\,0)\), \(B(3\,;\,4)\), \(C(8\,;\,4)\), \(D(5\,;\,0)\).
b) \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,0)\), \(C(4\,;\,3)\), \(D(0\,;\,3)\).
c) \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,0)\), \(C(4\,;\,4)\), \(D(0\,;\,4)\).

💡 Indices

Calcule les 4 côtés (pour repérer une éventuelle égalité entre côtés consécutifs) ET les 2 diagonales \(AC\), \(BD\) (pour tester le rectangle).
a) \(A(0;0)\), \(B(3;4)\), \(C(8;4)\), \(D(5;0)\)
Côtés\(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\), \(BC=\sqrt{5^2+0^2}=5\), \(CD=\sqrt{3^2+4^2}=5\), \(DA=5\)
Côtés consécutifs\(AB=BC=5\) → losange
Diagonales\(AC=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt5\), \(BD=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\)
✔ Conclusion : les 4 côtés sont égaux (\(=5\)) : \(ABCD\) est un losange. Mais \(AC \neq BD\) : les diagonales ne sont pas égales, donc ce n'est pas un rectangle, ni un carré.
b) \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(4;3)\), \(D(0;3)\)
Côtés\(AB=4\), \(BC=3\), \(CD=4\), \(DA=3\)
Côtés consécutifs\(AB=4 \neq BC=3\) → pas losange
Diagonales\(AC=\sqrt{4^2+3^2}=5\), \(BD=\sqrt{4^2+3^2}=5\)
✔ Conclusion : \(AC=BD=5\) : les diagonales sont égales, \(ABCD\) est un rectangle (mais pas un losange, donc pas un carré).
c) \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(4;4)\), \(D(0;4)\)
Côtés\(AB=BC=CD=DA=4\)
Diagonales\(AC=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2\), \(BD=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2\)
✔ Conclusion : les 4 côtés sont égaux ET les diagonales sont égales : \(ABCD\) est à la fois un losange et un rectangle, donc un carré.
À retenir : rectangle ⇔ diagonales égales · losange ⇔ côtés consécutifs égaux · carré ⇔ les deux conditions réunies.

Exercice 3 / 6

Mixte Étudier toute la nature
✓ Vu

Cette fois, rien n'est acquis : détermine complètement la nature de chaque quadrilatère \(ABCD\) (aucun quadrilatère particulier, parallélogramme simple, rectangle, ou losange).

a) \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,0)\), \(C(5\,;\,3)\), \(D(0\,;\,2)\).
b) \(A(0\,;\,0)\), \(B(3\,;\,1)\), \(C(7\,;\,1)\), \(D(4\,;\,0)\).
c) \(A(1\,;\,1)\), \(B(5\,;\,1)\), \(C(5\,;\,4)\), \(D(1\,;\,4)\).
d) \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,3)\), \(C(8\,;\,0)\), \(D(4\,;\,-3)\).

💡 Indices

Commence toujours par tester le parallélogramme (côtés opposés égaux). Si ce n'est pas vérifié, inutile d'aller plus loin : ce n'est ni un rectangle, ni un losange, ni un carré.
a) \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(5;3)\), \(D(0;2)\)
Côtés\(AB=4\), \(BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\), \(CD=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}\), \(DA=2\)
✔ Conclusion : \(AB=4 \neq CD=\sqrt{26}\) (et \(BC \neq DA\)) : les côtés opposés ne sont pas égaux. \(ABCD\) n'est pas un parallélogramme.
b) \(A(0;0)\), \(B(3;1)\), \(C(7;1)\), \(D(4;0)\)
Côtés\(AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\), \(CD=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\), \(BC=4\), \(DA=4\)
Diagonales\(AC=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}\), \(BD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)
✔ Conclusion : \(AB=CD\) et \(BC=DA\) : parallélogramme. Mais \(AC \neq BD\) et \(AB \neq BC\) : ce n'est ni un rectangle, ni un losange — un parallélogramme « simple ».
c) \(A(1;1)\), \(B(5;1)\), \(C(5;4)\), \(D(1;4)\)
Côtés\(AB=4\), \(BC=3\), \(CD=4\), \(DA=3\)
Diagonales\(AC=\sqrt{4^2+3^2}=5\), \(BD=\sqrt{4^2+3^2}=5\)
✔ Conclusion : côtés opposés égaux (parallélogramme) et diagonales égales (\(AC=BD=5\)) : \(ABCD\) est un rectangle (côtés consécutifs différents : pas un carré).
d) \(A(0;0)\), \(B(4;3)\), \(C(8;0)\), \(D(4;-3)\)
Côtés\(AB=\sqrt{4^2+3^2}=5\), \(BC=\sqrt{4^2+3^2}=5\), \(CD=5\), \(DA=5\)
Diagonales\(AC=8\), \(BD=\sqrt{0^2+6^2}=6\)
✔ Conclusion : les 4 côtés sont égaux (\(=5\)) : \(ABCD\) est un losange. Mais \(AC \neq BD\) : ce n'est pas un rectangle, donc pas un carré.

Exercice 4 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier, et corriger si elle est fausse.

a) Si un quadrilatère \(ABCD\) a ses 4 côtés égaux (\(AB=BC=CD=DA\)), alors c'est nécessairement un carré.
b) Pour montrer que \(ABCD\) est un parallélogramme à partir des distances, il suffit de vérifier que \(AB=CD\) (une seule paire de côtés opposés égaux).
c) Les diagonales d'un rectangle sont toujours égales.
d) Dans un quadrilatère \(ABCD\), les diagonales sont les segments \(AB\) et \(CD\).
e) Si les diagonales d'un parallélogramme sont égales ET si ses côtés consécutifs sont égaux, alors c'est un carré.

💡 Indices

4 côtés égaux garantissent un losange (au moins). Pense à un losange « penché » (pas un carré) : ses côtés sont égaux mais ses angles ne sont pas droits.
\(AB\) et \(CD\) sont deux côtés (opposés), pas des diagonales. Les diagonales relient des sommets non consécutifs.
a) FAUX

Quatre côtés égaux garantissent seulement un losange. Pour un carré, il faut en plus que les diagonales soient égales (ou, de façon équivalente, que les angles soient droits).

Contre-exemple : A(0;0), B(3;4), C(8;4), D(5;0) — c'est un losange, pas un carré (voir Ex2 a).
b) FAUX

Une seule paire de côtés opposés égaux ne suffit pas : cela peut correspondre à un simple trapèze isocèle. Il faut vérifier les deux paires : \(AB=CD\) ET \(BC=DA\).

c) VRAI

C'est même le critère utilisé pour reconnaître un rectangle à partir des distances : parallélogramme + diagonales égales.

d) FAUX

\(AB\) et \(CD\) sont des côtés opposés du quadrilatère \(ABCD\). Les diagonales relient des sommets non consécutifs : ce sont \(AC\) et \(BD\).

e) VRAI

C'est exactement le critère du carré : un parallélogramme qui est à la fois un rectangle (diagonales égales) et un losange (côtés consécutifs égaux).

Exercice 5 / 6

Entraînement En autonomie
✓ Vu

Sans indice cette fois : détermine la nature complète de chaque quadrilatère \(ABCD\).

a)
\(A(0\,;\,0)\), \(B(2\,;\,3)\), \(C(6\,;\,4)\), \(D(4\,;\,1)\)
b)
\(A(0\,;\,0)\), \(B(6\,;\,0)\), \(C(6\,;\,4)\), \(D(0\,;\,4)\)
c)
\(A(0\,;\,0)\), \(B(3\,;\,4)\), \(C(6\,;\,0)\), \(D(3\,;\,-4)\)
d)
\(A(0\,;\,0)\), \(B(5\,;\,0)\), \(C(6\,;\,4)\), \(D(0\,;\,3)\)
a) \(A(0;0)\), \(B(2;3)\), \(C(6;4)\), \(D(4;1)\)
Côtés\(AB=\sqrt{13}\), \(BC=\sqrt{17}\), \(CD=\sqrt{13}\), \(DA=\sqrt{17}\)
Diagonales\(AC=\sqrt{52}\), \(BD=\sqrt{8}\)
✔ Conclusion : côtés opposés égaux : parallélogramme. \(AC\neq BD\) et \(AB\neq BC\) : ni rectangle, ni losange.
b) \(A(0;0)\), \(B(6;0)\), \(C(6;4)\), \(D(0;4)\)
Côtés\(AB=6\), \(BC=4\), \(CD=6\), \(DA=4\)
Diagonales\(AC=\sqrt{52}\), \(BD=\sqrt{52}\)
✔ Conclusion : parallélogramme avec diagonales égales : rectangle (côtés consécutifs différents : pas un carré).
c) \(A(0;0)\), \(B(3;4)\), \(C(6;0)\), \(D(3;-4)\)
Côtés\(AB=BC=CD=DA=5\)
Diagonales\(AC=6\), \(BD=8\)
✔ Conclusion : 4 côtés égaux : losange. Diagonales différentes : pas un rectangle, donc pas un carré.
d) \(A(0;0)\), \(B(5;0)\), \(C(6;4)\), \(D(0;3)\)
Côtés\(AB=5\), \(CD=\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37}\)
✔ Conclusion : \(AB=5 \neq CD=\sqrt{37}\) : les côtés opposés ne sont pas égaux. \(ABCD\) n'est pas un parallélogramme (inutile d'aller plus loin).

Exercice 6 / 6

Problème Contexte concret
✓ Vu

Un urbaniste délimite un terrain \(ABCD\) dans un repère orthonormé (unité : 1 m) : \(A(0\,;\,0)\), \(B(24\,;\,7)\), \(C(17\,;\,31)\), \(D(-7\,;\,24)\). Il pense que ce terrain est carré.

1) Calculer les longueurs des quatre côtés \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\).
2) Montrer que \(ABCD\) est un losange.
3) Calculer les longueurs des diagonales \(AC\) et \(BD\). Que peut-on en conclure ?
4) En déduire l'aire du terrain.

💡 Indices

L'aire d'un carré se calcule avec \(\text{côté}^2\). Utilise la longueur d'un côté trouvée en question 1.
1) Longueurs des côtés
AB\(AB=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25\)
BC\(BC=\sqrt{(17-24)^2+(31-7)^2}=\sqrt{49+576}=25\)
CD\(CD=\sqrt{(-7-17)^2+(24-31)^2}=\sqrt{576+49}=25\)
DA\(DA=\sqrt{(0-(-7))^2+(0-24)^2}=\sqrt{49+576}=25\)
2) Losange ?
✔ Conclusion : \(AB=BC=CD=DA=25\) : les 4 côtés sont égaux (donc en particulier les côtés opposés aussi), \(ABCD\) est un losange.
3) Diagonales
AC\(AC=\sqrt{17^2+31^2}=\sqrt{289+961}=\sqrt{1250}=25\sqrt2\)
BD\(BD=\sqrt{(-7-24)^2+(24-7)^2}=\sqrt{961+289}=\sqrt{1250}=25\sqrt2\)
✔ Conclusion : \(AC=BD=25\sqrt2\) : les diagonales sont égales, donc \(ABCD\) est aussi un rectangle. Losange + rectangle : c'est bien un carré, comme le pensait l'urbaniste.
4) Aire du terrain
Formule\(\mathcal{A} = \text{côté}^2 = 25^2\)
Résultat\(\mathcal{A} = 625\) m²

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