Problèmes de synthèse —
Distances, triangles, quadrilatères

Distances et repérage n°4 — Feuille d'exercices — 2nde

Synthèse Problèmes ouverts À toi de choisir la méthode

🧰 Boîte à outils du chapitre

Distance
Repère orthonormé obligatoire.
\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
Triangle
Rectangle : comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.
Isocèle : comparer les longueurs deux à deux.
Quadrilatère
Côtés opposés égaux → parallélogramme. Diagonales égales → rectangle. Côtés consécutifs égaux → losange. Les deux → carré.
Corrections vues :
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Problème 1 / 6 — Le champ de M. Blanchard

Triangle Agriculture
✓ Vu
Dans un repère orthonormé (unité : 1 m), un agriculteur possède un champ triangulaire de sommets \(A(0\,;\,0)\), \(B(90\,;\,0)\) et \(C(90\,;\,120)\). Il souhaite l'entourer d'une clôture, qui coûte 12 € le mètre.
1) Calculer les longueurs des trois côtés du champ.
2) Le champ a-t-il une forme particulière ? Justifier.
3) Calculer le coût total de la clôture.

💡 Indice

Avant de répondre à la question 2, il faut d'abord connaître les trois longueurs — calcule-les toutes avant de chercher une propriété particulière.
1) Longueurs des côtés
AB\(AB=\sqrt{90^2+0^2}=90\) m
BC\(BC=\sqrt{0^2+120^2}=120\) m
AC\(AC=\sqrt{90^2+120^2}=\sqrt{8100+14400}=\sqrt{22500}=150\) m
2) Nature du champ
On a : le plus grand côté est \(AC=150\).
Gauche
Grand côté²\(AC^2=150^2=22\,500\)
Droite
Somme carrés\(AB^2+BC^2=8100+14400=22\,500\)
Or : Gauche \(=\) Droite, donc \(AC^2=AB^2+BC^2\).
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le champ \(ABC\) est rectangle en \(B\).
3) Coût de la clôture
Périmètre\(90+120+150=360\) m
Coût\(360\times12=4\,320\) €

Problème 2 / 6 — La terrasse de Mme Rakoto

Quadrilatère Rénovation
✓ Vu
Dans un repère orthonormé (unité : 1 m), Mme Rakoto veut vérifier que sa terrasse \(ABCD\) est bien rectangulaire avant de commander ses dalles : \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,3)\), \(C(-2\,;\,11)\), \(D(-6\,;\,8)\). Les dalles coûtent 45 €/m².
1) Calculer les longueurs des quatre côtés de la terrasse.
2) Vérifier que \(ABCD\) est bien rectangulaire.
3) Calculer le coût total des dalles.

💡 Indice

Il faut d'abord établir que c'est un parallélogramme (côtés opposés égaux), puis vérifier une propriété supplémentaire pour affirmer que c'est un rectangle.
1) Longueurs des côtés
AB\(AB=\sqrt{4^2+3^2}=5\) m
BC\(BC=\sqrt{(-2-4)^2+(11-3)^2}=\sqrt{36+64}=10\) m
CD\(CD=\sqrt{(-6-(-2))^2+(8-11)^2}=\sqrt{16+9}=5\) m
DA\(DA=\sqrt{(0-(-6))^2+(0-8)^2}=\sqrt{36+64}=10\) m
2) Nature de la terrasse
✔ Parallélogramme : \(AB=CD=5\) et \(BC=DA=10\) : côtés opposés égaux deux à deux.
Diagonale AC\(AC=\sqrt{(-2)^2+11^2}=\sqrt{4+121}=\sqrt{125}=5\sqrt5\)
Diagonale BD\(BD=\sqrt{(-6-4)^2+(8-3)^2}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}=5\sqrt5\)
✔ Conclusion : \(AC=BD\) : les diagonales sont égales, donc \(ABCD\) est bien un rectangle.
3) Coût des dalles
Aire\(5 \times 10 = 50\) m²
Coût\(50\times45=2\,250\) €

Problème 3 / 6 — La grand-voile

Triangle Nautisme
✓ Vu
Sur le plan d'un voilier (unité : 1 m), les trois points d'accroche de la grand-voile sont \(P(0\,;\,0)\), \(Q(12\,;\,0)\) et \(R(12\,;\,5)\). Le fabricant facture la bordure de la voile 8 €/m.
1) Calculer les longueurs \(PQ\), \(QR\) et \(PR\).
2) Cette voile a-t-elle un angle droit ? Si oui, lequel est le bord le plus long ?
3) Calculer le coût total de la bordure (le pourtour de la voile).

💡 Indice

Pour savoir si un triangle a un angle droit à partir de ses longueurs, une seule méthode existe : compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.
1) Longueurs
PQ\(PQ=12\) m
QR\(QR=5\) m
PR\(PR=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\) m
2) Angle droit ?
On a : le plus grand côté est \(PR=13\).
Gauche
Grand côté²\(PR^2=169\)
Droite
Somme carrés\(PQ^2+QR^2=144+25=169\)
Or : Gauche \(=\) Droite, donc \(PR^2=PQ^2+QR^2\).
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, la voile est rectangle en \(Q\). Le bord le plus long est l'hypoténuse \(PR=13\) m.
3) Coût de la bordure
Périmètre\(12+5+13=30\) m
Coût\(30\times8=240\) €

Problème 4 / 6 — Le parterre en losange

Quadrilatère Aménagement paysager
✓ Vu
Un jardinier municipal plante un parterre de fleurs en forme de losange (pour une plantation symétrique), délimité par quatre piquets \(F(0\,;\,0)\), \(G(5\,;\,12)\), \(H(10\,;\,0)\), \(I(5\,;\,-12)\) (unité : 1 m). La bordure décorative coûte 9 €/m.
1) Calculer les longueurs des quatre côtés \(FG\), \(GH\), \(HI\), \(IF\).
2) Confirmer que \(FGHI\) est bien un losange. S'agit-il aussi d'un carré ?
3) Calculer le coût total de la bordure.

💡 Indice

Un losange est un carré seulement si ses diagonales sont en plus égales. Calcule \(FH\) et \(GI\) pour trancher.
1) Longueurs des côtés
FG\(FG=\sqrt{5^2+12^2}=13\) m
GH\(GH=\sqrt{5^2+12^2}=13\) m
HI\(HI=\sqrt{5^2+12^2}=13\) m
IF\(IF=\sqrt{5^2+12^2}=13\) m
2) Losange, carré ?
✔ Losange : les 4 côtés sont égaux (\(=13\) m) : \(FGHI\) est bien un losange.
Diagonale FH\(FH=10\) m
Diagonale GI\(GI=24\) m
✔ Conclusion : \(FH \neq GI\) : les diagonales ne sont pas égales, ce n'est pas un carré.
3) Coût de la bordure
Périmètre\(4\times13=52\) m
Coût\(52\times9=468\) €

Problème 5 / 6 — Le sentier de montagne

Triangle Secours en montagne
✓ Vu
Une équipe de secouristes doit relier trois points en montagne (unité : 1 km, repère orthonormé) : le refuge \(R(0\,;\,0)\), le point de vue \(V(14\,;\,2)\) et le sommet \(S(9\,;\,11)\). À pied, ils empruntent le sentier \(R \to V \to S\).
1) Calculer les distances \(RV\), \(VS\) et \(RS\).
2) Le triangle \(RVS\) a-t-il une forme particulière (rectangle, isocèle) ? Justifier.
3) Un hélicoptère pourrait relier directement \(R\) à \(S\). Comparer cette distance à celle du sentier \(R \to V \to S\), et conclure.

💡 Indice

Oui ! Un triangle n'a pas forcément de propriété particulière. Fais les vérifications sans présupposer le résultat.
1) Distances
RV\(RV=\sqrt{14^2+2^2}=\sqrt{196+4}=\sqrt{200}=10\sqrt2\) km
VS\(VS=\sqrt{(9-14)^2+(11-2)^2}=\sqrt{25+81}=\sqrt{106}\) km
RS\(RS=\sqrt{9^2+11^2}=\sqrt{81+121}=\sqrt{202}\) km
2) Forme particulière ?
Isocèle ?\(200\), \(106\) et \(202\) sont trois valeurs différentes → pas isocèle
On a : le plus grand côté est \(RS=\sqrt{202}\).
Gauche
Grand côté²\(RS^2=202\)
Droite
Somme carrés\(RV^2+VS^2=200+106=306\)
Or : \(202 \neq 306\), donc Gauche \(\neq\) Droite.
Donc : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle \(RVS\) n'est pas rectangle. Ce triangle n'a aucune forme particulière — et c'est un résultat parfaitement valide !
3) Sentier vs hélicoptère
À pied\(RV+VS = 10\sqrt2+\sqrt{106} \approx 14{,}14+10{,}30 \approx 24{,}4\) km
À vol d'oiseau\(RS=\sqrt{202}\approx14{,}2\) km
Le trajet direct (≈ 14,2 km) est environ 10 km plus court que le sentier (≈ 24,4 km) : c'est cohérent avec l'inégalité triangulaire, qui explique pourquoi un hélicoptère gagne un temps précieux en intervention.

Problème 6 / 6 — Le studio d'architecture Arcadia

Triangle & Quadrilatère Architecture
✓ Vu
Sur un plan (unité : 1 m, repère orthonormé), une pièce rectangulaire \(ABCD\) a pour sommets \(A(0\,;\,0)\), \(B(8\,;\,0)\), \(C(8\,;\,6)\), \(D(0\,;\,6)\). Un balcon triangulaire \(BCE\) est construit sur le côté \(BC\), avec \(E(11\,;\,3)\).
1) Vérifier que la pièce \(ABCD\) est bien un rectangle.
2) Le balcon triangulaire \(BCE\) est-il isocèle ?
3) Pour aller plus loin : sachant que la hauteur du triangle \(BCE\) (issue de \(E\), perpendiculaire à \(BC\)) mesure 3 m, calculer l'aire totale de la pièce et du balcon réunis.

💡 Indice

L'aire d'un rectangle est \(\text{longueur}\times\text{largeur}\) ; l'aire d'un triangle est \(\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}\), avec pour base le côté \(BC\).
1) La pièce ABCD
Côtés\(AB=8\), \(BC=6\), \(CD=8\), \(DA=6\)
✔ Parallélogramme : \(AB=CD\) et \(BC=DA\) : côtés opposés égaux.
Diagonales\(AC=\sqrt{8^2+6^2}=10\), \(BD=\sqrt{8^2+6^2}=10\)
✔ Conclusion : \(AC=BD=10\) : les diagonales sont égales, \(ABCD\) est bien un rectangle.
2) Le balcon BCE
BE\(BE=\sqrt{(11-8)^2+3^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt2\)
CE\(CE=\sqrt{(11-8)^2+(3-6)^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt2\)
✔ Conclusion : \(BE=CE=3\sqrt2\) : le triangle \(BCE\) est bien isocèle en \(E\) — un balcon symétrique, comme le souhaitait l'architecte.
3) Aire totale
Aire pièce\(8\times6=48\) m²
Aire balcon\(\dfrac{6\times3}{2}=9\) m²
Total\(48+9=57\) m²

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