Coordonnées —
du milieu d'un segment

Géométrie repérée — Feuille d'exercices — 2nde

I(x;y) Moyenne des coordonnées Repère quelconque

📌 Coordonnées du milieu — la formule et l'astuce

① La formule du milieu
Soient \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\). Les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\) sont :
\(x_I = \dfrac{\textcolor{#dc2626}{x_A} + \textcolor{#2563eb}{x_B}}{2}\)
\(y_I = \dfrac{\textcolor{#dc2626}{y_A} + \textcolor{#2563eb}{y_B}}{2}\)
② À retenir
L'abscisse du milieu est la moyenne des abscisses, l'ordonnée du milieu est la moyenne des ordonnées — exactement comme la moyenne de deux notes.
Contrairement à la formule de distance, cette formule fonctionne dans tout repère (orthonormé ou non).
Corrections vues :
0 / 6

Exercice 1 / 6

Formule du milieu Application directe
✓ Vu

Calculer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\) pour chaque cas.

a)
\(A(2\,;\,3)\) et \(B(6\,;\,7)\)
b)
\(A(-1\,;\,4)\) et \(B(5\,;\,-2)\)
c)
\(A(0\,;\,5)\) et \(B(8\,;\,-3)\)
d)
\(A(-4\,;\,-2)\) et \(B(2\,;\,6)\)

💡 Indices

L'abscisse du milieu est la moyenne des deux abscisses : \(x_I = \dfrac{x_A+x_B}{2}\). Fais de même pour l'ordonnée.
Commence toujours par bien identifier \(x_A, y_A, x_B, y_B\) avant de remplacer dans la formule.
Méthode : \(x_I = \dfrac{x_A+x_B}{2}\) et \(y_I = \dfrac{y_A+y_B}{2}\) — une moyenne pour chaque coordonnée.
a) \(A(\textcolor{#dc2626}{2}\,;\,\textcolor{#dc2626}{3})\) et \(B(\textcolor{#2563eb}{6}\,;\,\textcolor{#2563eb}{7})\)
Abscisse\(x_I = \dfrac{2+6}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\)
Ordonnée\(y_I = \dfrac{3+7}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\)
\(I(4\,;\,5)\)
b) \(A(-1\,;\,4)\) et \(B(5\,;\,-2)\)
Abscisse\(x_I = \dfrac{-1+5}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\)
Ordonnée\(y_I = \dfrac{4+(-2)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\)
\(I(2\,;\,1)\)
c) \(A(0\,;\,5)\) et \(B(8\,;\,-3)\)
Abscisse\(x_I = \dfrac{0+8}{2} = 4\)
Ordonnée\(y_I = \dfrac{5+(-3)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\)
\(I(4\,;\,1)\)
d) \(A(-4\,;\,-2)\) et \(B(2\,;\,6)\)
Abscisse\(x_I = \dfrac{-4+2}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1\)
Ordonnée\(y_I = \dfrac{-2+6}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\)
\(I(-1\,;\,2)\)

Exercice 2 / 6

Coordonnées négatives Attention aux signes
✓ Vu

Calculer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\) pour chaque cas. Attention aux signes dans les additions.

a)
\(A(-3\,;\,-5)\) et \(B(-7\,;\,1)\)
b)
\(A(6\,;\,-9)\) et \(B(-2\,;\,3)\)
c)
\(A(-1\,;\,-1)\) et \(B(-5\,;\,-7)\)
d)
\(A(4\,;\,-6)\) et \(B(-4\,;\,6)\)

💡 Indices

Pour additionner deux nombres négatifs, additionne leurs valeurs absolues et garde le signe négatif. Exemple : \(-3 + (-7) = -10\).
Dans d), remarque que les coordonnées de \(A\) et \(B\) sont opposées. Que donne alors leur moyenne ?
a) \(A(-3\,;\,-5)\) et \(B(-7\,;\,1)\)
Abscisse\(x_I = \dfrac{-3+(-7)}{2} = \dfrac{-10}{2} = -5\)
Ordonnée\(y_I = \dfrac{-5+1}{2} = \dfrac{-4}{2} = -2\)
\(I(-5\,;\,-2)\)
b) \(A(6\,;\,-9)\) et \(B(-2\,;\,3)\)
Abscisse\(x_I = \dfrac{6+(-2)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\)
Ordonnée\(y_I = \dfrac{-9+3}{2} = \dfrac{-6}{2} = -3\)
\(I(2\,;\,-3)\)
c) \(A(-1\,;\,-1)\) et \(B(-5\,;\,-7)\)
Abscisse\(x_I = \dfrac{-1+(-5)}{2} = \dfrac{-6}{2} = -3\)
Ordonnée\(y_I = \dfrac{-1+(-7)}{2} = \dfrac{-8}{2} = -4\)
\(I(-3\,;\,-4)\)
d) \(A(4\,;\,-6)\) et \(B(-4\,;\,6)\)
Abscisse\(x_I = \dfrac{4+(-4)}{2} = \dfrac{0}{2} = 0\)
Ordonnée\(y_I = \dfrac{-6+6}{2} = \dfrac{0}{2} = 0\)
\(I(0\,;\,0)\) — le milieu est ici l'origine du repère, car \(A\) et \(B\) sont symétriques par rapport à \(O\).

Exercice 3 / 6

Formule inversée Retrouver un point
✓ Vu

Dans chaque cas, \(I\) est le milieu du segment indiqué. Déterminer les coordonnées de l'extrémité manquante.

a) \(I(1\,;\,3)\) est le milieu de \([AB]\), avec \(A(-2\,;\,5)\). Déterminer \(B\).
b) \(I(-2\,;\,4)\) est le milieu de \([CD]\), avec \(C(3\,;\,-1)\). Déterminer \(D\).
c) \(I(0\,;\,0)\) est le milieu de \([EF]\), avec \(E(5\,;\,-3)\). Déterminer \(F\).
d) \(I(2{,}5\,;\,-1)\) est le milieu de \([GH]\), avec \(G(1\,;\,2)\). Déterminer \(H\).

💡 Indices

Si \(x_I = \dfrac{x_A+x_B}{2}\), alors en isolant \(x_B\) on obtient \(x_B = 2x_I - x_A\). Même principe pour l'ordonnée.
La méthode reste identique même si \(x_I\) est décimal : \(x_H = 2 \times 2{,}5 - 1\).
Formule inversée : \(x_B = 2x_I - x_A\) et \(y_B = 2y_I - y_A\) (obtenue en isolant \(x_B\) dans \(x_I = \frac{x_A+x_B}{2}\)).
a) \(I(1\,;\,3)\) milieu de \([AB]\), \(A(-2\,;\,5)\)
Abscisse\(x_B = 2x_I - x_A = 2\times 1 - (-2) = 2+2 = 4\)
Ordonnée\(y_B = 2y_I - y_A = 2\times 3 - 5 = 6-5 = 1\)
\(B(4\,;\,1)\)
b) \(I(-2\,;\,4)\) milieu de \([CD]\), \(C(3\,;\,-1)\)
Abscisse\(x_D = 2\times(-2) - 3 = -4-3 = -7\)
Ordonnée\(y_D = 2\times 4 - (-1) = 8+1 = 9\)
\(D(-7\,;\,9)\)
c) \(I(0\,;\,0)\) milieu de \([EF]\), \(E(5\,;\,-3)\)
Abscisse\(x_F = 2\times 0 - 5 = -5\)
Ordonnée\(y_F = 2\times 0 - (-3) = 3\)
\(F(-5\,;\,3)\) — \(F\) est le symétrique de \(E\) par rapport à l'origine.
d) \(I(2{,}5\,;\,-1)\) milieu de \([GH]\), \(G(1\,;\,2)\)
Abscisse\(x_H = 2\times 2{,}5 - 1 = 5-1 = 4\)
Ordonnée\(y_H = 2\times(-1) - 2 = -2-2 = -4\)
\(H(4\,;\,-4)\)

Exercice 4 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.

a) Le milieu de \([AB]\) a pour abscisse la moyenne des abscisses de \(A\) et \(B\).
b) La formule du milieu ne fonctionne que dans un repère orthonormé.
c) Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors \(A\) est le milieu de \([IB]\).
d) Si \(I(3\,;\,3)\) est le milieu de \([AB]\) avec \(A(1\,;\,1)\), alors \(B(5\,;\,5)\).

💡 Indices

La formule du milieu ne repose que sur une moyenne, pas sur le théorème de Pythagore. Contrairement à la formule de distance, a-t-elle besoin d'un repère orthonormé ?
Teste avec des valeurs simples : \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,0)\), donc \(I(2\,;\,0)\). Calcule le milieu de \([IB]\) et compare-le à \(A\).
a) Le milieu de \([AB]\) a pour abscisse la moyenne des abscisses de \(A\) et \(B\).

✓ VRAI — c'est exactement la définition : \(x_I = \dfrac{x_A+x_B}{2}\).

b) La formule du milieu ne fonctionne que dans un repère orthonormé.

❌ FAUX — contrairement à la formule de distance, la formule du milieu repose uniquement sur la notion de moyenne : elle fonctionne dans tout repère, orthonormé ou non.

c) Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors \(A\) est le milieu de \([IB]\).

❌ FAUX — contre-exemple : \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,0)\) donnent \(I(2\,;\,0)\). Le milieu de \([IB]\) est \(\left(\dfrac{2+4}{2}\,;\,0\right) = (3\,;\,0) \neq A\).

d) Si \(I(3\,;\,3)\) est le milieu de \([AB]\) avec \(A(1\,;\,1)\), alors \(B(5\,;\,5)\).

✓ VRAI — \(x_B = 2\times 3 - 1 = 5\) et \(y_B = 2\times 3 - 1 = 5\). ✓

⚠ Piège : le milieu \(I\) de \([AB]\) partage le segment en deux parts égales, mais cela ne veut pas dire que \(A\) ou \(B\) est à son tour le milieu d'un autre segment formé avec \(I\) — vérifie toujours par le calcul.

Exercice 5 / 6

Réflexion Démontrer avec le milieu
✓ Vu

On donne \(A(-2\,;\,1)\), \(B(4\,;\,3)\), \(C(6\,;\,-1)\) et \(D(0\,;\,-3)\).

a) Calculer les coordonnées du milieu \(K\) de \([AC]\).
b) Calculer les coordonnées du milieu \(L\) de \([BD]\).
c) Que remarque-t-on concernant \(K\) et \(L\) ?
d) Que peut-on en déduire pour le quadrilatère \(ABCD\) ?

💡 Indices

Dans le quadrilatère \(ABCD\), les diagonales sont \([AC]\) et \([BD]\) (elles relient les sommets non consécutifs).
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu.
a) Milieu \(K\) de \([AC]\)
Abscisse\(x_K = \dfrac{-2+6}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\)
Ordonnée\(y_K = \dfrac{1+(-1)}{2} = \dfrac{0}{2} = 0\)
\(K(2\,;\,0)\)
b) Milieu \(L\) de \([BD]\)
Abscisse\(x_L = \dfrac{4+0}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\)
Ordonnée\(y_L = \dfrac{3+(-3)}{2} = \dfrac{0}{2} = 0\)
\(L(2\,;\,0)\)
c) Remarque

On trouve \(K(2\,;\,0) = L(2\,;\,0)\) : les points \(K\) et \(L\) sont confondus. Les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) ont donc le même milieu.

d) Conclusion
Un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme. \(ABCD\) est donc un parallélogramme.

Exercice 6 / 6

Problème Milieux enchaînés
✓ Vu

Sur une carte munie d'un repère (graduations en km), la ville \(A\) a pour coordonnées \((2\,;\,5)\) et la ville \(B\) a pour coordonnées \((14\,;\,-1)\). On souhaite installer une antenne relais exactement à mi-chemin entre les deux villes.

1) Déterminer les coordonnées du point \(M\), emplacement de l'antenne, milieu de \([AB]\).
2) Une seconde antenne doit être installée au point \(N\), milieu de \([AM]\). Déterminer les coordonnées de \(N\).
3) En comparant les positions de \(A\), \(N\), \(M\) et \(B\), justifier que \(N\) se situe au quart du segment \([AB]\) en partant de \(A\).

💡 Indices

Une fois les coordonnées de \(M\) trouvées à la question 1, applique de nouveau la formule du milieu, mais cette fois entre \(A\) et \(M\).
\(N\) est le milieu de \([AM]\), et \(M\) est lui-même le milieu de \([AB]\). \(N\) est donc à mi-chemin entre \(A\) et le milieu de \([AB]\) : quelle fraction de \([AB]\) cela représente-t-il ?
1) Coordonnées de M, milieu de [AB]
Abscisse\(x_M = \dfrac{2+14}{2} = \dfrac{16}{2} = 8\)
Ordonnée\(y_M = \dfrac{5+(-1)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\)
\(M(8\,;\,2)\)
2) Coordonnées de N, milieu de [AM]
Abscisse\(x_N = \dfrac{2+8}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\)
Ordonnée\(y_N = \dfrac{5+2}{2} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5\)
\(N(5\,;\,3{,}5)\)
3) N au quart de [AB]

\(M\) est le milieu de \([AB]\) : il partage \([AB]\) en deux parts égales. \(N\) est ensuite le milieu de \([AM]\) : il partage la moitié \([AM]\) en deux parts égales elle aussi.

\(N\) se situe donc exactement au quart du segment \([AB]\), en partant de \(A\) : la distance \(AN\) vaut un quart de la distance \(AB\).

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