Rappels — Seconde

Repérage : droite graduée, pavé droit et sphère

Abscisses · Coordonnées 3D · Latitude & longitude

I — La droite graduée
1. Définitions et vocabulaire
📘 Définition

Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi :

  • une origine, notée O, à laquelle on associe le nombre 0 ;
  • un sens positif (conventionnellement vers la droite), matérialisé par une flèche ;
  • une unité de longueur qui permet de placer les nombres entiers.
📘 Définition — Abscisse

À chaque point M d'une droite graduée correspond un unique nombre appelé son abscisse. On note M(a) pour dire que le point M a pour abscisse a.

M(a) : M est le point d'abscisse a

Si a > 0, le point est à droite de l'origine.
Si a < 0, le point est à gauche de l'origine.
Si a = 0, le point est à l'origine.

🔍 Illustration

Droite graduée avec l'unité 1. Les points A, B, C, D, E sont placés.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 A B C D E

On lit : A(−4) — B(3) — C(−1) — D(5) — E(−3)

2. Graduations avec fractions
📗 Propriété

Lorsqu'une unité est divisée en n intervalles égaux, chaque petit intervalle vaut 1/n.

Pour lire l'abscisse d'un point :

  1. Compter le nombre de petits intervalles séparant le point de l'origine (ou de la grande graduation la plus proche).
  2. Multiplier ce nombre par la valeur d'un intervalle.
  3. Affecter le signe − si le point est à gauche du 0.
🔍 Illustration — Demi-unités

Chaque unité est découpée en 2 parties égales → chaque petit intervalle vaut ½.

−3 −2 −1 0 1 2 3 F G H J K

Il y a 2 petits intervalles par unité, donc chaque intervalle vaut ½.
F(−5/2) — G(3/2) — H(−1) — J(1/2) — K(5/2)

3. Méthode : lire une abscisse (étape par étape)
📐 Méthode
① Déterminer l'unité Repérer deux grandes graduations consécutives et vérifier combien de petits intervalles les séparent.
② Calculer la valeur d'un intervalle Valeur = 1 ÷ (nombre de petits intervalles). Si chaque unité est divisée en 4 : chaque intervalle vaut ¼.
③ Compter les intervalles Compter le nombre de petits intervalles du 0 jusqu'au point (ou depuis la grande graduation connue la plus proche).
④ Affecter le signe Point à droite du 0 → abscisse positive. Point à gauche → abscisse négative.
4. Exercice — Lire des abscisses (tiers d'unité)
✏️ Exercice

Cette droite graduée a des petites subdivisions : chaque unité est découpée en 3 parties égales. Chaque intervalle vaut donc ⅓. Lis les abscisses des points R, S, T, U et V, puis encadre les fractions par deux entiers consécutifs.

−2 −1 0 1 2 R S T U V Chaque petite graduation vaut ⅓
1 Abscisse du point R . . . . .−4/3 (4 tiers à gauche du 0)
2 Abscisse du point S . . . . .2/3 (2 tiers à droite du 0)
3 Abscisse du point T . . . . .5/3 (5 tiers à droite du 0)
4 Abscisse du point U . . . . .−1/3 (1 tiers à gauche du 0)
5 Abscisse du point V . . . . .−5/3 (5 tiers à gauche du 0)
6 Encadre R(−4/3) par deux entiers consécutifs . . . . .−2 < −4/3 < −1
7 Encadre T(5/3) par deux entiers consécutifs . . . . .1 < 5/3 < 2
8 Encadre V(−5/3) par deux entiers consécutifs . . . . .−2 < −5/3 < −1
💡 Pour encadrer −4/3 : repère entre quelles grandes graduations se trouve R. Il est entre −2 et −1, donc −2 < −4/3 < −1.
II — Repérage dans le pavé droit
1. Définition
📘 Définition

Tout point M d'un pavé droit peut être repéré à partir d'un sommet et des arêtes partant de ce sommet. Un point M est repéré par trois nombres, appelés les coordonnées de M :

M(xM ; yM ; zM)
  • xM est l'abscisse de M — lue sur l'axe rouge (Dx)
  • yM est l'ordonnée de M — lue sur l'axe vert (Dy)
  • zM est la cote (ou altitude) de M — lue sur l'axe bleu (Dz)
2. Les trois axes
x
Axe (Dx) — rouge

Horizontal, allant vers la gauche. Donne l'abscisse.

y
Axe (Dy) — vert

Horizontal, allant vers l'avant. Donne l'ordonnée.

z
Axe (Dz) — bleu

Vertical, allant vers le haut. Donne la cote.

💡 Convention

L'origine du repère est le point O, sommet du pavé droit d'où partent les trois axes. Ses coordonnées sont O(0 ; 0 ; 0).

3. Exemple — Le repère du pavé droit
🔍 Illustration — Repère de l'espace

Dans le repère ci-contre, H est l'origine O(0 ; 0 ; 0). Les trois axes partent de H :

  • (Dx) en rouge est l'axe des abscisses
  • (Dy) en vert est l'axe des ordonnées
  • (Dz) en bleu est l'axe des cotes
Lire les coordonnées d'un point :
→ Je lis sa position sur l'axe rouge (x)
→ Je lis sa position sur l'axe vert (y)
→ Je lis sa hauteur sur l'axe bleu (z)
Exemple : C se trouve en x = 0, y = 0, z = 3 → C(0 ; 0 ; 3)
Repère d'un pavé droit avec les axes x (rouge), y (vert) et z (bleu)
4. Méthode — Lire les coordonnées d'un point
📐 Méthode — 3 étapes
① Lire l'abscisse x Depuis le point, se déplacer parallèlement aux axes y et z jusqu'à l'axe rouge. La valeur lue est x.
② Lire l'ordonnée y Depuis le point, se déplacer parallèlement aux axes x et z jusqu'à l'axe vert. La valeur lue est y.
③ Lire la cote z Depuis le point, se déplacer parallèlement aux axes x et y jusqu'à l'axe bleu vertical. La valeur lue est z.
📗 Propriété — Points remarquables
  • Un point sur l'axe des abscisses a y = 0 et z = 0.
  • Un point sur l'axe des ordonnées a x = 0 et z = 0.
  • Un point sur l'axe des cotes a x = 0 et y = 0.
  • Un point dans le plan du sol (plan xOy) a z = 0.
II — Exercice d'application (pavé droit)
✏️ Exercice 1 — Lire et placer des coordonnées

En utilisant le repère du pavé droit ci-dessous (H est l'origine, unité = 1 carreau), réponds aux questions suivantes.

Repère du pavé droit

Fig. — Repère du pavé droit (H est l'origine)

1. Identifier les axes

AxeNomCouleur
(Dx) Axe des . . . . . . .abscisses rouge
(Dy) Axe des . . . . . . .ordonnées vert
(Dz) Axe des . . . . . . .cotes bleu

2. Coordonnées des sommets

1 G( … ; … ; … ) . . . .G(4 ; 0 ; 0)
2 F( … ; … ; … ) . . . .F(4 ; 2 ; 0)
3 E( … ; … ; … ) . . . .E(0 ; 2 ; 0)
4 H( … ; … ; … ) . . . .H(0 ; 0 ; 0) — origine
5 A( … ; … ; … ) . . . .A(4 ; 2 ; 3)
6 B( … ; … ; … ) . . . .B(4 ; 0 ; 3)
💡 Pour lire les coordonnées : descends du point vers le sol pour trouver z, projette-toi sur l'axe rouge pour x, et sur l'axe vert pour y.

3. Placer les points J et K

Dans ton cahier, sur le même repère, place :

  • J(3 ; 2 ; 0) — dans le plan du sol (z = 0)
  • K(2 ; 0 ; 3) — en hauteur (z = 3)

Correction — Placement des points J et K

Correction : points J et K placés dans le repère
J(3 ; 2 ; 0)
→ x = 3 : avancer de 3 sur l'axe rouge
→ y = 2 : avancer de 2 sur l'axe vert
→ z = 0 : rester dans le plan du sol
K(2 ; 0 ; 3)
→ x = 2 : avancer de 2 sur l'axe rouge
→ y = 0 : rester sur l'axe rouge
→ z = 3 : monter de 3 (hauteur max.)
III — Ce que je dois savoir
📦 Repère de l'espace Un sommet O (origine) et trois axes perpendiculaires : (Dx) rouge, (Dy) vert, (Dz) bleu.
📖 Coordonnées d'un point M(x ; y ; z) : x = abscisse (rouge), y = ordonnée (vert), z = cote/altitude (bleu).
🔢 Lire les coordonnées Projeter le point sur chaque axe : parallèlement aux deux autres axes.
✏️ Placer un point Avancer de x sur l'axe rouge, puis de y sur l'axe vert, puis monter de z.
⚠️ Points dans le sol Tout point avec z = 0 est dans le plan du sol (plan xOy).
⚠️ Erreurs fréquentes
  • Inverser x et y : toujours lire x en premier (axe rouge), y en second (axe vert), z en troisième (axe bleu).
  • Oublier z : même si z = 0, il faut toujours écrire la troisième coordonnée. On écrit G(4 ; 0 ; 0) et non G(4 ; 0).
  • Confondre l'axe vert et le rouge : l'axe vert (y) part vers l'avant du pavé, l'axe rouge (x) part vers la gauche.
IV — Repérage sur une sphère
1. Définitions
📘 Définition

Pour repérer un point à la surface d'une sphère (comme la Terre), on utilise deux coordonnées angulaires exprimées en degrés (°) :

Un point M est repéré par (latitude ; longitude)
Latitude
Nord / Sud

Angle mesuré depuis l'équateur (0°) vers le pôle Nord (90° N) ou le pôle Sud (90° S).

Les lignes de même latitude sont appelées parallèles.

Longitude
Est / Ouest

Angle mesuré depuis le méridien de Greenwich (0°) vers l'Est (180° E) ou l'Ouest (180° O).

Les lignes de même longitude sont appelées méridiens.

💡 Repères importants
  • L'équateur est le parallèle de latitude 0° : il partage la Terre en deux hémisphères.
  • Le méridien de Greenwich est le méridien de longitude 0°.
  • Le pôle Nord a pour coordonnées (90° N ; —) et le pôle Sud (90° S ; —).
2. Exemple — Lire des coordonnées géographiques
🔍 Exemple — Le globe terrestre

En observant le globe ci-dessous, on peut lire les coordonnées de Paris et identifier les grandes lignes du repère terrestre.

Globe terrestre avec latitude et longitude

Fig. 1 — La Terre, un globe. Parallèles (horizontaux) et méridiens (verticaux).

📍 Coordonnées de Paris

→ Latitude ≈ 49° N : Paris est situé à environ 49° au nord de l'équateur.
→ Longitude ≈ 2° E : Paris est situé à environ 2° à l'est du méridien de Greenwich.
→ On écrit : Paris (49° N ; 2° E)

À retenir On lit toujours la latitude en premier (Nord/Sud), puis la longitude (Est/Ouest).
3. Méthode — Lire les coordonnées d'un point
📐 Méthode — 2 étapes
① Lire la latitude Repérer le parallèle le plus proche du point. Lire la valeur en degrés et préciser N (nord de l'équateur) ou S (sud).
② Lire la longitude Repérer le méridien le plus proche du point. Lire la valeur en degrés et préciser E (est de Greenwich) ou O (ouest).
III.2 — Exercice d'application
✏️ Exercice — Lire des coordonnées géographiques

En utilisant le globe ci-dessus, réponds aux questions suivantes.

1 Quelle est la latitude de l'équateur ? . . . . .0°
2 Dans quel hémisphère se trouve Paris ? . . . . .Hémisphère Nord (latitude > 0°)
3 Quelle longitude a le méridien de Greenwich ? . . . . .0°
4 Un point à 40° S est-il au nord ou au sud de l'équateur ? . . . . .Au sud (S = sud de l'équateur)
5 Quelle est la latitude du pôle Nord ? . . . . .90° N
6 Donne les coordonnées approximatives d'un point situé sur l'équateur et sur le méridien de 30° E. . . . . .(0° ; 30° E)
💡 Latitude = Nord/Sud depuis l'équateur · Longitude = Est/Ouest depuis Greenwich.
IV — Ce que je dois savoir
🌍 Repère sur une sphère Deux coordonnées angulaires en degrés : latitude (N/S) et longitude (E/O).
↕️ Latitude Angle depuis l'équateur (0°). Va de 90° S à 90° N. Les parallèles sont les lignes de même latitude.
↔️ Longitude Angle depuis le méridien de Greenwich (0°). Va de 180° O à 180° E. Les méridiens sont les lignes de même longitude.
📝 Convention d'écriture On écrit toujours (latitude ; longitude). Exemple : Paris (49° N ; 2° E).
⚠️ Erreurs fréquentes
  • Inverser latitude et longitude : la latitude mesure le Nord/Sud, la longitude mesure l'Est/Ouest.
  • Oublier la direction : toujours préciser N ou S pour la latitude, E ou O pour la longitude.
  • Confondre équateur et méridien de Greenwich : l'équateur est la référence horizontale (latitude), Greenwich est la référence verticale (longitude).
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