Formule · Démonstration · Pièges · Exercices corrigés
Le milieu d'un segment $[AB]$ est l'unique point $I$ du segment tel que $IA = IB$. Autrement dit, $I$ est à égale distance de $A$ et de $B$, et il est situé sur le segment.
Dans un repère, soient $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$. Les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ sont :
En résumé : l'abscisse du milieu est la moyenne des abscisses, l'ordonnée du milieu est la moyenne des ordonnées.
Contrairement à la formule de distance, la formule du milieu fonctionne dans tout repère (orthonormé ou non). Elle repose uniquement sur la notion de moyenne, pas sur le théorème de Pythagore.
Le milieu est le point qui partage le segment en deux parts égales. Ses coordonnées sont simplement les moyennes des coordonnées des extrémités — exactement comme la moyenne de deux notes !
Exemple numérique : si $A$ est en $x = 1$ et $B$ est en $x = 5$, le milieu est en $x = \frac{1+5}{2} = 3$. C'est bien « à mi-chemin » entre 1 et 5.
On donne $A(-3\,;\,5)$ et $B(7\,;\,-1)$. Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$.
Correction détaillée :
Identification des coordonnées :
Application de la formule :
💡 Vérification rapide : chaque coordonnée de $I$ est bien "entre" celles de $A$ et $B$. Par exemple, $-3 \leqslant 2 \leqslant 7$ en abscisse, et $-1 \leqslant 2 \leqslant 5$ en ordonnée.
Le milieu de $[AB]$ est $I(1\,;\,3)$ et $A(-2\,;\,5)$. Déterminer les coordonnées de $B$.
Correction détaillée :
On utilise la formule du milieu « à l'envers ». Si $I$ est le milieu de $[AB]$ :
💡 Astuce : la formule « à l'envers » est $x_B = 2x_I - x_A$ (et idem en ordonnée). On la retrouve facilement en isolant $x_B$ dans $x_I = \frac{x_A + x_B}{2}$.
Un repère du plan est dit orthonormé lorsqu'il vérifie deux conditions simultanées :
La formule de la distance repose sur le théorème de Pythagore, qui ne s'applique qu'à des triangles rectangles. Pour former un vrai angle droit dans le plan, il faut que les axes soient perpendiculaires. Et pour que les longueurs calculées soient réelles (en cm, en m…), il faut que les unités soient identiques sur les deux axes.
Dans un repère quelconque (axes obliques ou unités différentes), la formule ne fonctionne pas — les calculs donneraient de faux résultats.
Dans un exercice, vérifiez toujours que le repère est orthonormé avant d'appliquer la formule de distance. Sur une figure, cela se signale par le symbole d'angle droit à l'origine et des graduations égales sur les deux axes.
Un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath})$ : axes perpendiculaires, unités identiques sur les deux axes.
Dans un repère orthonormé, soient deux points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$. La distance AB est donnée par :
La formule fait quatre choses, dans l'ordre :
| ① | Écart horizontal | On calcule $x_B - x_A$ : la différence des abscisses (déplacement selon $x$). |
| ② | Écart vertical | On calcule $y_B - y_A$ : la différence des ordonnées (déplacement selon $y$). |
| ③ | Élever au carré × 2 | On élève chaque écart au carré. Cela supprime les signes négatifs et permet d'additionner deux grandeurs positives. |
| ④ | Pythagore + racine | On additionne les deux carrés (Pythagore !) puis on prend la racine carrée pour revenir à une longueur. |
L'ordre des points n'a aucune importance. En effet :
$(x_B - x_A)^2 = (x_A - x_B)^2$ et $(y_B - y_A)^2 = (y_A - y_B)^2$
donc $AB = BA$. C'est cohérent : une distance est la même quel que soit le sens dans lequel on la mesure.
La formule se démontre en construisant un triangle rectangle artificiel, dont on connaît deux côtés, et en appliquant le théorème de Pythagore.
Données : deux points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ dans un repère orthonormé.
Étape 1 — Construire le point auxiliaire C.
On introduit le point $C$ de coordonnées $(x_B\,;\,y_A)$. Ce point se trouve sur la même horizontale que $A$ et sur la même verticale que $B$.
Étape 2 — Calculer AC et BC.
Étape 3 — Angle droit en C.
Puisque les axes sont perpendiculaires (repère orthonormé), la droite horizontale $AC$ et la droite verticale $BC$ sont elles aussi perpendiculaires. Le triangle $ABC$ est donc rectangle en C.
Étape 4 — Théorème de Pythagore.
$$AB^2 = AC^2 + BC^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$$En passant à la racine carrée (positive) :
$$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$Voici les trois erreurs les plus courantes dans les calculs de distance. Lisez-les avant de faire vos exercices !
Quand une coordonnée est négative, la soustraction peut piéger. Exemple :
Si $x_A = -2$ et $x_B = 3$ :
❌ Erreur courante : $x_B - x_A = 3 - 2 = 1$
✔ Correct : $x_B - x_A = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5$
Soustraire un nombre négatif revient à additionner sa valeur absolue. Posez toujours les parenthèses autour des coordonnées négatives.
La distance $AB$ est toujours positive ou nulle (et nulle seulement si $A = B$). Si votre calcul intermédiaire donne $(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 < 0$, c'est impossible : vous avez fait une erreur de signe ou de parenthèses. Recommencez le calcul.
C'est l'erreur algébrique la plus classique :
Exemple numérique qui le prouve : $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, mais $3 + 4 = 7 \neq 5$. On ne peut pas simplifier la racine d'une somme.
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-2\,;\,3)$ et $B(4\,;\,-1)$. Calculer la distance $AB$.
Correction détaillée :
Identification des coordonnées :
Application de la formule :
Pour simplifier $\sqrt{52}$, on cherche le plus grand carré parfait qui divise 52.
$52 = 4 \times 13$ (car $4$ est un carré parfait et $13$ est premier).
On applique alors $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ :
Autres carrés parfaits utiles : $4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 100\ldots$ — apprenez-les, ils reviennent souvent !
💡 Vérification du signe : on a bien $(-4)^2 = 16 > 0$ — pas de résultat négatif, c'est cohérent.
Dans un repère orthonormé, on donne $P(1\,;\,2)$, $Q(5\,;\,2)$ et $R(5\,;\,5)$. Calculer les trois longueurs $PQ$, $QR$ et $PR$, puis démontrer que le triangle $PQR$ est rectangle.
Correction détaillée :
Étape 1 — Calcul de PQ ($P(1;2)$ et $Q(5;2)$)
Étape 2 — Calcul de QR ($Q(5;2)$ et $R(5;5)$)
Étape 3 — Calcul de PR ($P(1;2)$ et $R(5;5)$)
Étape 4 — Réciproque de Pythagore
On identifie le plus grand côté : $PR = 5$ est la plus grande des trois longueurs (5 > 4 > 3). On vérifie si le carré de ce côté est égal à la somme des carrés des deux autres :
💡 Méthode : toujours identifier d'abord le plus grand côté — c'est lui qui joue le rôle de l'hypoténuse. Tester $PR^2 = PQ^2 + QR^2$ ou $PR^2 = QR^2 + PQ^2$ (même chose).
💡 Pour trouver l'angle droit : il se situe au sommet opposé à l'hypoténuse, c'est-à-dire ici en Q.
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1\,;\,1)$, $B(1\,;\,4)$, $C(5\,;\,4)$ et $D(3\,;\,1)$. Calculer les longueurs des quatre côtés $AB$, $BC$, $CD$ et $DA$, puis déterminer la nature du quadrilatère $ABCD$.
Correction détaillée :
Étape 1 — Calcul de AB ($A(-1\,;\,1)$ et $B(1\,;\,4)$)
Étape 2 — Calcul de BC ($B(1\,;\,4)$ et $C(5\,;\,4)$)
Étape 3 — Calcul de CD ($C(5\,;\,4)$ et $D(3\,;\,1)$)
Étape 4 — Calcul de DA ($D(3\,;\,1)$ et $A(-1\,;\,1)$)
Étape 5 — Bilan et conclusion
| Côtés opposés | $AB = CD = \sqrt{13}$ | ✔ Égaux |
| Côtés opposés | $BC = DA = 4$ | ✔ Égaux |
💡 Aller plus loin : pour préciser davantage la nature du parallélogramme (losange, rectangle, carré), il faudrait vérifier si les diagonales sont égales ou perpendiculaires, ou si des côtés consécutifs sont égaux. Ici $AB \neq BC$ ($\sqrt{13} \neq 4$), donc ce n'est ni un losange ni un carré.
💡 Attention à l'ordre des sommets : dans $ABCD$, les côtés sont $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ — ne pas confondre avec les diagonales $AC$ et $BD$.
Tous les repères sont orthonormés. Calculez mentalement ou sur le cahier, puis vérifiez.
| 1 | $A(0\,;\,0)$ et $B(3\,;\,4)$. Calculer $AB$. | . . . . . $AB = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ |
| 2 | $C(1\,;\,-3)$ et $D(4\,;\,1)$. Calculer $CD$. | . . . . . $CD = \sqrt{(4-1)^2+(1-(-3))^2} = \sqrt{9+16} = 5$ |
| 3 | $E(-3\,;\,-1)$ et $F(2\,;\,-1)$. Calculer $EF$. | . . . . . $EF = \sqrt{(2-(-3))^2+(0)^2} = \sqrt{25} = 5$ (segment horizontal !) |
| 4 | $G(-1\,;\,2)$ et $H(3\,;\,-4)$. Calculer $GH$. | . . . . . $GH = \sqrt{(3-(-1))^2+(-4-2)^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ |
| 5 | $I(0\,;\,-2)$ et $J(-3\,;\,5)$. Calculer $IJ$. | . . . . . $IJ = \sqrt{(-3)^2+(5-(-2))^2} = \sqrt{9+49} = \sqrt{58}$ |
On donne $K(-2\,;\,1)$, $L(2\,;\,-2)$ et $M(5\,;\,2)$. Le triangle $KLM$ est-il rectangle ?
| ① | Calculer $KL^2$ | . . . . . $KL^2 = (2-(-2))^2+(-2-1)^2 = 16+9 = 25$ |
| ② | Calculer $LM^2$ | . . . . . $LM^2 = (5-2)^2+(2-(-2))^2 = 9+16 = 25$ |
| ③ | Calculer $KM^2$ | . . . . . $KM^2 = (5-(-2))^2+(2-1)^2 = 49+1 = 50$ |
| ④ | Conclure : le triangle est-il rectangle ? En quel sommet ? | . . . . . $KM^2 = 50 = 25+25 = KL^2+LM^2$ ✔ Oui, rectangle en $L$. |
On donne $R(-1\,;\,1)$, $S(3\,;\,1)$ et $T(1\,;\,4)$. Démontrer que le triangle $RST$ est isocèle en $T$.
| ① | Calculer $TR$ | . . . . . $TR = \sqrt{(-1-1)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$ |
| ② | Calculer $TS$ | . . . . . $TS = \sqrt{(3-1)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$ |
| ③ | Comparer $TR$ et $TS$. Que peut-on conclure ? | . . . . . $TR = TS = \sqrt{13}$ : les deux côtés issus de $T$ sont égaux, donc le triangle est isocèle en $T$. ✔ |
| 📐 | Condition préalable | La formule de distance n'est valide que dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires, même unité). |
| 📏 | La formule | $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ |
| 🔄 | Ordre des points | L'ordre est indifférent : $AB = BA$ car on élève les écarts au carré. |
| 📍 | Milieu d'un segment | $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$. Fonctionne dans tout repère. |
| 📐 | Démonstration | On construit $C(x_B\,;\,y_A)$ pour former un triangle rectangle en $C$, puis on applique Pythagore. |
| ✅ | Triangle rectangle | Calculer les 3 longueurs, identifier la plus grande, vérifier si $c^2 = a^2 + b^2$ (réciproque de Pythagore). L'angle droit est en face de $c$. |
| 🔺 | Triangle isocèle en T | Calculer les deux côtés issus de $T$ et vérifier qu'ils sont égaux : $TR = TS$. |
| ⬜ | Parallélogramme | Calculer les 4 côtés et vérifier que les côtés opposés sont égaux deux à deux : $AB = CD$ et $BC = DA$. |
| √ | Simplifier une racine | Chercher le plus grand carré parfait diviseur : $\sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13}$. |
| 🚨 | Erreur classique | $\sqrt{a^2+b^2} \neq a+b$ et $3-(-2) = 5$ (pas $1$ !). Mettre des parenthèses autour des coordonnées négatives. |