Déterminer
un antécédent

Fonctions n°3 — Feuille d'exercices — 2nde

On connaît \(f(x)\) On cherche \(x\) Résoudre \(f(x)=k\)

📌 Déterminer un antécédent — la méthode

① Ce qu'on cherche
« Un antécédent de \(k\) par \(f\) » : \(k\) est la valeur d'arrivée, on cherche la valeur de départ \(x\). C'est l'inverse du calcul d'une image : il faut résoudre une équation.
② La méthode des flèches
On pose \(f(x) = k\), puis on isole \(x\) en appliquant la même opération des deux côtés de l'égalité (symbolisée par les flèches), jusqu'à obtenir \(x = \ldots\)
Corrections vues :
0 / 7

Exercice 1 / 7

Une étape Méthode des flèches
✓ Vu

Déterminer l'antécédent demandé dans chaque cas.

a.Soit \(f(x) = x + 6\). Trouver l'antécédent de \(10\) par \(f\).
b.Soit \(g(x) = x - 9\). Trouver l'antécédent de \(-2\) par \(g\).
c.Soit \(h(x) = 5x\). Trouver l'antécédent de \(35\) par \(h\).
a. Antécédent de 10 par f
\(x \) \(+6\) \(= 10\)
\(-6\)
\(-6\)
\(x = 4\)
L'antécédent de \(10\) par \(f\) est \(4\)
✅ Vérification : \(f(4) = 4+6 = 10\) ✓
b. Antécédent de -2 par g
\(x \) \(-9\) \(= -2\)
\(+9\)
\(+9\)
\(x = 7\)
L'antécédent de \(-2\) par \(g\) est \(7\)
✅ Vérification : \(g(7) = 7-9 = -2\) ✓
c. Antécédent de 35 par h
\(5\)\(x = 35\)
\(\div 5\)
\(\div 5\)
\(x = 7\)
L'antécédent de \(35\) par \(h\) est \(7\)
✅ Vérification : \(h(7) = 5\times7 = 35\) ✓

Exercice 2 / 7

Deux étapes Fonction affine
✓ Vu
a.Soit \(f(x) = 3x - 2\). Trouver l'antécédent de \(10\) par \(f\).
b.Soit \(g(x) = 2x + 7\). Trouver l'antécédent de \(-3\) par \(g\).

💡 Indices

On « défait » les opérations dans l'ordre inverse de celui dans lequel elles ont été appliquées à \(x\) : ici on enlève d'abord le terme isolé, puis on divise.
a. Antécédent de 10 par f
\(3x \) \(-2\) \(= 10\)
\(+2\)
\(+2\)
\(3\)\(x = 12\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x = 4\)
L'antécédent de \(10\) par \(f\) est \(4\)
✅ Vérification : \(f(4) = 3\times4-2 = 10\) ✓
b. Antécédent de -3 par g
\(2x \) \(+7\) \(= -3\)
\(-7\)
\(-7\)
\(2\)\(x = -10\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = -5\)
L'antécédent de \(-3\) par \(g\) est \(-5\)
✅ Vérification : \(g(-5) = 2\times(-5)+7 = -3\) ✓

Exercice 3 / 7

Même fonction, 3 valeurs
✓ Vu

Soit \(k(x) = 5x + 3\). Déterminer l'antécédent de chacun des nombres suivants par \(k\).

\(\mathbf{a.}\) \(18\)   \(\mathbf{b.}\) \(-7\)   \(\mathbf{c.}\) \(3\)

a. Antécédent de 18
\(5x \) \(+3\) \(= 18\)
\(-3\)
\(-3\)
\(5\)\(x = 15\)
\(\div 5\)
\(\div 5\)
\(x = 3\)
L'antécédent de \(18\) par \(k\) est \(3\)
b. Antécédent de -7
\(5x \) \(+3\) \(= -7\)
\(-3\)
\(-3\)
\(5\)\(x = -10\)
\(\div 5\)
\(\div 5\)
\(x = -2\)
L'antécédent de \(-7\) par \(k\) est \(-2\)
c. Antécédent de 3
\(5x \) \(+3\) \(= 3\)
\(-3\)
\(-3\)
\(5\)\(x = 0\)
\(\div 5\)
\(\div 5\)
\(x = 0\)
L'antécédent de \(3\) par \(k\) est \(0\)
À retenir : avec la même fonction, on refait exactement les deux mêmes flèches à chaque fois — seule la valeur de départ de l'équation change.

Exercice 4 / 7

Quotient Produit en croix
✓ Vu
a.Soit \(f(x) = \dfrac{x}{4}\). Trouver l'antécédent de \(5\) par \(f\).
b.Soit \(g(x) = \dfrac{2x}{3}\). Trouver l'antécédent de \(8\) par \(g\).

💡 Indices

Une égalité du type \(\dfrac{x}{4} = 5\) peut se lire \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{5}{1}\) : on retrouve alors la méthode du produit en croix, ou plus simplement on multiplie chaque côté par le dénominateur.
a. Antécédent de 5 par f
\(\dfrac{x}{\text{4}} = 5\)

On isole \(x\) en multipliant par le dénominateur 4

\(\times 4\)
\(\times 4\)
\(x = 20\)
L'antécédent de \(5\) par \(f\) est \(20\)
✅ Vérification : \(f(20) = \dfrac{20}{4} = 5\) ✓
b. Antécédent de 8 par g

On pose \(\dfrac{2x}{3} = 8\), soit \(\dfrac{2x}{3} = \dfrac{8}{1}\). Produit en croix :

\(2x \times 1 = 3 \times 8\)
\(2\)\(x = 24\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 12\)
L'antécédent de \(8\) par \(g\) est \(12\)
✅ Vérification : \(g(12) = \dfrac{2\times12}{3} = \dfrac{24}{3} = 8\) ✓

Exercice 5 / 7

Problème concret
✓ Vu

On reprend le forfait téléphonique de la fiche précédente : le prix payé (en €) en fonction du nombre \(x\) de Go consommés est \(p(x) = 2x + 9{,}90\).

a.Un client a payé \(25{,}90\) €. Combien de Go a-t-il consommés ?
b.Un autre client a payé \(9{,}90\) €. Que peut-on en déduire sur sa consommation ?
a. Consommation pour 25,90 €

On cherche l'antécédent de \(25{,}90\) par \(p\) : on résout \(p(x) = 25{,}90\).

\(2x \) \(+9{,}90\) \(= 25{,}90\)
\(-9{,}90\)
\(-9{,}90\)
\(2\)\(x = 16\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 8\)
Le client a consommé \(8\) Go
b. Consommation pour 9,90 €

On résout \(2x + 9{,}90 = 9{,}90\), soit \(2x = 0\), donc \(x = 0\).

Ce client n'a consommé aucun Go : il n'a payé que le prix fixe de l'abonnement.

Exercice 6 / 7

Cas particuliers 0, 1 ou 2 antécédents
✓ Vu

Soit \(f(x) = x^2 - 1\). Pour chaque nombre, déterminer le ou les antécédents par \(f\), ou indiquer qu'il n'y en a aucun.

\(\mathbf{a.}\) \(3\)   \(\mathbf{b.}\) \(-1\)   \(\mathbf{c.}\) \(-5\)

💡 Indices

Un carré \(x^2\) est toujours positif ou nul. Si l'équation aboutit à « \(x^2 = \) nombre négatif », il n'y a aucune solution.
Si \(x^2 = a\) avec \(a > 0\), alors \(x = \sqrt{a}\) ou \(x = -\sqrt{a}\) : deux nombres opposés ont le même carré.
a. Antécédent(s) de 3
Équation\(x^2 - 1 = 3 \;\Rightarrow\; x^2 = 4\)

Les nombres dont le carré vaut \(4\) sont \(2\) et \(-2\).

\(3\) a deux antécédents par \(f\) : \(2\) et \(-2\)
b. Antécédent(s) de -1
Équation\(x^2 - 1 = -1 \;\Rightarrow\; x^2 = 0\)

Un seul nombre a pour carré \(0\) : c'est \(0\) lui-même.

\(-1\) a un seul antécédent par \(f\) : \(0\)
c. Antécédent(s) de -5
Équation\(x^2 - 1 = -5 \;\Rightarrow\; x^2 = -4\)

Un carré ne peut jamais être négatif : cette équation n'a aucune solution.

\(-5\) n'a aucun antécédent par \(f\)
⚠ À retenir : contrairement à une fonction affine (toujours un seul antécédent), une fonction comme \(f(x)=x^2-1\) peut donner \(0\), \(1\) ou \(2\) antécédents selon le nombre choisi.

Exercice 7 / 7

Bilan Image ou antécédent ?
✓ Vu

a. Pour chacune des questions suivantes, dire si l'on cherche une image ou un antécédent — sans la résoudre.

1.Calculer \(f(3)\).
2.Résoudre l'équation \(f(x) = 8\).
3.Quelle est la valeur d'arrivée associée à \(5\) ?
4.Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(f(x) = -2\) ?
5.Que vaut \(g(-4)\) ?
6.Quel nombre donne \(12\) par la fonction \(h\) ?

b. Soit \(f(x) = 4x - 1\).

•Calculer l'image de \(-2\) par \(f\).
•Déterminer l'antécédent de \(11\) par \(f\).

c. Soit \(f(x) = 2x + 13\). Trouver la valeur de \(x\) telle que \(f(x) = 5\).

d. Soit \(g(x) = 5x - 8\). Quel nombre obtient-on si l'on remplace \(x\) par \(6\) ?

💡 Indices

Si on te donne \(x\) et qu'il faut calculer, remplacer, évaluer : c'est une image. Si on te donne le résultat et qu'il faut résoudre une équation pour retrouver \(x\) : c'est un antécédent.
« Trouver \(x\) tel que \(f(x) = 5\) », c'est exactement résoudre \(f(x) = 5\) : c'est donc bien la recherche d'un antécédent, même si le mot n'apparaît pas.
a. Image ou antécédent ?
1.Calculer \(f(3)\)Image
2.Résoudre \(f(x)=8\)Antécédent
3.Valeur d'arrivée associée à \(5\)Image
4.\(x\) tel que \(f(x)=-2\)Antécédent
5.Valeur de \(g(-4)\)Image
6.Nombre qui donne \(12\) par \(h\)Antécédent
Le repère : si l'on connaît la valeur de départ et qu'il faut calculer → image. Si l'on connaît la valeur d'arrivée et qu'il faut résoudre une équation → antécédent.
b. Image de -2, puis antécédent de 11 (f(x) = 4x-1)

Image de \(-2\) — on calcule directement :

On substitue\(f(-2) = 4\times(-2)-1\)
Résultat\(f(-2) = -9\)

Antécédent de \(11\) — on résout \(f(x) = 11\) :

\(4x \) \(-1\) \(= 11\)
\(+1\)
\(+1\)
\(4\)\(x = 12\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(x = 3\)
L'antécédent de \(11\) par \(f\) est \(3\)
c. f(x) = 2x+13, trouver x tel que f(x) = 5

Même si les mots « image » et « antécédent » n'apparaissent pas, « trouver \(x\) tel que \(f(x)=5\) » signifie bien : chercher l'antécédent de \(5\) par \(f\).

\(2x \) \(+13\) \(= 5\)
\(-13\)
\(-13\)
\(2\)\(x = -8\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = -4\)
\(x = -4\)
✅ Vérification : \(f(-4) = 2\times(-4)+13 = 5\) ✓
d. g(x) = 5x-8, remplacer x par 6

« Remplacer \(x\) par \(6\) » signifie calculer l'image de \(6\) par \(g\) : c'est un calcul direct, pas une équation à résoudre.

On substitue\(g(6) = 5\times 6 - 8\)
Résultat\(g(6) = 22\)
⚠ À retenir : le vocabulaire « image » / « antécédent » n'est pas toujours écrit noir sur blanc. Il faut repérer ce qu'on connaît (départ ou arrivée) pour savoir s'il faut calculer ou résoudre une équation.

🏠 Menu 🏠