Domaine
de définition

Fonctions n°4 — Feuille d'exercices — 2^nde

Notion nouvelle Division interdite Racine interdite

📌 Le domaine de définition — tout ce qu'il faut savoir

① Qu'est-ce que c'est ?

Le domaine de définition \(D_f\) d'une fonction \(f\), c'est l'ensemble des valeurs de départ qu'on a le droit de choisir, c'est-à-dire celles pour lesquelles le calcul de \(f(x)\) est réellement possible. La plupart du temps, on peut tout choisir : \(D_f = \mathbb{R}\) (tous les nombres réels). Mais dans deux cas précis, certaines valeurs sont interdites.

② Les deux seules interdictions

🚫 Division par zéro. Si \(x\) apparaît au dénominateur, la valeur qui annule ce dénominateur est interdite.

🚫 Racine carrée d'un négatif. Si \(x\) apparaît sous une racine \(\sqrt{\ \ }\), l'expression sous la racine doit être \(\geq 0\).

③ Lire la notation par intervalles

\([\) ou \(]\) fermé vers l'intérieur : la borne est incluse.
\([\) ou \(]\) ouvert vers l'extérieur : la borne est exclue.
Le symbole \(\cup\) (« union ») sert à réunir deux morceaux séparés par une valeur interdite.

Ex : \(]-\infty\,;\,3[\;\cup\;]3\,;\,+\infty[\) = tous les réels sauf \(3\)

Corrections vues :

0 / 7

Exercice 1 / 7

Aucune restriction \(D_f = \mathbb{R}\)

✓ Vu

Pour chaque fonction, expliquer pourquoi il n'y a aucune valeur interdite, puis donner son domaine de définition.

a.\(f(x) = 3x + 7\)

b.\(g(x) = -2x^2 + 5x - 1\)

c.\(h(x) = x^3 - 4\)

Méthode commune aux trois cas

Dans les trois expressions, on ne trouve ni division par \(x\), ni racine carrée contenant \(x\). On peut donc remplacer \(x\) par n'importe quel nombre (positif, négatif, décimal, entier…) : le calcul se fait toujours sans problème.

a. f(x) = 3x+7

Addition et multiplication uniquement : aucune restriction.

\(D_f = \mathbb{R}\)

b. g(x) = -2x²+5x-1

Un carré, des multiplications et des additions : cela reste toujours calculable.

\(D_g = \mathbb{R}\)

c. h(x) = x³-4

Une puissance et une soustraction : toujours calculable, quel que soit \(x\).

\(D_h = \mathbb{R}\)

À retenir : une fonction construite uniquement avec des \(+\), \(-\), \(\times\) et des puissances a toujours pour domaine \(\mathbb{R}\).

Exercice 2 / 7

Division par zéro Cas simples

✓ Vu

Pour chaque fonction : 1) trouver la valeur de \(x\) qui annule le dénominateur, 2) écrire le domaine de définition avec la notation par intervalles.

a.\(f(x) = \dfrac{1}{x - 4}\)

b.\(g(x) = \dfrac{6}{x + 2}\)

c.\(h(x) = \dfrac{3}{x}\)

💡 Indices

Pose-toi toujours ces deux questions : (1) « Que vaut le dénominateur ? » puis (2) « Quelle valeur de \(x\) rend ce dénominateur égal à \(0\) ? » Cette valeur sera la seule interdite.

a. f(x) = 1/(x-4)

Le dénominateur est \(x-4\). On cherche pour quelle valeur il s'annule :

On résout\(x - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 4\)

La valeur \(x=4\) est interdite : si on la choisissait, on diviserait par \(0\), ce qui est impossible. Toutes les autres valeurs conviennent.

Le cercle non rempli en \(4\) signifie que cette valeur est exclue du domaine.

\(D_f = \;]-\infty\,;\,4[\;\cup\;]4\,;\,+\infty[\)

b. g(x) = 6/(x+2)

On résout\(x + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = -2\)

La valeur \(x=-2\) est interdite.

\(D_g = \;]-\infty\,;\,-2[\;\cup\;]-2\,;\,+\infty[\)

c. h(x) = 3/x

Ici le dénominateur est directement \(x\) : il s'annule pour \(x = 0\). C'est le cas le plus classique !

\(D_h = \;]-\infty\,;\,0[\;\cup\;]0\,;\,+\infty[\)

Exercice 3 / 7

Division par zéro Résoudre une équation

✓ Vu

Même consigne, mais ici il faudra résoudre une petite équation pour trouver la valeur interdite (utilise la méthode des flèches vue en fiche 3 si besoin).

a.\(f(x) = \dfrac{5}{2x - 6}\)

b.\(g(x) = \dfrac{7}{3x + 9}\)

a. f(x) = 5/(2x-6)

Le dénominateur est \(2x-6\). On cherche la valeur de \(x\) qui l'annule :

\(2x \) \(-6\) \(= 0\)

\(+6\)

\(2\)\(x = 6\)

\(\div 2\)

\(x = 3\)

La valeur \(x=3\) est interdite.

\(D_f = \;]-\infty\,;\,3[\;\cup\;]3\,;\,+\infty[\)

b. g(x) = 7/(3x+9)

\(3x \) \(+9\) \(= 0\)

\(-9\)

\(3\)\(x = -9\)

\(\div 3\)

\(x = -3\)

La valeur \(x=-3\) est interdite.

\(D_g = \;]-\infty\,;\,-3[\;\cup\;]-3\,;\,+\infty[\)

À retenir : quel que soit le dénominateur, la méthode ne change pas : on pose « dénominateur \(=0\) », on résout, et cette valeur devient la valeur interdite.

Exercice 4 / 7

Racine carrée

✓ Vu

Pour chaque fonction, déterminer pour quelles valeurs de \(x\) l'expression sous la racine est positive ou nulle, puis donner le domaine de définition.

a.\(f(x) = \sqrt{x - 5}\)

b.\(g(x) = \sqrt{x + 3}\)

c.\(h(x) = \sqrt{4x}\)

💡 Indices

On écrit toujours « l'expression sous la racine \(\geq 0\) », puis on résout cette inéquation comme une équation habituelle (les mêmes flèches fonctionnent, tant qu'on garde le sens \(\geq\)).

a. f(x) = √(x-5)

On écrit la condition : l'expression sous la racine doit être positive ou nulle.

Condition\(x - 5 \geq 0\)

On résout\(x \geq 5\)

Toute valeur \(x < 5\) (par exemple \(x=0\) ou \(x=4\)) est interdite, car on obtiendrait une racine d'un nombre négatif.

Le cercle rempli en \(5\) signifie que cette valeur, elle, est incluse dans le domaine (car \(\geq\), pas \(>\)).

\(D_f = \;[5\,;\,+\infty[\)

b. g(x) = √(x+3)

Condition\(x + 3 \geq 0\)

On résout\(x \geq -3\)

\(D_g = \;[-3\,;\,+\infty[\)

c. h(x) = √(4x)

Condition\(4x \geq 0\)

On divise par 4\(x \geq 0\)

Diviser les deux membres d'une inéquation par un nombre positif (ici \(4\)) ne change pas le sens de l'inégalité.

\(D_h = \;[0\,;\,+\infty[\)

À retenir : avec une racine carrée, le domaine est toujours une « demi-droite » \([a\,;\,+\infty[\), jamais un domaine avec un trou comme pour la division.

Exercice 5 / 7

Notation par intervalles Lire / écrire

✓ Vu

a. Traduire chaque phrase en notation par intervalles.

1.« Toutes les valeurs réelles, sauf \(7\). »

2.« Toutes les valeurs supérieures ou égales à \(-2\). »

b. Traduire chaque domaine en une phrase en français.

3.\(D_f = \;]-\infty\,;\,5[\;\cup\;]5\,;\,+\infty[\)

4.\(D_g = \;[0\,;\,+\infty[\)

1. Toutes les valeurs sauf 7

On « saute » la valeur \(7\), donc on réunit ce qui est avant et ce qui est après avec \(\cup\).

\(]-\infty\,;\,7[\;\cup\;]7\,;\,+\infty[\)

2. Toutes les valeurs supérieures ou égales à -2

« Supérieures ou égales » signifie que \(-2\) est incluse : le crochet se ferme du côté de \(-2\).

\([-2\,;\,+\infty[\)

3. ]-∞;5[ ∪ ]5;+∞[

Les deux crochets autour de \(5\) sont ouverts (donc \(5\) est exclu), et on réunit les deux morceaux.

« Toutes les valeurs réelles, sauf \(5\). »

4. [0;+∞[

Le crochet est fermé du côté de \(0\) : cette valeur est incluse.

« Toutes les valeurs positives ou nulles (supérieures ou égales à \(0\)). »

Exercice 6 / 7

Vrai ou Faux Pièges à éviter

✓ Vu

Attention, une fraction ou une racine carrée ne signifie pas toujours qu'il y a une valeur interdite ! Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

a.La fonction \(f(x) = \dfrac{3}{2} + x\) n'a aucune valeur interdite.

b.Toute fonction contenant une fraction a forcément une valeur interdite.

c.La fonction \(g(x) = \sqrt{x^2}\) a des valeurs interdites, car il y a une racine carrée.

d.La fonction \(h(x) = \dfrac{1}{x^2+1}\) a une valeur interdite, car il y a une division.

💡 Indices

Il ne faut pas se demander « y a-t-il une fraction ou une racine ? » mais « est-ce que \(x\) est dans le dénominateur, ou sous la racine ? » et si oui, « cette expression peut-elle vraiment valoir \(0\) ou être négative ? »

a. Vraie ✓

Dans \(f(x) = \dfrac{3}{2} + x\), le nombre \(x\) n'est pas au dénominateur : \(\dfrac{3}{2}\) est simplement une constante (elle vaut \(1{,}5\)). Il n'y a donc aucune valeur interdite.

\(D_f = \mathbb{R}\)

b. Fausse ✗

L'exemple précédent le montre : une fraction n'est un problème que si \(x\) se trouve au dénominateur. Si \(x\) est seulement au numérateur (ou pas présent dans la fraction), il n'y a aucune restriction.

c. Fausse ✗

Ici, l'expression sous la racine est \(x^2\). Or un carré est toujours positif ou nul, quel que soit \(x\) (par exemple \((-3)^2 = 9 \geq 0\)). La condition « \(x^2 \geq 0\) » est donc toujours vraie : il n'y a aucune valeur interdite.

\(D_g = \mathbb{R}\)

d. Fausse ✗

Le dénominateur est \(x^2+1\). Comme \(x^2 \geq 0\) pour tout \(x\), on a toujours \(x^2 + 1 \geq 1\) : le dénominateur ne peut jamais être nul. Il n'y a donc aucune valeur interdite.

\(D_h = \mathbb{R}\)

⚠ À retenir : une fraction ou une racine ne posent problème que si le dénominateur peut réellement s'annuler, ou si l'expression sous la racine peut réellement devenir négative. Il faut toujours vérifier, jamais conclure trop vite !

Exercice 7 / 7

Bilan Reformulations

✓ Vu

Ces questions ne contiennent pas les mots « domaine de définition », mais portent bien sur cette notion. Répondre en justifiant.

a.Peut-on calculer \(f(3)\) si \(f(x) = \dfrac{1}{x-3}\) ? Justifier.

b.Y a-t-il une valeur de \(x\) pour laquelle on ne peut pas calculer \(g(x) = \sqrt{2x-8}\) ? Si oui, laquelle ou lesquelles ?

c.Léa affirme : « Dans \(h(x) = \dfrac{4}{x+10}\), on peut donner à \(x\) n'importe quelle valeur. » A-t-elle raison ?

a. Calculer f(3) avec f(x) = 1/(x-3) ?

Si l'on remplace \(x\) par \(3\), le dénominateur devient \(3-3=0\). Or diviser par \(0\) est impossible.

Non, on ne peut pas calculer \(f(3)\) : \(3\) n'appartient pas au domaine de définition de \(f\).

b. Valeur(s) où g(x)=√(2x-8) est incalculable

Cette question demande en réalité : « pour quelles valeurs de \(x\) l'expression sous la racine est-elle négative ? »

Condition\(2x - 8 \geq 0\)

On résout\(2x \geq 8 \;\Longrightarrow\; x \geq 4\)

Oui : toutes les valeurs \(x < 4\) rendent le calcul impossible (le domaine est \([4\,;\,+\infty[\)).

c. Léa a-t-elle raison ?

Non, Léa a tort. Dans \(h(x) = \dfrac{4}{x+10}\), le dénominateur \(x+10\) s'annule pour \(x=-10\) (\(-10+10=0\)). Cette valeur est donc interdite : on ne peut pas la donner à \(x\).

\(D_h = \;]-\infty\,;\,-10[\;\cup\;]-10\,;\,+\infty[\)

⚠ À retenir : même sans le mot « domaine de définition », toute question du type « peut-on calculer… ? » ou « pour quelle valeur… ? » te ramène à chercher les valeurs interdites : dénominateur nul ou racine d'un nombre négatif.