Appartenance d'un point
à une courbe

Fonctions n°7 — Feuille d'exercices — 2nde

On calcule, on ne regarde pas \(f(a) = b\) ?

📌 Un point appartient-il à une courbe ?

① La propriété
Un point \(A(a\,;\,b)\) appartient à la courbe de \(f\) si et seulement si \(f(a) = b\).
\(A(a\,;\,b) \in \mathcal{C}_f \iff f(a) = b\)
② La méthode : on calcule, on ne regarde pas
1. On prend l'abscisse \(a\) comme valeur de départ et on calcule son image \(f(a)\)
2. On compare ce résultat à l'ordonnée \(b\) du point
3. Égalité → le point appartient. Différence → il n'appartient pas.
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Exercice 1 / 6

Méthode de base Fonction affine
✓ Vu

Soit \(f(x) = 3x - 1\). Pour chaque point, dire s'il appartient à la courbe de \(f\), en détaillant le calcul.

\(A(2\,;\,5)\)
\(B(-1\,;\,-4)\)
\(C(0\,;\,2)\)

💡 Indices

On calcule toujours l'image de l'abscisse (premier nombre), puis on compare avec l'ordonnée (deuxième nombre) du point.
A(2 ; 5)
On calcule\(f(2) = 3\times2-1 = 5\)
On compare\(5 = 5\) ✓
A appartient à la courbe de \(f\)
B(-1 ; -4)
On calcule\(f(-1) = 3\times(-1)-1 = -4\)
On compare\(-4 = -4\) ✓
B appartient à la courbe de \(f\)
C(0 ; 2)
On calcule\(f(0) = 3\times0-1 = -1\)
On compare\(-1 \neq 2\) ✗
C n'appartient pas à la courbe de \(f\)
À retenir : on ne devine jamais — on calcule systématiquement l'image de l'abscisse et on compare à l'ordonnée annoncée.

Exercice 2 / 6

Plusieurs points
✓ Vu

Soit \(g(x) = -2x + 4\). Parmi les points suivants, lesquels appartiennent à la courbe de \(g\) ?

\(P(1\,;\,2)\)
\(Q(3\,;\,-2)\)
\(R(-2\,;\,9)\)
\(S(0\,;\,5)\)
P(1 ; 2)
On calcule\(g(1) = -2\times1+4 = 2\)
P appartient à la courbe (\(2=2\) ✓)
Q(3 ; -2)
On calcule\(g(3) = -2\times3+4 = -2\)
Q appartient à la courbe (\(-2=-2\) ✓)
R(-2 ; 9)
On calcule\(g(-2) = -2\times(-2)+4 = 8\)
R n'appartient pas à la courbe (\(8 \neq 9\) ✗)
S(0 ; 5)
On calcule\(g(0) = -2\times0+4 = 4\)
S n'appartient pas à la courbe (\(4 \neq 5\) ✗)
💡 Ici, \(2\) points sur \(4\) appartiennent à la courbe : chaque point se traite indépendamment, avec le même calcul.

Exercice 3 / 6

Fonction au carré Piège
✓ Vu

Soit \(h(x) = x^2 + 1\). Pour chaque point, dire s'il appartient à la courbe de \(h\).

\(A(2\,;\,5)\)
\(B(-2\,;\,5)\)
\(C(3\,;\,9)\)

💡 Indices

Attention à ne pas s'arrêter après avoir calculé \(3^2=9\) : il ne faut pas oublier le \(+1\) de la fonction !
A(2 ; 5)
On calcule\(h(2) = 2^2+1 = 4+1 = 5\)
A appartient à la courbe (\(5=5\) ✓)
B(-2 ; 5)
On calcule\(h(-2) = (-2)^2+1 = 4+1 = 5\)
B appartient à la courbe (\(5=5\) ✓)

💡 \(A\) et \(B\) ont la même ordonnée : c'est cohérent, une fonction peut donner la même image pour deux abscisses différentes.

C(3 ; 9)
On calcule\(h(3) = 3^2+1 = 9+1 = 10\)
C n'appartient pas à la courbe (\(10 \neq 9\) ✗)

⚠ Piège classique : on pourrait s'arrêter à \(3^2=9\) et conclure trop vite que \(C\) appartient, en oubliant le \(+1\).

⚠ À retenir : il faut toujours calculer l'image en entier, jusqu'au bout de l'expression, avant de comparer.

Exercice 4 / 6

Valeur manquante Image et antécédent
✓ Vu

Soit \(f(x) = 2x + 5\).

a.Trouver la valeur de \(m\) pour que le point \(A(3\,;\,m)\) appartienne à la courbe de \(f\).
b.Trouver la valeur de \(a\) pour que le point \(B(a\,;\,1)\) appartienne à la courbe de \(f\).

💡 Indices

L'abscisse \(3\) est connue : il suffit de calculer son image, c'est-à-dire \(f(3)\).
Cette fois, c'est l'ordonnée \(1\) qui est connue : il faut résoudre l'équation \(f(a) = 1\) pour retrouver \(a\).
a. Trouver m — IMAGE

image On connaît l'abscisse (\(3\)) : \(m\) est simplement l'image de \(3\) par \(f\).

On calcule\(f(3) = 2\times3+5 = 11\)
\(m = 11\), donc \(A(3\,;\,11)\)
b. Trouver a — ANTÉCÉDENT

antécédent On connaît l'ordonnée (\(1\)) : \(a\) est un antécédent de \(1\) par \(f\), donc on résout \(f(a)=1\).

\(2a \) \(+5\) \(= 1\)
\(-5\)
\(-5\)
\(2\)\(a = -4\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(a = -2\)
\(a = -2\), donc \(B(-2\,;\,1)\)
⚠ À retenir : quand l'abscisse est connue, on calcule une image. Quand c'est l'ordonnée qui est connue, on cherche un antécédent en résolvant une équation.

Exercice 5 / 6

Vrai ou Faux Pièges à éviter
✓ Vu

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

a.Pour savoir si un point appartient à une courbe, il suffit de regarder le graphique, sans calculer.
b.Si \(f(a) \neq b\), alors le point \(A(a\,;\,b)\) n'appartient pas à la courbe de \(f\).
c.Si l'abscisse d'un point n'appartient pas au domaine de définition de \(f\), alors ce point ne peut jamais appartenir à la courbe de \(f\).
d.Deux points différents, ayant la même abscisse, peuvent tous les deux appartenir à la courbe d'une même fonction.
a. Fausse ✗

Un graphique donne une bonne idée, mais seul le calcul permet d'être certain, surtout si les coordonnées ne sont pas des nombres entiers faciles à lire précisément.

b. Vraie ✓

C'est exactement la propriété : l'égalité \(f(a)=b\) est une condition nécessaire pour que le point appartienne à la courbe. Si elle est fausse, le point n'appartient pas.

c. Vraie ✓

Si \(a\) n'est pas dans le domaine de définition (fiche 4), alors \(f(a)\) n'existe pas du tout : il est donc impossible de comparer quoi que ce soit, et le point ne peut pas appartenir à la courbe.

d. Fausse ✗

C'est impossible : par définition, une fonction associe à chaque valeur de départ une unique valeur d'arrivée (fiche 1). Deux points avec la même abscisse mais des ordonnées différentes ne peuvent donc pas appartenir tous les deux à la courbe.

⚠ À retenir : l'appartenance à une courbe se prouve toujours par le calcul, jamais par une simple observation visuelle.

Exercice 6 / 6

Bilan Reformulations + contexte
✓ Vu
a.Sachant que \(f(x) = 4x - 7\), peut-on affirmer que le point \((2\,;\,1)\) est sur la représentation graphique de \(f\) ?
b.On reprend le vendeur de disques de la fiche 6, avec \(p(x) = 2x+1\). Un client affirme avoir payé \(11\) € pour \(5\) albums. Le point \((5\,;\,11)\) appartient-il à la courbe de \(p\) ? Que peut-on en conclure concrètement ?
c.Pour quelle valeur de \(b\) le point \((4\,;\,b)\) est-il sur la courbe de \(g(x) = -x + 9\) ?

💡 Indices

« Être sur la représentation graphique » et « appartenir à la courbe » veulent dire exactement la même chose : on applique toujours la même méthode de calcul.
a. Point (2 ; 1) sur la représentation graphique de f

« Être sur la représentation graphique » signifie « appartenir à la courbe » : même méthode.

On calcule\(f(2) = 4\times2-7 = 1\)
Oui, \(f(2)=1\) : le point appartient bien à la courbe de \(f\)
b. Le client a-t-il raison ? (problème concret)

appartenance On vérifie si \(p(5) = 11\).

On calcule\(p(5) = 2\times5+1 = 11\)
Oui, \(p(5)=11\) : le point \((5\,;\,11)\) appartient à la courbe de \(p\)

Concrètement, cela confirme que le prix annoncé par le client est cohérent avec le tarif du vendeur : payer \(11\) € pour \(5\) albums correspond exactement à la formule \(p(x)=2x+1\).

c. Trouver b pour (4 ; b) sur la courbe de g

L'abscisse \(4\) est connue : \(b\) est simplement l'image de \(4\) par \(g\).

On calcule\(g(4) = -4+9 = 5\)
\(b = 5\)
⚠ À retenir : « appartenir à la courbe », « être sur la représentation graphique », « le point vérifie l'équation de la courbe » sont des formulations différentes pour une seule et même idée : \(f(a)=b\).

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