Résoudre graphiquement
une inéquation

Fonctions n°8 — Feuille d'exercices — 2nde

\(f(x) < k\) Fonction constante \(y=k\)

📌 Résoudre \(f(x) < k\) (ou \(>\), \(\leq\), \(\geq\)) graphiquement

① L'idée clé
Résoudre \(f(x) < k\), c'est trouver toutes les valeurs de départ \(x\) dont l'image est strictement inférieure à \(k\). On compare la courbe de \(f\) à la fonction constante \(y=k\) (une droite horizontale).
② La méthode en 4 étapes
1. Tracer la droite horizontale \(y=k\)
2. Trouver le(s) point(s) d'intersection avec la courbe de \(f\)
3. Repérer la portion de courbe en dessous (pour \(<\)) ou au-dessus (pour \(>\)) de \(y=k\)
4. Lire les abscisses de cette portion et écrire l'intervalle solution
Corrections vues :
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Exercice 1 / 6

f(x) < kDroite affine
✓ Vu

Voici la représentation graphique de la fonction \(f(x) = x+1\). Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) < 4\).

x y -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4

Courbe représentative de \(f\)

💡 Indices

Trace d'abord la droite horizontale \(y=4\) (la fonction constante), puis repère où elle coupe la droite de \(f\).
① Intersection

On cherche le point commun entre \(f(x)=x+1\) et la fonction constante \(y=4\) : on résout \(f(x)=4\).

On résout\(x+1=4 \Rightarrow x=3\)

Les deux droites se coupent au point \((3\,;\,4)\).

② à ④ Zone solution et lecture
x y -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 y=4(3 ; 4)

La droite de \(f\) est en dessous de \(y=4\) (zone verte) quand \(x < 3\).

Solutions de \(f(x)<4\) : \(x \in\, ]-\infty\,;\,3[\)
À retenir : comme l'inégalité est stricte (\(<\)), le crochet autour de \(3\) est ouvert : \(3\) lui-même n'est pas solution (car \(f(3)=4\), qui n'est pas strictement inférieur à \(4\)).

Exercice 2 / 6

f(x) > kDroite affine
✓ Vu

On reprend la même fonction \(f(x)=x+1\). Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) > 0\).

x y -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4

Courbe représentative de \(f\)

① Intersection
On résout\(x+1=0 \Rightarrow x=-1\)

Les deux droites se coupent au point \((-1\,;\,0)\).

② à ④ Zone solution et lecture
x y -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 y=0(-1 ; 0)

Cette fois on cherche \(f(x) > 0\) : on prend la portion de droite au-dessus de \(y=0\), c'est-à-dire quand \(x > -1\).

Solutions de \(f(x)>0\) : \(x \in\, ]-1\,;\,+\infty[\)
💡 Pour \(f(x) > k\), on prend la partie de la courbe au-dessus de la droite \(y=k\), contrairement à \(f(x)

Exercice 3 / 6

f(x) ≤ kCourbe (parabole)
✓ Vu

Voici la représentation graphique de la fonction \(f(x) = x^2-1\). Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \leq 0\).

x y -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4

Courbe représentative de \(f(x)=x^2-1\)

💡 Indices

Ici, la droite \(y=0\) coupe la courbe en deux points : il faudra donc trouver deux valeurs de \(x\), pas une seule.
① Intersections
On résout\(x^2-1=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=1\) ou \(x=-1\)

La droite \(y=0\) coupe la courbe en deux points : \((-1\,;\,0)\) et \((1\,;\,0)\).

② à ④ Zone solution et lecture
x y -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 y=0

La courbe est en dessous ou sur la droite \(y=0\) (zone verte) uniquement entre les deux points d'intersection.

Solutions de \(f(x)\leq0\) : \(x \in\, [-1\,;\,1]\)
À retenir : comme l'inégalité est large (\(\leq\)), les crochets autour de \(-1\) et \(1\) sont fermés : ces deux valeurs sont elles-mêmes solutions.

Exercice 4 / 6

f(x) > kCourbe (parabole)
✓ Vu

On reprend la courbe de \(f(x)=x^2-1\). Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) > 3\).

x y -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4

Courbe représentative de \(f(x)=x^2-1\)

💡 Indices

Comme la courbe est en forme de U, la portion au-dessus de \(y=3\) se trouve de chaque côté : deux intervalles séparés, à réunir avec le symbole \(\cup\).
① Intersections
On résout\(x^2-1=3 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=2\) ou \(x=-2\)

La droite \(y=3\) coupe la courbe en \((-2\,;\,3)\) et \((2\,;\,3)\).

② à ④ Zone solution et lecture
x y -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 y=3

La courbe est au-dessus de la droite \(y=3\) (zones vertes) en dehors des deux points d'intersection, c'est-à-dire à gauche de \(-2\) et à droite de \(2\).

Solutions de \(f(x)>3\) : \(x \in\, ]-\infty\,;\,-2[\;\cup\;]2\,;\,+\infty[\)
⚠ À retenir : contrairement à l'exercice 3, ici la zone solution est coupée en deux morceaux séparés par l'intérieur de la parabole (qui, lui, est la zone où \(f(x) \leq 3\)). On les réunit avec \(\cup\).

Exercice 5 / 6

Vrai ou FauxPièges à éviter
✓ Vu

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

a.Si l'inégalité est stricte (\(<\) ou \(>\)), les crochets de l'intervalle solution sont fermés.
b.Résoudre \(f(x) > k\) revient à chercher la partie de la courbe située au-dessus de la droite \(y=k\).
c.Pour une parabole tournée vers le haut, l'ensemble solution de \(f(x) \leq k\) est toujours non vide, quelle que soit la valeur de \(k\).
d.La fonction constante \(y=k\) est toujours représentée par une droite horizontale.
a. Fausse ✗

C'est l'inverse : une inégalité stricte (\(<\), \(>\)) donne des crochets ouverts (la borne est exclue). Une inégalité large (\(\leq\), \(\geq\)) donne des crochets fermés.

b. Vraie ✓

C'est exactement la méthode vue dans l'exercice 2 et l'exercice 4 : « au-dessus » correspond à \(f(x)>k\).

c. Fausse ✗

Contre-exemple : pour \(f(x)=x^2-1\), le minimum de la courbe est \(-1\). Si l'on cherche \(f(x) \leq -3\), il n'existe aucune valeur de \(x\) qui convienne, car la courbe ne descend jamais en dessous de \(-1\). L'ensemble solution est donc vide dans ce cas.

d. Vraie ✓

Une fonction constante donne toujours la même valeur d'arrivée, quelle que soit la valeur de départ : sa représentation graphique est donc toujours une droite horizontale.

⚠ À retenir : avant de conclure, il faut toujours vérifier si la droite \(y=k\) coupe réellement la courbe — sinon l'ensemble solution peut être vide ou, au contraire, correspondre à \(\mathbb{R}\) tout entier.

Exercice 6 / 6

Problème concretInéquation dans un contexte
✓ Vu

On reprend le vendeur de disques des fiches précédentes, avec \(p(x) = 2x+1\), où \(x\) est le nombre d'albums achetés et \(p(x)\) le prix payé en €.

Le vendeur propose une réduction à tout client payant strictement moins de \(15\) €. Combien d'albums peut-on acheter au maximum pour bénéficier de cette réduction ?

Nombre d'albums (x) Prix payé en € : p(x) 0123456781357911131517

Représentation graphique de \(p\), tracée dans la fiche 6

💡 Indices

« Payer strictement moins de \(15\) € » se traduit par l'inéquation \(p(x) < 15\).
Mathématiquement, la solution est un intervalle de nombres réels. Mais dans ce contexte, \(x\) représente un nombre d'albums : il doit donc être un entier positif ou nul.
Traduire l'énoncé

« Payer strictement moins de \(15\) € » signifie qu'il faut résoudre l'inéquation \(p(x) < 15\).

① Intersection
\(2x \) \(+1\) \(= 15\)
\(-1\)
\(-1\)
\(2\)\(x = 14\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 7\)

La droite de \(p\) coupe la droite \(y=15\) au point \((7\,;\,15)\).

② à ④ Zone solution et lecture
Nombre d'albums (x) Prix payé en € : p(x) 012345678135791113151715

La droite de \(p\) est en dessous de \(y=15\) quand \(x<7\).

Solutions mathématiques : \(x \in\, ]-\infty\,;\,7[\)
Interprétation dans le contexte

Un nombre d'albums ne peut être qu'un entier positif ou nul : \(x \in \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}\).

Le client peut acheter au maximum \(6\) albums pour bénéficier de la réduction
⚠ À retenir : la résolution mathématique donne un intervalle de nombres réels, mais dans un contexte concret (nombre d'objets, de personnes…), il faut toujours revenir au bon sens et ne garder que les valeurs cohérentes avec la situation.
ƒ Chapitre 6 — Fonctions · Feuille n°8 · Résoudre graphiquement une inéquation

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