Chapitre 6 — Fonctions — Bilan des fiches 1 à 8 — 2nde
📚 Récapitulatif des 8 notions du chapitre
| Fiche | Notion | Mot-clé qui doit alerter | Méthode en une phrase |
|---|---|---|---|
| 1 | Vocabulaire | « associe », \(f:x\mapsto f(x)\) | Départ \(x\) → fonction \(f\) → arrivée \(f(x)\) |
| 2 | Image | « calculer », « remplacer » | On connaît \(x\) : on substitue et on calcule \(f(x)\) |
| 3 | Antécédent | « résoudre », « quelle valeur donne… » | On connaît \(f(x)\) : on résout l'équation \(f(x)=k\) |
| 4 | Domaine de définition | division, racine carrée | Interdit si dénominateur nul ou racine d'un négatif |
| 5 | Tableau de valeurs | ligne du haut / du bas | Haut manquant → antécédent ; bas manquant → image |
| 6 | Lecture graphique | « sur le graphique » | Image : vertical puis horizontal. Antécédent : horizontal puis vertical |
| 7 | Appartenance à la courbe | « appartient », « sur la courbe » | \(A(a\,;\,b) \in \mathcal{C}_f \iff f(a)=b\) |
| 8 | Inéquation graphique | \(f(x)\lt k\), \(f(x)\gt k\) | Comparer la courbe à la droite horizontale \(y=k\) |
Une entreprise loue des vélos électriques. Elle propose un tarif de \(3\) € par heure d'utilisation, plus \(2\) € de frais de dossier fixes, facturés une seule fois.
On note \(x\) le nombre d'heures de location, et \(c(x)\) le prix total payé, en euros.
| Heures \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Prix \(c(x)\) | ? | \(5\) | ? | \(11\) | ? |
\(x\) heures coûtent \(3x\) €, plus les \(2\) € de frais fixes.
domaine Il n'y a ni division ni racine carrée dans \(c(x)=3x+2\) : mathématiquement, \(D_c = \mathbb{R}\).
Mais dans ce contexte, \(x\) représente un nombre d'heures : il doit donc être positif ou nul (on ne peut pas louer un vélo un nombre négatif d'heures). Le domaine mathématique est donc plus large que les valeurs réellement possibles dans la situation.
| Heures \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Prix \(c(x)\) | \(2\) | \(5\) | \(8\) | \(11\) | \(14\) |
image On connaît \(x=6\), on calcule.
antécédent On connaît le prix (\(20\) €), on résout \(c(x)=20\).
appartenance On vérifie si \(c(10) = 32\).
« Budget maximum » se traduit par \(c(x) \leq 26\).
La fonction \(c\) est croissante, donc \(c(x)\leq26\) équivaut à \(x \leq 8\).
Un groupe d'amis loue un chalet pour un montant total de \(240\) €, qu'ils souhaitent partager équitablement entre eux.
On note \(x\) le nombre de personnes dans le groupe, et \(f(x)\) le prix payé par personne, en euros.
| Personnes \(x\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) | \(8\) |
|---|---|---|---|---|
| Prix/pers. \(f(x)\) | ? | \(60\) | ? | \(30\) |
💡 Indices
Le montant total (\(240\) €) est divisé par le nombre de personnes.
domaine Le dénominateur est \(x\) : il s'annule pour \(x=0\), valeur interdite.
Concrètement, cette restriction a du sens : on ne peut pas partager une somme entre \(0\) personne (la division n'a alors aucun sens, ni mathématiquement, ni dans la réalité). Le contexte impose en plus que \(x\) soit un entier positif (\(1\), \(2\), \(3\)…), ce qui restreint encore davantage les valeurs possibles.
| Personnes \(x\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) | \(8\) |
|---|---|---|---|---|
| Prix/pers. \(f(x)\) | \(120\) | \(60\) | \(40\) | \(30\) |
image On connaît \(x=12\), on calcule.
antécédent On résout \(\dfrac{240}{x} = 30\).
appartenance On vérifie si \(f(5) = 50\).
Soit \(g(x) = x^2 - 4\).
💡 Indices
domaine Ni division ni racine carrée : aucune restriction.
Les nombres dont le carré vaut \(9\) sont \(3\) et \(-3\).
💡 On retrouve ici le résultat de la question c) : \(-3\) est bien un antécédent de \(5\).
Un carré ne peut jamais être négatif : cette équation n'a aucune solution.
Voici la représentation graphique de la fonction \(f(x) = x^2-1\), déjà rencontrée dans plusieurs fiches de ce chapitre.
Courbe représentative de \(f(x)=x^2-1\)
image Lecture verticale puis horizontale.
antécédent Lecture horizontale puis verticale : la droite \(y=3\) coupe la courbe en deux points.
appartenance Sur le graphique, le point d'abscisse \(2\) a bien pour ordonnée \(3\) (cohérent avec la question a., car \(f(-2)=f(2)=3\)).
On cherche la portion de courbe au-dessus de la droite \(y=0\). Les intersections sont en \(x=-1\) et \(x=1\) (car \(f(-1)=f(1)=0\)).
domaine La courbe semble continue, sans « trou » ni interruption visible : cela suggère \(D_f=\mathbb{R}\).
Mais un graphique ne montre qu'une fenêtre limitée : il ne prouve jamais totalement qu'il n'existe aucune restriction en dehors de cette zone. Pour être certain, il faut revenir à l'expression algébrique \(f(x)=x^2-1\) : ni division, ni racine carrée, donc \(D_f=\mathbb{R}\) est confirmé par le calcul.
Un dernier tour d'horizon : dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant. Chaque question reprend l'idée principale d'une des 8 fiches du chapitre.
\(f(3)\) est le résultat d'un calcul : un nombre précis, jamais une lettre représentant une valeur quelconque.
C'est l'inverse : calculer une image est un calcul direct (on connaît \(x\)). C'est chercher un antécédent qui nécessite de résoudre une équation (on connaît \(f(x)\)).
Une fraction ne pose problème que si \(x\) est au dénominateur. Par exemple, \(f(x) = \dfrac{3}{2}+x\) n'a aucune valeur interdite, car le dénominateur (\(2\)) est constant.
Quand la ligne du haut (départ) est incomplète, il faut retrouver \(x\) à partir de \(f(x)\) connu : c'est exactement la définition d'un antécédent.
C'est l'inverse : pour un antécédent, on trace une droite horizontale \(y=k\) (on connaît l'arrivée). La droite verticale sert à lire une image (on part de l'abscisse).
C'est la propriété fondamentale de l'appartenance à une courbe, vue dans la fiche 7.
Si \(k\) est inférieur au minimum de la courbe (cas d'une parabole tournée vers le haut, par exemple), aucune valeur de \(x\) ne convient : l'ensemble solution peut être vide.
C'est la différence essentielle entre une droite (jamais horizontale) et une courbe en U : une droite \(y=k\) la coupe toujours une seule fois, alors qu'elle peut couper une parabole \(0\), \(1\) ou \(2\) fois.