Une fonction est un procédé mathématique qui transforme chaque valeur de départ en une unique valeur d'arrivée, en effectuant des calculs.
On note \(f : x \mapsto f(x)\), ce qui se lit : « \(f\) associe à \(x\) la valeur \(f(x)\) ».
Imagine une machine à laquelle tu donnes un nombre en entrée (valeur de départ), et qui te rend un nombre en sortie (valeur d'arrivée) après calcul. Une fonction, c'est exactement ça.
La valeur de départ est toujours notée \(x\) — c'est celle qu'on choisit librement.
La valeur d'arrivée est \(f(x)\) — c'est le résultat que la fonction calcule.
Cette logique départ → arrivée se retrouve partout : dans les tableaux, les graphiques, et dans les notions d'image et d'antécédent.
Par une fonction \(f\), lorsqu'au nombre de départ \(a\), on fait correspondre le nombre \(b\), on dit que \(b\) est l'image de \(a\) par la fonction \(f\).
« Image de \(a\) » signifie que \(a\) est la valeur de départ. On connaît \(a\) et on cherche le résultat \(f(a)\).
C'est un calcul direct : on remplace \(x\) par \(a\) dans l'expression de \(f\).
Si \(f : 2 \mapsto 10\), cela se lit « \(f\) envoie \(2\) sur \(10\) ». Donc l'image de \(2\) par \(f\) est \(10\), ce qui s'écrit \(f(2) = 10\).
On cherche l'image de \(5\) : c'est \(5\) qui est la valeur de départ. On calcule \(f(5)\).
Soit \(h(x) = 4x + 1\). Calculer :
\(\mathbf{a.}\) l'image de \(2\) \(\mathbf{b.}\) l'image de \(-3\) \(\mathbf{c.}\) l'image de \(0\)
a. L'image de \(2\) : \(2\) est la valeur de départ, on calcule \(h(2)\).
b. L'image de \(-3\) : \(-3\) est la valeur de départ, on calcule \(h(-3)\).
c. L'image de \(0\) : \(0\) est la valeur de départ, on calcule \(h(0)\).
Soit \(g(x) = 3x - 5\). Entre une valeur de départ et calcule son image.
Par une fonction \(f\), lorsqu'au nombre de départ \(a\), on fait correspondre le nombre \(b\), on dit que \(a\) est un antécédent de \(b\) par la fonction \(f\).
« Antécédent de \(b\) » signifie que \(b\) est la valeur d'arrivée. On connaît le résultat et on cherche quelle valeur de départ a pu le produire.
Cela revient à résoudre une équation : on pose \(f(x) = b\) et on cherche \(x\).
Si \(f : -5 \mapsto 0\), cela signifie que \(-5\) est un antécédent de \(0\) par \(f\), ce qui s'écrit \(f(-5) = 0\).
⚠️ Un nombre peut avoir plusieurs antécédents (par exemple, \(9\) a deux antécédents par \(f(x) = x^2\) : les nombres \(3\) et \(-3\)) — ou aucun.
\(a\) est la valeur de départ.
On calcule \(f(a)\).
→ Calcul direct.
\(b\) est la valeur d'arrivée.
On résout \(f(x) = b\).
→ Résolution d'équation.
On cherche l'antécédent de \(10\) : \(10\) est la valeur d'arrivée. On résout l'équation \(f(x) = 10\), soit \(3x - 2 = 10\).
Soit \(h(x) = 4x + 1\). Trouver l'antécédent de :
\(\mathbf{a.}\) \(9\) \(\mathbf{b.}\) \(-7\) \(\mathbf{c.}\) \(1\)
Dans chaque cas, la valeur cherchée est une valeur d'arrivée. On pose \(h(x) = k\) et on résout.
a. \(9\) est la valeur d'arrivée. On résout \(h(x) = 9\), soit \(4x + 1 = 9\) :
b. \(-7\) est la valeur d'arrivée. On résout \(h(x) = -7\), soit \(4x + 1 = -7\) :
c. \(1\) est la valeur d'arrivée. On résout \(h(x) = 1\), soit \(4x + 1 = 1\) :
Soit \(p(x) = -2x + 6\).
\(\mathbf{a.}\) Calculer l'image de \(3\).
\(\mathbf{b.}\) Quel est l'antécédent de \(0\) ?
\(\mathbf{c.}\) Quel est l'antécédent de \(10\) ?
a. Image de \(3\) : \(3\) est la valeur de départ. On calcule \(p(3)\).
b. Antécédent de \(0\) : \(0\) est la valeur d'arrivée. On résout \(p(x) = 0\).
Remarque : on retrouve le résultat de a. — \(3\) est l'antécédent de \(0\) car \(p(3) = 0\).
c. Antécédent de \(10\) : \(10\) est la valeur d'arrivée. On résout \(p(x) = 10\).
Soit \(g(x) = 3x - 5\). Entre une valeur d'arrivée \(k\) et trouve son antécédent (en résolvant \(g(x) = k\)).
La ligne du haut contient les valeurs de départ \(x\) — la ligne du bas contient les valeurs d'arrivée \(f(x)\) calculées. On retrouve la logique départ → arrivée.
| Départ \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Arrivée \(f(x)\) | \(3\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(3\) | \(8\) |
Exemple de calcul : départ \(x = -2\) → \(f(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3\) → arrivée \(3\).
Soit \(g(x) = 3x - 2\). Complète ce tableau :
| Départ \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Arrivée \(g(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? |
Dans un repère, chaque point est repéré par deux coordonnées :
Un point noté \(A(3\,;\,5)\) a pour abscisse \(3\) et pour ordonnée \(5\).
La courbe représentative de \(f\) est l'ensemble de tous les points de coordonnées \(\bigl(x\,;\,f(x)\bigr)\) du plan. Chaque point de la courbe porte la logique départ/arrivée :
Si la droite \(y = k\) ne coupe pas la courbe, alors \(k\) n'a aucun antécédent.
Un point \(A(a\,;\,b)\) appartient à la courbe de \(f\) si et seulement si \(f(a) = b\).
Autrement dit : l'abscisse est la valeur de départ, l'ordonnée est la valeur d'arrivée attendue. Si l'image calculée est égale à l'ordonnée, le point est sur la courbe.
On ne regarde pas le graphique — on calcule :
Soit \(g(x) = 2x - 3\). Parmi les points suivants, lesquels appartiennent à la courbe de \(g\) ?
\(P(1\,;\,-1)\) \(Q(4\,;\,5)\) \(R(0\,;\,3)\) \(S(-1\,;\,-5)\)
Pour chaque point : on calcule \(g(\text{abscisse})\) et on compare à l'ordonnée.
\(P(1\,;\,-1)\) :
\(Q(4\,;\,5)\) :
\(R(0\,;\,3)\) :
\(S(-1\,;\,-5)\) :
Résoudre \(f(x) < k\) graphiquement, c'est trouver toutes les valeurs de départ \(x\) dont l'image est strictement inférieure à \(k\).
Sur le graphique, on compare la courbe de \(f\) avec la fonction constante \(y = k\). Cette fonction constante est représentée par une droite horizontale : pour toutes les valeurs de départ, elle donne toujours la même valeur d'arrivée \(k\). Les solutions de \(f(x) < k\) sont les abscisses des points de la courbe de \(f\) qui sont situés sous cette droite.
Quand on trace la droite \(y = 3\) sur un graphique, on trace en réalité la fonction constante définie par \(h(x) = 3\) pour tout \(x\). Quelle que soit la valeur de départ, la valeur d'arrivée est toujours \(3\). Sa courbe représentative est une droite horizontale à hauteur \(3\) sur l'axe des ordonnées.
Pour \(f(x) > k\) : on prend la portion de courbe au-dessus de la droite.
Les solutions de \(g(x) < 3\) sont les réels \(x\) vérifiant \(x < 2\).
En notation d'intervalle : \(\quad x \in \mathopen]-\infty\,;\,2\mathclose[\)
Le crochet \(]\) indique que \(2\) est exclu (inégalité stricte \(<\)). Si l'inégalité était \(\leq\), on aurait \(x \in \mathopen]-\infty\,;\,2\mathclose]\).
En utilisant la courbe représentative de \(f(x) = x^2 - 1\) ci-dessous, résoudre graphiquement \(f(x) \leq 3\).
Les solutions de \(f(x) \leq 3\) sont : \(x \in \mathopen[-2\,;\,2\mathclose]\)
Les crochets \([\;]\) indiquent que \(-2\) et \(2\) sont inclus (inégalité large \(\leq\)).
« \(b\) est l'antécédent de \(a\) » quand \(f(a) = b\).
\(f(a) = b\) → \(b\) est l'image de \(a\), et \(a\) est l'antécédent de \(b\).
On calcule une image pour trouver un antécédent au lieu de résoudre une équation.
Antécédent = chercher la valeur de départ → on pose et résout toujours une équation.
« Tout nombre a forcément un antécédent. »
Si l'équation \(f(x) = k\) n'a pas de solution, \(k\) n'a aucun antécédent par \(f\).
Lire l'ordonnée comme valeur de départ sur un graphique.
Abscisse = départ \(x\) / Ordonnée = arrivée \(f(x)\).
| Outil | Valeur de départ | Valeur d'arrivée |
|---|---|---|
| Notation algébrique | \(x\) | \(f(x)\) |
| Image / antécédent | antécédent (trouvé par équation) | image |
| Tableau de valeurs | ligne du haut | ligne du bas |
| Graphique | abscisse | ordonnée |
| Domaine de définition | toutes les valeurs autorisées | — |