Proportions &
proportions étagées

Information chiffrée n°1 — Feuille d'exercices — 2^nde

p = n/N Proportions étagées Calcul / Problèmes

📌 Proportion simple et proportions étagées

① Proportion simple

\(n\) éléments dans un ensemble de référence de \(N\) éléments. Toujours \(0 \leqslant p \leqslant 1\).

\(p = \dfrac{n}{N}\) puis \(p \times 100\) pour le %

② Proportions étagées

Une proportion \(p_2\) « de » une proportion \(p_1\) : les ensembles de référence changent à chaque étape.

\(p_{\text{global}} = p_1 \times p_2\)

⚠ On ne les additionne jamais : \(p_1 + p_2\) n'a aucun sens.

③ Calculer une part d'une quantité

Pour calculer le nombre \(n\) d'éléments que représente un pourcentage \(p\) d'une quantité totale \(N\), on multiplie le pourcentage (sous forme décimale) par la quantité.

\(n = p \times N\)

Corrections vues :

0 / 6

Exercice 1 / 6

Calcul direct p = n/N

✓ Vu

Pour chaque situation, calculer la proportion \(p\) sous forme décimale, puis l'exprimer en pourcentage.

a) Dans une classe de 30 élèves, 18 sont des filles.

b) Sur 250 clients d'un magasin, 60 ont profité d'une offre spéciale.

c) Une usine produit 1 200 pièces, dont 84 sont défectueuses.

d) Un club de sport compte 80 adhérents, dont 52 pratiquent la natation.

💡 Indices

\(N\) est toujours l'effectif total (la classe, les clients, la production, le club). \(n\) est la sous-population qui t'intéresse (les filles, les clients de l'offre, etc.).

Une fois \(p\) obtenu sous forme décimale, il suffit de multiplier par 100 pour avoir le pourcentage.

a) Filles dans la classe

Données\(n = 18\), \(N = 30\)

Calcul\(p = \dfrac{18}{30} = 0{,}6\)

En %\(60\,\%\)

b) Clients de l'offre spéciale

Calcul\(p = \dfrac{60}{250} = 0{,}24\)

En %\(24\,\%\)

c) Pièces défectueuses

Calcul\(p = \dfrac{84}{1\,200} = 0{,}07\)

En %\(7\,\%\)

d) Adhérents nageurs

Calcul\(p = \dfrac{52}{80} = 0{,}65\)

En %\(65\,\%\)

Exercice 2 / 6

Calcul inverse Retrouver n ou N

✓ Vu

Dans chaque situation, on connaît la proportion. Retrouver la valeur manquante (\(n\) ou \(N\)).

a) Dans un lycée de 720 élèves, 35 % pratiquent une activité sportive. Combien d'élèves cela représente-t-il ?

b) Une proportion de 0,18 des 400 clients d'un magasin a répondu à un sondage. Combien de clients cela fait-il ?

c) Dans une entreprise, 45 salariés représentent une proportion de 0,25 de l'effectif total. Quel est l'effectif total \(N\) ?

d) 68 % des visiteurs d'un site sont de nouveaux visiteurs, soit 510 personnes. Quel est le nombre total de visiteurs ?

💡 Indices

Si tu connais \(p\) et \(N\), utilise \(n = p \times N\) (attention à convertir le pourcentage en décimal avant de multiplier).

Si tu connais \(p\) et \(n\), utilise \(N = \dfrac{n}{p}\).

a) Élèves sportifs

Formule\(n = p \times N = 0{,}35 \times 720\)

Résultat\(n = 252\) élèves

b) Clients ayant répondu

Formule\(n = 0{,}18 \times 400\)

Résultat\(n = 72\) clients

c) Effectif total de l'entreprise

Formule\(N = \dfrac{n}{p} = \dfrac{45}{0{,}25}\)

Résultat\(N = 180\) salariés

d) Total des visiteurs

Formule\(N = \dfrac{510}{0{,}68}\)

Résultat\(N = 750\) visiteurs

Exercice 3 / 6

Proportions étagées 2 niveaux

✓ Vu

Dans un collège, 52 % des élèves prennent le bus pour venir en cours. Parmi ces élèves, 40 % habitent à plus de 3 km du collège.

a) Identifier \(p_1\) et \(p_2\), en précisant à chaque fois l'ensemble de référence.

b) Quelle proportion des élèves du collège prend le bus et habite à plus de 3 km ?

c) Exprimer ce résultat en pourcentage.

💡 Indices

\(p_1\) se rapporte à « tout le collège », \(p_2\) se rapporte uniquement aux « élèves qui prennent le bus » — ce n'est pas le même ensemble de référence !

Utilise \(p_{\text{global}} = p_1 \times p_2\), jamais l'addition.

a) Identification

\(p_1 = 0{,}52\) (élèves prenant le bus, parmi tout le collège) ; \(p_2 = 0{,}40\) (élèves à plus de 3 km, parmi ceux qui prennent le bus).

b) et c) Calcul

Formule\(p_{\text{global}} = p_1 \times p_2\)

Calcul\(0{,}52 \times 0{,}40 = 0{,}208\)

En %\(20{,}8\,\%\)

20,8 % des élèves du collège prennent le bus et habitent à plus de 3 km.

Exercice 4 / 6

Vrai / Faux Piège classique

✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier et corriger si nécessaire.

a) « 30 % des clients d'un magasin sont fidèles. Parmi eux, 20 % ont plus de 60 ans. Donc 50 % des clients sont des fidèles de plus de 60 ans. »

b) Si \(p_1 = 0{,}7\) et \(p_2 = 0{,}5\), alors \(p_{\text{global}} = 0{,}35\).

c) Le produit de deux proportions peut être supérieur à 1.

d) « 45 % des salariés sont des femmes. Parmi elles, 60 % travaillent à temps plein. Donc 27 % des salariés sont des femmes travaillant à temps plein. »

💡 Indices

Deux proportions étagées se combinent toujours par multiplication, jamais par addition.

Une proportion vérifie toujours \(0 \leqslant p \leqslant 1\). Que donne le produit de deux nombres chacun inférieur ou égal à 1 ?

❌ FAUX — on ne doit pas additionner 30 % et 20 %.

Correct\(0{,}30 \times 0{,}20 = 0{,}06 = \) 6 %

✓ VRAI : \(0{,}7 \times 0{,}5 = 0{,}35\).

❌ FAUX — le produit de deux nombres compris entre 0 et 1 est toujours compris entre 0 et 1. Une proportion étagée est donc toujours inférieure ou égale à chacune des proportions qui la composent.

✓ VRAI :

Calcul\(0{,}45 \times 0{,}60 = 0{,}27 = \) 27 %

⚠ Erreur très fréquente : additionner deux proportions calculées sur des ensembles de référence différents. On multiplie toujours \(p_1 \times p_2\), jamais \(p_1 + p_2\).

Exercice 5 / 6

Proportions étagées 3 niveaux

✓ Vu

Dans une entreprise, 60 % du personnel travaille au service commercial. Parmi ces salariés, 25 % ont moins de 30 ans. Parmi ces jeunes salariés, 40 % ont suivi une formation en alternance.

Question Quelle proportion du personnel de l'entreprise représentent les salariés du service commercial, de moins de 30 ans, ayant suivi une formation en alternance ?

💡 Indices

\(p_1\) = commerciaux parmi le personnel ; \(p_2\) = moins de 30 ans parmi les commerciaux ; \(p_3\) = alternants parmi ces jeunes commerciaux.

La propriété se prolonge à 3 niveaux : \(p_{\text{global}} = p_1 \times p_2 \times p_3\).

Résolution

Données\(p_1 = 0{,}60\) ; \(p_2 = 0{,}25\) ; \(p_3 = 0{,}40\)

Formule\(p_{\text{global}} = p_1 \times p_2 \times p_3\)

Calcul\(0{,}60 \times 0{,}25 \times 0{,}40 = 0{,}06\)

En %6 %

Ces salariés représentent 6 % du personnel de l'entreprise.

💡 On ne calcule jamais \(60 + 25 + 40 = 125\,\%\) — un résultat supérieur à 100 % est absurde pour une proportion.

Exercice 6 / 6

Problème Synthèse

✓ Vu

Un lycée compte 800 élèves.

1) 40 % des élèves sont en filière générale. Combien d'élèves cela représente-t-il ?

2) Parmi les élèves de filière générale, 25 % ont choisi la spécialité mathématiques. Quelle proportion des élèves du lycée cela représente-t-il ? Combien d'élèves cela fait-il ?

3) Parmi les élèves ayant choisi la spécialité mathématiques, 20 % envisagent une école d'ingénieur après le bac. Quelle proportion du lycée cela représente-t-il, et combien d'élèves cela fait-il ?

4) Un professeur affirme : « \(40 + 25 + 20 = 85\,\%\) des élèves du lycée envisagent une école d'ingénieur. » Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier.

💡 Indices

Calcule d'abord la proportion étagée \(p_1 \times p_2\), puis multiplie par l'effectif total \(N = 800\) pour obtenir un nombre d'élèves.

Repense au piège des proportions étagées : on ne peut jamais additionner des proportions calculées sur des ensembles de référence différents.

1) Élèves en filière générale

Calcul\(0{,}40 \times 800 = 320\)

320 élèves sont en filière générale.

2) Élèves en spécialité maths

Proportion\(p_{\text{global}} = 0{,}40 \times 0{,}25 = 0{,}10 = 10\,\%\)

Effectif\(0{,}10 \times 800 = 80\) (ou \(320 \times 0{,}25 = 80\))

10 % des élèves du lycée, soit 80 élèves.

3) Élèves envisageant une école d'ingénieur

Proportion\(p_{\text{global}} = 0{,}40 \times 0{,}25 \times 0{,}20 = 0{,}02 = 2\,\%\)

Effectif\(0{,}02 \times 800 = 16\) (ou \(80 \times 0{,}20 = 16\))

2 % des élèves du lycée, soit 16 élèves.

4) L'affirmation du professeur

❌ FAUX — les trois pourcentages (40 %, 25 %, 20 %) ne portent pas sur le même ensemble de référence : on ne peut donc pas les additionner. Il fallait les multiplier.

Le résultat correct est 2 % (16 élèves), et non 85 %.