Coefficient
multiplicateur

Information chiffrée n°3 — Feuille d'exercices — 2^nde

CM = 1 + t Vf = Vi × CM Calcul / Problèmes

📌 Le coefficient multiplicateur (CM)

① Calculer le CM

Le CM traduit une évolution en un seul nombre, à partir du taux \(t\) (positif pour une hausse, négatif pour une baisse).

\(CM = 1 + t\)

⚠ \(CM > 1\) → hausse \(0 < CM < 1\) → baisse \(CM = 1\) → pas de changement

② Utiliser le CM

Le CM permet de passer directement de la valeur initiale à la valeur finale, sans étape intermédiaire.

\(V_f = V_i \times CM\) ⇄ \(V_i = \dfrac{V_f}{CM}\)

Corrections vues :

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Exercice 1 / 6

Calcul direct CM = 1 + t

✓ Vu

Calculer le coefficient multiplicateur correspondant à chaque évolution.

a) Une hausse de 8 %.

b) Une hausse de 45 %.

c) Une baisse de 12 %.

d) Une baisse de 60 %.

💡 Indices

\(CM = 1 + t\), avec \(t\) positif pour une hausse, négatif pour une baisse.

Pour une baisse de \(p\,\%\), on a \(t = -\dfrac{p}{100}\).

a) Hausse de 8 %

Calcul\(CM = 1 + 0{,}08\)

Résultat\(CM = 1{,}08\)

b) Hausse de 45 %

Calcul\(CM = 1 + 0{,}45\)

Résultat\(CM = 1{,}45\)

c) Baisse de 12 %

Calcul\(CM = 1 - 0{,}12\)

Résultat\(CM = 0{,}88\)

d) Baisse de 60 %

Calcul\(CM = 1 - 0{,}60\)

Résultat\(CM = 0{,}40\)

Exercice 2 / 6

Lecture inverse Retrouver le taux

✓ Vu

Pour chaque coefficient multiplicateur, indiquer s'il s'agit d'une hausse ou d'une baisse, puis calculer le taux d'évolution correspondant en pourcentage.

\(CM = 1{,}25\)

\(CM = 0{,}75\)

\(CM = 1{,}02\)

\(CM = 0{,}95\)

\(CM = 2{,}5\)

\(CM = 0{,}1\)

💡 Indices

Si \(CM > 1\) → hausse. Si \(CM < 1\) → baisse.

\(t = CM - 1\), puis multiplie par 100 pour obtenir le pourcentage (le résultat est négatif pour une baisse).

a) CM = 1,25

\(CM > 1\) → hausse. \(t = 1{,}25 - 1 = 0{,}25\)

Hausse de 25 %

b) CM = 0,75

\(CM < 1\) → baisse. \(t = 0{,}75 - 1 = -0{,}25\)

Baisse de 25 %

c) CM = 1,02

\(CM > 1\) → hausse. \(t = 1{,}02 - 1 = 0{,}02\)

Hausse de 2 %

d) CM = 0,95

\(CM < 1\) → baisse. \(t = 0{,}95 - 1 = -0{,}05\)

Baisse de 5 %

e) CM = 2,5

\(CM > 1\) → hausse. \(t = 2{,}5 - 1 = 1{,}5\)

Hausse de 150 %

💡 Un CM très supérieur à 1 correspond à une très forte hausse — ici le prix (ou la quantité) plus que double.

f) CM = 0,1

\(CM < 1\) → baisse. \(t = 0{,}1 - 1 = -0{,}9\)

Baisse de 90 %

Exercice 3 / 6

Calcul direct Vf = Vi × CM

✓ Vu

Pour chaque situation, calculer le coefficient multiplicateur puis l'utiliser pour obtenir directement la valeur finale.

a) Un article coûte 60 €. Il subit une hausse de 15 %.

b) Une population de 12 000 habitants diminue de 8 %.

c) Un salaire de 1 800 € augmente de 3 %.

d) Un stock de 500 pièces diminue de 35 %.

💡 Indices

Calcule d'abord \(CM = 1+t\), puis applique directement \(V_f = V_i \times CM\) — pas besoin de passer par le calcul de la variation.

\(t\) est positif pour une hausse (b et d sont des baisses, donc \(t\) est négatif dans ces cas).

a) Prix de l'article

CM\(CM = 1{,}15\)

Calcul\(V_f = 60 \times 1{,}15\)

Résultat69 €

b) Nouvelle population

CM\(CM = 0{,}92\)

Calcul\(V_f = 12\,000 \times 0{,}92\)

Résultat11 040 habitants

c) Nouveau salaire

CM\(CM = 1{,}03\)

Calcul\(V_f = 1\,800 \times 1{,}03\)

Résultat1 854 €

d) Nouveau stock

CM\(CM = 0{,}65\)

Calcul\(V_f = 500 \times 0{,}65\)

Résultat325 pièces

Exercice 4 / 6

Calcul inverse Retrouver Vi

✓ Vu

Retrouver la valeur initiale \(V_i\) dans chaque situation (préciser le CM utilisé).

a) Après une hausse de 20 %, un article coûte 96 €. Quel était son prix initial ?

b) Après une baisse de 30 %, une population atteint 7 000 habitants. Quelle était la population initiale ?

c) Un salaire a augmenté de 5 % pour atteindre 2 100 €. Quel était le salaire avant l'augmentation ?

d) Après une baisse de 45 %, un stock atteint 275 unités. Quel était le stock initial ?

💡 Indices

\(V_i = \dfrac{V_f}{CM}\).

Calcule d'abord le CM (\(1+t\)) avant de diviser. Ne divise jamais directement par le taux \(t\).

a) Prix initial

CM\(CM = 1{,}20\)

Calcul\(V_i = \dfrac{96}{1{,}20}\)

Résultat80 €

b) Population initiale

CM\(CM = 0{,}70\)

Calcul\(V_i = \dfrac{7\,000}{0{,}70}\)

Résultat10 000 habitants

c) Salaire initial

CM\(CM = 1{,}05\)

Calcul\(V_i = \dfrac{2\,100}{1{,}05}\)

Résultat2 000 €

d) Stock initial

CM\(CM = 0{,}55\)

Calcul\(V_i = \dfrac{275}{0{,}55}\)

Résultat500 unités

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques

✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

a) Un coefficient multiplicateur est toujours supérieur à 1.

b) Un CM de 0,5 correspond à une baisse de 50 %.

c) Pour une hausse de 150 %, le CM vaut 2,5.

d) Un CM ne peut jamais être négatif.

e) Calculer \(V_f = V_i \times (1+t)\) revient exactement au même que calculer \(V_f = V_i + V_i \times t\).

💡 Indices

Repense à \(CM = 1+t\) : que devient CM si \(t\) est négatif (baisse) ? Peut-il descendre en-dessous de 0 ?

Développe l'expression \(V_i \times (1+t)\) en distribuant le produit sur la somme.

❌ FAUX — un CM est supérieur à 1 uniquement en cas de hausse. En cas de baisse, \(0 \leqslant CM < 1\).

✓ VRAI — \(CM = 0{,}5 = 1 - 0{,}5\), donc \(t = -0{,}5\), soit une baisse de 50 %.

✓ VRAI — \(t = 1{,}5\) (150 % en décimal), donc \(CM = 1 + 1{,}5 = 2{,}5\).

✓ VRAI — un CM représente un rapport entre deux valeurs positives, il ne peut donc pas être négatif (au minimum, \(CM = 0\) correspondrait à une disparition totale de la grandeur).

✓ VRAI :

Développement\(V_i \times (1+t) = V_i \times 1 + V_i \times t = V_i + V_i \times t\)

Les deux écritures sont mathématiquement équivalentes, mais le CM permet un calcul en une seule étape.

Exercice 6 / 6

Problème Synthèse

✓ Vu

Une salle de sport comptait 240 adhérents en septembre, pour un chiffre d'affaires mensuel de 14 400 €.

1) En octobre, le nombre d'adhérents a augmenté de 25 %. Calculer le coefficient multiplicateur correspondant, puis le nouveau nombre d'adhérents.

2) Le chiffre d'affaires d'octobre s'élève à 16 560 €. Calculer le CM associé à cette évolution, puis en déduire le taux d'évolution du chiffre d'affaires (en %).

3) Le gérant affirme : « Le chiffre d'affaires a moins augmenté que le nombre d'adhérents, en proportion. » Cette affirmation est-elle vraie ?

4) Si le coefficient multiplicateur associé à une évolution vaut exactement 1, que peut-on en conclure sur la grandeur étudiée ?

💡 Indices

Calcule le CM à partir du taux de 25 %, puis multiplie-le par l'effectif de septembre.

Ici, c'est l'inverse : tu connais \(V_i\) et \(V_f\), donc calcule \(CM = \dfrac{V_f}{V_i}\), puis retrouve \(t = CM - 1\).

1) Adhérents en octobre

CM\(CM = 1 + 0{,}25 = 1{,}25\)

Calcul\(240 \times 1{,}25\)

Résultat300 adhérents

2) Évolution du chiffre d'affaires

CM\(CM = \dfrac{16\,560}{14\,400} = 1{,}15\)

Taux\(t = 1{,}15 - 1 = 0{,}15\)

En %+15 %

3) Vérification de l'affirmation

Le nombre d'adhérents a augmenté de 25 %, tandis que le chiffre d'affaires n'a augmenté que de 15 %.

✓ VRAI — l'affirmation du gérant est correcte : 15 % < 25 %.

4) CM = 1

Si \(CM = 1\), alors \(t = CM - 1 = 0\) : la grandeur étudiée n'a subi aucune évolution (\(V_f = V_i\)), elle est restée stable entre les deux dates.