Évolutions
successives

Information chiffrée n°4 — Feuille d'exercices — 2^nde

CM global = CM₁ × CM₂ Piège de l'addition Calcul / Problèmes

📌 Évolutions successives : on multiplie, on n'additionne jamais

① Coefficient multiplicateur global

Pour plusieurs évolutions qui se succèdent, on calcule le CM de chaque évolution, puis on les multiplie entre eux.

\(CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \ldots\)

② Retrouver le taux global

Une fois \(CM_{\text{global}}\) calculé, on en déduit le taux d'évolution global de la même façon que pour une seule évolution.

\(t_{\text{global}} = CM_{\text{global}} - 1\)

⚠ Ne jamais additionner les taux successifs (\(t_1 + t_2\)) : c'est le piège le plus fréquent de ce chapitre !

Corrections vues :

0 / 5

Exercice 1 / 5

Calcul direct CM global

✓ Vu

Calculer le coefficient multiplicateur global correspondant à chaque succession d'évolutions.

a) Une hausse de 10 % suivie d'une hausse de 5 %.

b) Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 10 %.

c) Une baisse de 15 % suivie d'une baisse de 5 %.

d) Une baisse de 30 % suivie d'une hausse de 40 %.

💡 Indices

Calcule d'abord le CM de chaque évolution séparément : \(CM_1\) et \(CM_2\).

\(CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2\). N'additionne jamais les taux directement.

a) Hausse 10 % puis hausse 5 %

CM₁, CM₂\(CM_1 = 1{,}10\) ; \(CM_2 = 1{,}05\)

Calcul\(CM_{\text{global}} = 1{,}10 \times 1{,}05\)

Résultat\(CM_{\text{global}} = 1{,}155\)

b) Hausse 20 % puis baisse 10 %

CM₁, CM₂\(CM_1 = 1{,}20\) ; \(CM_2 = 0{,}90\)

Calcul\(CM_{\text{global}} = 1{,}20 \times 0{,}90\)

Résultat\(CM_{\text{global}} = 1{,}08\)

c) Baisse 15 % puis baisse 5 %

CM₁, CM₂\(CM_1 = 0{,}85\) ; \(CM_2 = 0{,}95\)

Calcul\(CM_{\text{global}} = 0{,}85 \times 0{,}95\)

Résultat\(CM_{\text{global}} = 0{,}8075\)

d) Baisse 30 % puis hausse 40 %

CM₁, CM₂\(CM_1 = 0{,}70\) ; \(CM_2 = 1{,}40\)

Calcul\(CM_{\text{global}} = 0{,}70 \times 1{,}40\)

Résultat\(CM_{\text{global}} = 0{,}98\)

Exercice 2 / 5

Calcul direct Valeur finale

✓ Vu

Calculer directement la valeur finale de chaque situation, à l'aide du coefficient multiplicateur global.

a) Un article coûte 200 €. Il subit une hausse de 8 % puis une baisse de 5 %.

b) Une population de 25 000 habitants augmente de 4 % deux années de suite.

c) Un salaire de 2 200 € subit une baisse de 10 % puis une hausse de 10 %.

d) Un capital de 5 000 € subit trois hausses successives de 2 % (arrondir à l'euro).

💡 Indices

Calcule le CM global (produit de tous les CM), puis multiplie-le directement par la valeur initiale.

Pour plusieurs évolutions identiques répétées \(n\) fois, on peut utiliser une puissance : \(CM_{\text{global}} = CM^n\).

a) Prix de l'article

CM global\(1{,}08 \times 0{,}95 = 1{,}026\)

Calcul\(200 \times 1{,}026\)

Résultat205,20 €

b) Population après 2 ans

CM global\(1{,}04^2 = 1{,}0816\)

Calcul\(25\,000 \times 1{,}0816\)

Résultat27 040 habitants

c) Salaire final

CM global\(0{,}90 \times 1{,}10 = 0{,}99\)

Calcul\(2\,200 \times 0{,}99\)

Résultat2 178 €

💡 Malgré la hausse de 10 % qui suit la baisse, le salaire final est inférieur au salaire initial (2 178 € < 2 200 €) !

d) Capital après 3 hausses

CM global\(1{,}02^3 \approx 1{,}0612\)

Calcul\(5\,000 \times 1{,}0612\)

Résultat≈ 5 306 €

Exercice 3 / 5

Lecture Taux global

✓ Vu

On reprend les coefficients multiplicateurs globaux calculés à l'exercice 1. Pour chacun, indiquer s'il s'agit d'une hausse ou d'une baisse globale, puis donner le taux d'évolution global en pourcentage.

a) \(CM_{\text{global}} = 1{,}155\) (situation a de l'exercice 1)

b) \(CM_{\text{global}} = 1{,}08\) (situation b de l'exercice 1)

c) \(CM_{\text{global}} = 0{,}8075\) (situation c de l'exercice 1)

d) \(CM_{\text{global}} = 0{,}98\) (situation d de l'exercice 1)

💡 Indices

\(t_{\text{global}} = CM_{\text{global}} - 1\).

Le sens de l'évolution globale (hausse ou baisse) dépend uniquement de la position de \(CM_{\text{global}}\) par rapport à 1, même si les évolutions individuelles semblaient se compenser.

\(t = 1{,}155 - 1 = 0{,}155\)

Hausse globale de 15,5 %

\(t = 1{,}08 - 1 = 0{,}08\)

Hausse globale de 8 %

\(t = 0{,}8075 - 1 = -0{,}1925\)

Baisse globale de 19,25 %

\(t = 0{,}98 - 1 = -0{,}02\)

Baisse globale de 2 %

💡 Une baisse de 30 % suivie d'une hausse de 40 % donne malgré tout un résultat global négatif : les pourcentages ne se compensent pas comme on pourrait le croire intuitivement.

Exercice 4 / 5

Vrai / Faux Pièges classiques

✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier en calculant si nécessaire.

a) Une hausse de 10 % suivie d'une baisse de 10 % ramène toujours à la valeur initiale.

b) Pour calculer une évolution globale, on additionne les taux successifs.

c) Une baisse de 50 % suivie d'une hausse de 100 % ramène exactement à la valeur initiale.

d) Le CM global de plusieurs évolutions successives est le même quel que soit l'ordre dans lequel on les applique.

💡 Indices

Calcule effectivement le produit des deux CM, ne te fie pas à l'intuition.

La multiplication est commutative : \(a \times b = b \times a\).

❌ FAUX — \(CM_{\text{global}} = 1{,}10 \times 0{,}90 = 0{,}99 \neq 1\). Il reste une légère baisse nette de 1 % par rapport à la valeur initiale.

❌ FAUX — on multiplie toujours les CM, on n'additionne jamais les taux.

✓ VRAI — \(CM_{\text{global}} = 0{,}50 \times 2{,}00 = 1{,}00\), donc retour exact à la valeur initiale. C'est un cas particulier (une baisse de 50 % nécessite une hausse de 100 %, et non de 50 %, pour compenser exactement).

✓ VRAI — la multiplication étant commutative, \(CM_1 \times CM_2 = CM_2 \times CM_1\) : l'ordre des évolutions n'a pas d'importance sur le résultat final.

⚠ À retenir : une hausse suivie d'une baisse du même pourcentage ne compense jamais exactement (sauf 0 %) — il reste toujours une baisse nette.

Exercice 5 / 5

Problème Synthèse

✓ Vu

Le nombre de visiteurs d'un site internet est de 8 000 en janvier.

1) En février, il augmente de 15 %. Calculer le nombre de visiteurs en février.

2) En mars, il diminue de 10 % par rapport à février. Calculer le nombre de visiteurs en mars.

3) En avril, il augmente de 8 % par rapport à mars. Calculer le nombre de visiteurs en avril (arrondir à l'unité).

4) Calculer le coefficient multiplicateur global entre janvier et avril, puis le taux d'évolution global correspondant (arrondir au dixième).

5) Un community manager affirme : « \(15 - 10 + 8 = 13\), donc le nombre de visiteurs a augmenté de 13 % entre janvier et avril. » Cette affirmation est-elle exacte ? Comparer avec le résultat de la question 4.

💡 Indices

À chaque étape, calcule le CM de l'évolution du mois, puis multiplie-le par la valeur du mois précédent.

Multiplie les trois CM mensuels entre eux pour obtenir le CM global — n'additionne jamais les taux.

1) Février

CM\(1{,}15\)

Calcul\(8\,000 \times 1{,}15\)

Résultat9 200 visiteurs

2) Mars

CM\(0{,}90\)

Calcul\(9\,200 \times 0{,}90\)

Résultat8 280 visiteurs

3) Avril

CM\(1{,}08\)

Calcul\(8\,280 \times 1{,}08\)

Résultat≈ 8 942 visiteurs

4) CM global et taux global

CM global\(1{,}15 \times 0{,}90 \times 1{,}08 \approx 1{,}1178\)

Taux global\(t \approx 0{,}1178\)

En %≈ +11,8 %

💡 Vérification : \(8\,000 \times 1{,}1178 \approx 8\,942\), on retrouve bien le résultat de la question 3.

5) Vérification de l'affirmation

❌ L'affirmation du community manager est fausse — on ne peut pas additionner les taux successifs (\(15 - 10 + 8 = 13\,\%\)). Le taux d'évolution global réel, calculé à la question 4, est d'environ +11,8 %, et non 13 %.