Évolution
réciproque

Information chiffrée n°5 — Feuille d'exercices — 2^nde

CMréc = 1/CM Retour à Vi Calcul / Problèmes

📌 L'évolution réciproque : le piège de « l'opposé »

① Coefficient multiplicateur réciproque

C'est le CM qui permet de revenir exactement de \(V_f\) à \(V_i\), après une évolution de CM donné.

\(CM_{\text{réc}} = \dfrac{1}{CM}\)

② Taux réciproque

On en déduit le taux réciproque comme pour n'importe quel CM.

\(t_{\text{réc}} = CM_{\text{réc}} - 1\)

⚠ Le taux réciproque n'est jamais l'opposé du taux de départ (\(-t\)) : une hausse de 25 % se compense par une baisse de 20 %, pas de 25 % !

Corrections vues :

0 / 6

Exercice 1 / 6

Calcul direct CMréc = 1/CM

✓ Vu

Calculer le coefficient multiplicateur réciproque associé à chaque coefficient multiplicateur (arrondir à 0,001 si besoin).

\(CM = 1{,}20\)

\(CM = 0{,}80\)

\(CM = 1{,}50\)

\(CM = 0{,}60\)

💡 Indices

\(CM_{\text{réc}} = \dfrac{1}{CM}\).

Le CM réciproque permet de « revenir en arrière », de la valeur finale à la valeur initiale.

a) CM = 1,20

Calcul\(CM_{\text{réc}} = \dfrac{1}{1{,}20}\)

Résultat≈ 0,833

b) CM = 0,80

Calcul\(CM_{\text{réc}} = \dfrac{1}{0{,}80}\)

Résultat= 1,25

c) CM = 1,50

Calcul\(CM_{\text{réc}} = \dfrac{1}{1{,}50}\)

Résultat≈ 0,667

d) CM = 0,60

Calcul\(CM_{\text{réc}} = \dfrac{1}{0{,}60}\)

Résultat≈ 1,667

Exercice 2 / 6

Calcul Taux réciproque

✓ Vu

Pour chaque évolution, calculer le CM réciproque puis en déduire le taux d'évolution réciproque correspondant (arrondir au dixième).

a) Une hausse de 25 %.

b) Une baisse de 20 %.

c) Une hausse de 60 %.

d) Une baisse de 75 %.

💡 Indices

Calcule d'abord \(CM = 1+t\), puis \(CM_{\text{réc}} = \dfrac{1}{CM}\).

\(t_{\text{réc}} = CM_{\text{réc}} - 1\).

a) Hausse de 25 %

CM\(1{,}25\)

CM réc.\(\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}80\)

Taux réc.−20 %

💡 Et non −25 % : c'est le piège classique !

b) Baisse de 20 %

CM\(0{,}80\)

CM réc.\(\dfrac{1}{0{,}80} = 1{,}25\)

Taux réc.+25 %

c) Hausse de 60 %

CM\(1{,}60\)

CM réc.\(\dfrac{1}{1{,}60} = 0{,}625\)

Taux réc.−37,5 %

d) Baisse de 75 %

CM\(0{,}25\)

CM réc.\(\dfrac{1}{0{,}25} = 4\)

Taux réc.+300 %

💡 Plus la baisse de départ est forte, plus la hausse nécessaire pour revenir en arrière est spectaculaire.

Exercice 3 / 6

Vérification Aller-retour

✓ Vu

Un article coûte initialement 80 €.

a) Il subit une hausse de 25 %. Calculer son nouveau prix.

b) Quel taux de baisse faut-il appliquer à ce nouveau prix pour revenir exactement à 80 € ? Utiliser le coefficient multiplicateur réciproque.

c) Vérifier ce résultat en appliquant cette baisse au prix obtenu en a).

💡 Indices

Utilise \(CM = 1+t\) comme d'habitude.

Calcule \(CM_{\text{réc}} = \dfrac{1}{CM}\) puis le taux associé — ce n'est pas simplement −25 % !

a) Nouveau prix

Calcul\(80 \times 1{,}25\)

Résultat100 €

b) Taux de baisse nécessaire

CM réc.\(\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}80\)

Taux−20 %

c) Vérification

Calcul\(100 \times 0{,}80\)

Résultat80 € ✓

On retrouve bien le prix initial : la baisse de 20 % (et non 25 %) est celle qui compense exactement la hausse de 25 %.

Exercice 4 / 6

Problème classique Soldes

✓ Vu

a) Un article subit une baisse de 40 % lors des soldes. Quel pourcentage de hausse faut-il appliquer au nouveau prix pour retrouver le prix initial ?

b) Un commerçant augmente ses prix de 10 % en janvier, en prévoyant de les rebaisser ensuite pour retrouver les prix initiaux. Quel pourcentage de baisse doit-il réellement appliquer ?

c) Application numérique pour a) : un article soldé à −40 % coûtait initialement 85 €. Calculer son prix soldé, puis vérifier que la hausse trouvée en a) permet bien de revenir à 85 €.

💡 Indices

Dans chaque cas, calcule le CM de l'évolution de départ, puis son CM réciproque.

Ne confonds jamais le taux réciproque avec l'opposé du taux de départ (\(-t\)).

a) Hausse nécessaire après la baisse de 40 %

CM\(0{,}60\) (baisse de 40 %)

CM réc.\(\dfrac{1}{0{,}60} \approx 1{,}667\)

Taux réc.≈ +66,7 %

💡 Il faut une hausse de 66,7 % pour compenser une baisse de 40 %, pas 40 % !

b) Baisse nécessaire après la hausse de 10 %

CM\(1{,}10\)

CM réc.\(\dfrac{1}{1{,}10} \approx 0{,}909\)

Taux réc.≈ −9,1 %

c) Application numérique

Prix soldé\(85 \times 0{,}60 = 51\) €

Vérification\(51 \times 1{,}667 \approx 85\) € ✓

On retrouve bien le prix initial de 85 € grâce à la hausse réciproque de 66,7 %.

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques

✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier en calculant si nécessaire.

a) Pour annuler une hausse de 30 %, il suffit d'appliquer une baisse de 30 %.

b) Le coefficient multiplicateur réciproque se calcule en divisant 1 par le coefficient multiplicateur de départ.

c) Une baisse de 50 % nécessite une hausse de 100 % pour revenir à la valeur initiale.

d) Le taux réciproque d'une évolution est toujours plus petit, en valeur absolue, que le taux de départ.

💡 Indices

Calcule effectivement \(CM \times CM_{\text{réc}}\) pour une hausse de 30 % et vérifie si le produit vaut 1.

Teste avec une baisse forte (75 % par exemple, comme à l'exercice 2) pour voir si l'affirmation reste vraie dans tous les cas.

❌ FAUX — \(CM = 1{,}30\), \(CM_{\text{réc}} = \dfrac{1}{1{,}30} \approx 0{,}769\), soit une baisse d'environ 23,1 % (et non 30 %).

✓ VRAI — c'est la définition même du CM réciproque : \(CM_{\text{réc}} = \dfrac{1}{CM}\).

✓ VRAI — \(CM = 0{,}50\), \(CM_{\text{réc}} = \dfrac{1}{0{,}50} = 2\), soit \(t_{\text{réc}} = +100\,\%\).

❌ FAUX — c'est vrai pour une hausse (le taux réciproque, une baisse, est plus petit en valeur absolue), mais c'est l'inverse pour une baisse : une baisse de 75 % nécessite une hausse réciproque de 300 %, bien plus grande en valeur absolue.

⚠ À retenir : le taux réciproque n'est jamais l'opposé du taux de départ, sauf lorsque le taux de départ est nul.

Exercice 6 / 6

Problème Synthèse

✓ Vu

Une entreprise a vu son chiffre d'affaires baisser de 35 % suite à une crise, partant d'un montant initial de 400 000 €.

1) Calculer le chiffre d'affaires après cette baisse.

2) Le directeur souhaite retrouver le chiffre d'affaires initial de 400 000 € l'année suivante. Quel taux de hausse doit-il viser ? Calculer ce taux à l'aide du coefficient multiplicateur réciproque (arrondir au dixième).

3) Un actionnaire propose plutôt d'appliquer une hausse de 35 % (le même pourcentage que la baisse), pensant que cela suffira. Vérifier si cette stratégie fonctionne, en calculant le chiffre d'affaires obtenu.

4) En une phrase, expliquer pourquoi une hausse de même pourcentage qu'une baisse ne suffit jamais à la compenser exactement (sauf cas particulier).

💡 Indices

Calcule le CM de la baisse, puis son CM réciproque pour obtenir le taux de hausse nécessaire.

Repense au fait que la baisse et la hausse s'appliquent à des valeurs de référence différentes (le CA initial, puis le CA déjà réduit).

1) CA après la baisse

CM\(0{,}65\)

Calcul\(400\,000 \times 0{,}65\)

Résultat260 000 €

2) Taux de hausse nécessaire

CM réc.\(\dfrac{1}{0{,}65} \approx 1{,}5385\)

Taux réc.≈ +53,8 %

3) Vérification de la proposition de l'actionnaire

Calcul\(260\,000 \times 1{,}35\)

Résultat351 000 €

❌ La stratégie ne fonctionne pas — 351 000 € est très inférieur aux 400 000 € visés. Une hausse de 35 % ne compense pas une baisse de 35 %.

4) Explication

La baisse de 35 % s'applique au chiffre d'affaires initial (400 000 €), alors que la hausse de 35 % s'applique ensuite à un chiffre d'affaires déjà réduit (260 000 €) : les deux pourcentages ne portent pas sur la même valeur de référence, donc ils ne se compensent pas.