Synthèse & pièges

Information chiffrée n°6 — Feuille d'exercices — 2^nde

Toutes les notions Problèmes type bac Pièges classiques

📌 Les 5 pièges à ne jamais oublier

① Proportions étagées

On multiplie, jamais on n'additionne.

\(p_1 \times p_2\)

② Variation abs. / rel.

Le taux dépend toujours de \(V_i\).

\(t = \frac{V_f-V_i}{V_i}\)

③ Coefficient multiplicateur

\(CM < 1\) = baisse, même si ça semble contre-intuitif.

\(CM = 1+t\)

④ Évolutions successives

On multiplie les CM, jamais on n'additionne les taux.

\(CM_1 \times CM_2\)

⑤ Évolution réciproque

Le taux réciproque n'est jamais l'opposé du taux de départ.

\(CM_{\text{réc}} = \frac{1}{CM}\)

Corrections vues :

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Exercice 1 / 6

Vrai / Faux Tous pièges confondus

✓ Vu

Chaque affirmation ci-dessous mobilise un piège différent du chapitre. Vrai ou faux ? Justifier.

a) Une proportion de 20 % dans une proportion de 30 % donne une proportion globale de 50 %.

b) Une variation absolue de 200 € signifie automatiquement une évolution de 200 %.

c) Un coefficient multiplicateur de 0,4 correspond à une hausse.

d) Une hausse de 12 % suivie d'une baisse de 12 % ramène exactement à la valeur initiale.

e) Pour compenser une baisse de 60 %, il suffit d'appliquer une hausse de 60 %.

💡 Indices

Repense aux formules de multiplication : \(p_1 \times p_2\) pour les proportions étagées, \(CM_1 \times CM_2\) pour les évolutions successives.

Rappelle-toi : \(CM < 1\) signifie toujours une baisse, et le CM réciproque se calcule avec \(\dfrac{1}{CM}\), pas avec l'opposé du taux.

a) Proportions étagées

❌ FAUX — \(0{,}20 \times 0{,}30 = 0{,}06 = 6\,\%\), et non \(20+30=50\,\%\).

b) Variation absolue

❌ FAUX — une variation absolue ne se transforme en pourcentage qu'en la divisant par \(V_i\), qui n'est pas précisé ici.

c) Coefficient multiplicateur

❌ FAUX — \(CM = 0{,}4 < 1\) correspond à une baisse (de 60 %, puisque \(t = 0{,}4 - 1 = -0{,}6\)).

d) Évolutions successives

❌ FAUX — \(CM_{\text{global}} = 1{,}12 \times 0{,}88 = 0{,}9856 \neq 1\) : il reste une légère baisse nette.

e) Évolution réciproque

❌ FAUX — \(CM = 0{,}4\), \(CM_{\text{réc}} = \dfrac{1}{0{,}4} = 2{,}5\), soit une hausse nécessaire de 150 %, pas 60 %.

⚠ Ces 5 pièges reviennent constamment dans les problèmes d'information chiffrée : ils reposent tous sur la confusion entre addition et multiplication, ou sur l'oubli de la valeur de référence.

Exercice 2 / 6

Problème Proportions & évolutions

✓ Vu

Un lycée compte 750 élèves à la rentrée 2024.

1) 44 % des élèves sont en filière générale. Parmi eux, 30 % ont choisi la spécialité SES. Quelle proportion des élèves du lycée cela représente-t-il ? Combien d'élèves cela fait-il (arrondir à l'unité) ?

2) À la rentrée 2025, l'effectif total du lycée augmente de 6 %. Calculer le nouvel effectif total.

3) Le proviseur affirme : « Puisque la proportion d'élèves en spécialité SES était de 13,2 % en 2024, il y aura exactement 13,2 % de l'effectif 2025 en spécialité SES en 2025. » Ce raisonnement est-il valable mathématiquement ? Commenter (sans calculer de nombre).

💡 Indices

C'est une proportion étagée : \(p_{\text{global}} = p_1 \times p_2\).

Le calcul serait juste seulement si la proportion d'élèves choisissant la spécialité SES reste inchangée d'une année sur l'autre — ce qui n'est pas garanti dans la réalité.

1) Proportion étagée

Proportion\(0{,}44 \times 0{,}30 = 0{,}132 = 13{,}2\,\%\)

Effectif\(750 \times 0{,}132 = 99\)

13,2 % des élèves du lycée, soit 99 élèves.

2) Nouvel effectif

Calcul\(750 \times 1{,}06\)

Résultat795 élèves

3) Validité du raisonnement du proviseur

Le calcul serait mathématiquement correct seulement si la proportion d'élèves choisissant la spécialité SES reste strictement identique (13,2 %) entre 2024 et 2025. Or rien ne le garantit : les choix d'orientation des nouveaux élèves peuvent varier d'une année à l'autre. Le proviseur fait une extrapolation, pas un fait mathématiquement établi.

Exercice 3 / 6

Problème CM & évolutions successives

✓ Vu

Le chiffre d'affaires d'une entreprise était de 320 000 € en 2022.

1) En 2023, il a augmenté de 12 %. Calculer le CM correspondant, puis le CA en 2023.

2) En 2024, il a diminué de 8 % par rapport à 2023. Calculer le CA en 2024.

3) Calculer le coefficient multiplicateur global entre 2022 et 2024, puis le taux d'évolution global correspondant (arrondir au dixième).

4) Le directeur financier affirme : « 12 − 8 = 4 %, le CA a donc augmenté de 4 % entre 2022 et 2024. » Confirmer ou infirmer cette affirmation à l'aide du résultat de la question 3.

💡 Indices

Utilise le CM à chaque étape : \(V_f = V_i \times CM\).

\(CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2\), jamais l'addition des taux.

1) CA en 2023

CM\(1{,}12\)

Calcul\(320\,000 \times 1{,}12\)

Résultat358 400 €

2) CA en 2024

CM\(0{,}92\)

Calcul\(358\,400 \times 0{,}92\)

Résultat329 728 €

3) CM global et taux global

CM global\(1{,}12 \times 0{,}92 = 1{,}0304\)

Taux global≈ +3,0 %

4) Vérification

❌ L'affirmation du directeur financier est fausse — le taux réel calculé à la question 3 est d'environ +3,0 %, et non 4 %. L'addition des taux (12 − 8 = 4) donne un résultat proche mais incorrect : seul le produit des CM donne la valeur exacte.

Exercice 4 / 6

Problème Évolution réciproque

✓ Vu

La population d'une commune est passée de 5 400 à 4 590 habitants entre 2015 et 2020, suite à un exode rural.

1) Calculer le taux d'évolution de la population entre 2015 et 2020.

2) La municipalité veut retrouver la population de 2015 (5 400 habitants) d'ici 2030. Quel taux de hausse doit-elle viser à partir de 2020 ? Calculer ce taux à l'aide du coefficient multiplicateur réciproque (arrondir au dixième).

3) Une conseillère municipale propose d'appliquer directement une hausse de 15 % (le taux opposé à la baisse observée). Vérifier si cette hausse suffirait à atteindre l'objectif.

💡 Indices

\(t = \dfrac{V_f - V_i}{V_i}\) avec \(V_i = 5\,400\) et \(V_f = 4\,590\).

Calcule le CM de la baisse, puis \(CM_{\text{réc}} = \dfrac{1}{CM}\).

1) Taux d'évolution 2015 → 2020

Calcul\(t = \dfrac{4\,590 - 5\,400}{5\,400} = \dfrac{-810}{5\,400}\)

Résultat−15 %

2) Taux de hausse nécessaire

CM\(0{,}85\)

CM réc.\(\dfrac{1}{0{,}85} \approx 1{,}1765\)

Taux réc.≈ +17,6 %

3) Vérification de la proposition de la conseillère

Calcul\(4\,590 \times 1{,}15\)

Résultat\(\approx 5\,278{,}5\) habitants

❌ Cette hausse ne suffirait pas — avec 15 %, la population n'atteindrait que 5 279 habitants environ, contre 5 400 visés. Il faut bien la hausse de 17,6 % trouvée en question 2 (et non le taux opposé de 15 %).

Exercice 5 / 6

Problème type bac Synthèse générale

✓ Vu

Une association sportive comptait 480 adhérents en 2021.

1) En 2022, le nombre d'adhérents a augmenté de 25 %. Calculer l'effectif en 2022.

2) Parmi les adhérents de 2022, 60 % pratiquent un sport collectif. Parmi ces derniers, 35 % ont moins de 18 ans. Quelle proportion des adhérents de 2022 cela représente-t-il ? Combien de jeunes pratiquant un sport collectif cela fait-il (arrondir à l'unité) ?

3) En 2023, l'effectif total a diminué de 10 % par rapport à 2022. Calculer l'effectif en 2023.

4) Calculer le coefficient multiplicateur global entre 2021 et 2023, puis le taux d'évolution global correspondant.

5) Le président affirme : « Entre 2021 et 2023, l'effectif a d'abord augmenté de 25 %, puis diminué de 10 %, donc au final il a augmenté de 25 − 10 = 15 %. » Corriger cette affirmation à l'aide de la question 4.

💡 Indices

C'est une proportion étagée appliquée à l'effectif de 2022 (question 1), pas à celui de 2021.

Multiplie les deux CM (2021→2022 et 2022→2023) pour obtenir le CM global entre 2021 et 2023.

1) Effectif en 2022

Calcul\(480 \times 1{,}25\)

Résultat600 adhérents

2) Jeunes pratiquant un sport collectif

Proportion\(0{,}60 \times 0{,}35 = 0{,}21 = 21\,\%\)

Effectif\(600 \times 0{,}21 = 126\)

21 % des adhérents de 2022, soit 126 jeunes.

3) Effectif en 2023

Calcul\(600 \times 0{,}90\)

Résultat540 adhérents

4) CM global et taux global (2021 → 2023)

CM global\(1{,}25 \times 0{,}90 = 1{,}125\)

Taux global+12,5 %

5) Correction de l'affirmation du président

❌ FAUX — le taux d'évolution global réel est de +12,5 % (question 4), et non 15 %. L'addition \(25 - 10 = 15\) ne donne pas le bon résultat car les deux évolutions ne portent pas sur la même valeur de référence.

Exercice 6 / 6

Problème type bac Révision finale

✓ Vu

Un smartphone est vendu 600 € à sa sortie.

1) Trois mois après, son prix baisse de 25 % lors d'une promotion. Calculer le nouveau prix.

2) Un an après sa sortie, ce nouveau prix subit encore une baisse de 20 %. Calculer le prix après cette seconde baisse.

3) Calculer le coefficient multiplicateur global des deux baisses successives, puis le taux d'évolution global entre le prix de sortie et le prix final (arrondir au dixième).

4) Le fabricant veut relancer ce modèle au prix de sortie initial (600 €) l'année suivante. Quel taux de hausse doit-il appliquer au prix actuel ? Utiliser le coefficient multiplicateur réciproque (arrondir au dixième).

5) Un vendeur affirme : « Il suffira d'appliquer une hausse de 45 % (25 + 20) pour revenir au prix de sortie. » Commenter cette affirmation en la comparant au résultat de la question 4.

💡 Indices

Ce problème combine deux notions : évolutions successives (question 3) puis évolution réciproque (question 4). Ne les confonds pas !

Le CM réciproque se calcule à partir du CM global trouvé en question 3, pas à partir de chaque baisse séparément.

1) Prix après la première baisse

CM\(0{,}75\)

Calcul\(600 \times 0{,}75\)

Résultat450 €

2) Prix après la seconde baisse

CM\(0{,}80\)

Calcul\(450 \times 0{,}80\)

Résultat360 €

3) CM global et taux global des baisses

CM global\(0{,}75 \times 0{,}80 = 0{,}60\)

Taux global−40 %

4) Taux de hausse nécessaire pour revenir à 600 €

CM réc.\(\dfrac{1}{0{,}60} \approx 1{,}667\)

Taux réc.≈ +66,7 %

5) Commentaire sur l'affirmation du vendeur

❌ L'affirmation du vendeur est fausse, et ce à un double titre :

1. Il additionne les deux baisses (25 + 20 = 45 %) au lieu de multiplier les CM.

2. Même en corrigeant ce premier point, le taux nécessaire pour revenir au prix de départ n'est pas le taux « opposé » aux baisses, mais bien le taux réciproque calculé en question 4 : ≈ +66,7 %, largement supérieur aux 45 % annoncés.