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Ces mots apparaissent partout dans ce chapitre. Repère-les avant de commencer !
Soit un ensemble de référence de \(N\) éléments (ex : tous les élèves d'un lycée) contenant une sous-population de \(n\) éléments (ex : les filles). La proportion de cette sous-population est :
Pense à la proportion comme à une fraction de tarte :
Dans une classe de 35 élèves, 14 ont choisi l'option cinéma.
a) Quelle est la proportion d'élèves ayant choisi l'option cinéma (sous forme décimale) ?
b) Exprimer ce résultat en pourcentage.
Si une sous-population A représente une proportion \(p_1\) d'un ensemble total, et qu'une sous-sous-population B représente une proportion \(p_2\) de A, alors la proportion de B dans l'ensemble total est :
💡 On peut étendre à 3 niveaux ou plus : \(p_{\text{global}} = p_1 \times p_2 \times p_3 \times \cdots\)
Chaque flèche = une multiplication. Les ensembles de référence sont différents à chaque étape, donc on ne peut jamais additionner \(p_1\) et \(p_2\) !
Lire « \(p_2\) de \(p_1\) » se traduit toujours par une multiplication.
Dans une ville, 45 % des habitants ont un animal de compagnie. Parmi eux, 30 % ont un chat. Quelle proportion des habitants de la ville possède un chat ?
La variation absolue est l'écart brut entre les deux valeurs :
Elle s'exprime dans la même unité que \(V_i\) et \(V_f\) (€, kg, km…).
Signe positif = hausse · Signe négatif = baisse.
La variation absolue ne permet pas de comparer des situations différentes. Une hausse de 50 € est-elle grande ? Tout dépend de \(V_i\) ! Le taux d'évolution mesure l'évolution proportionnellement à \(V_i\) :
Pour exprimer en % : \(t \times 100\). Signe positif = hausse · Signe négatif = baisse.
Le nombre d'abonnés d'un réseau social passe de 2 000 à 1 700.
a) Calculer la variation absolue.
b) Calculer le taux d'évolution en %. Interpréter.
Le salaire de Lucie est de 1 800 €. Elle obtient une augmentation de 5 %. Quel est son nouveau salaire ? (Utilise la formule \(V_f = V_i\,(1+t)\).)
On a vu que \(V_f = V_i \times (1 + t)\). Le facteur \((1 + t)\) s'appelle le coefficient multiplicateur :
Réciproquement, on retrouve le taux à partir du CM :
Un seul geste : multiplier par le CM. Fini les additions et soustractions intermédiaires !
| Évolution | Taux \(t\) | CM \(= 1 + t\) | Lecture rapide |
|---|---|---|---|
| 📈 Hausse de 5 % | \(+0{,}05\) | \(1{,}05\) | × 1,05 |
| 📈 Hausse de 10 % | \(+0{,}10\) | \(1{,}10\) | × 1,10 |
| 📈 Hausse de 20 % | \(+0{,}20\) | \(1{,}20\) | × 1,20 |
| 📈 Hausse de 50 % | \(+0{,}50\) | \(1{,}50\) | × 1,5 (valeur × 1,5) |
| 📈 Hausse de 100 % | \(+1{,}00\) | \(2{,}00\) | × 2 → valeur doublée ! |
| 📉 Baisse de 5 % | \(-0{,}05\) | \(0{,}95\) | × 0,95 |
| 📉 Baisse de 15 % | \(-0{,}15\) | \(0{,}85\) | × 0,85 |
| 📉 Baisse de 20 % | \(-0{,}20\) | \(0{,}80\) | × 0,80 |
| 📉 Baisse de 30 % | \(-0{,}30\) | \(0{,}70\) | × 0,70 |
| 📉 Baisse de 50 % | \(-0{,}50\) | \(0{,}50\) | × 0,5 → valeur divisée par 2 ! |
\(t = \text{CM} - 1\), puis \(\times\,100\) pour avoir le pourcentage.
a) Un objet vaut 200 €. Son prix baisse de 35 %. Calculer le nouveau prix via le CM.
b) Un CM vaut 1,08. Quel taux d'évolution correspond-il ? Hausse ou baisse ?
c) Un CM vaut 0,63. Même question.
a)
b)
c)
Lorsqu'une grandeur subit plusieurs évolutions successives de CM \(\text{CM}_1, \text{CM}_2, \ldots, \text{CM}_k\), le CM global est le produit des CM individuels :
Le taux global s'obtient par : \(t_{\text{global}} = \text{CM}_{\text{global}} - 1\)
Les deux schémas donnent le même résultat. La puissance du CM global.
Une ville compte 50 000 habitants. La population augmente de 4 % la première année, puis de 6 % la deuxième.
a) Calculer le CM global. b) Combien d'habitants après 2 ans ? c) Le taux global est-il égal à 4 + 6 = 10 % ?
Une valeur boursière subit trois évolutions : +10 %, puis −15 %, puis +8 %. Calculer le taux d'évolution global.
L'évolution réciproque répond à : « Quelle évolution appliquer à \(V_f\) pour revenir exactement à \(V_i\) ? »
Si l'évolution initiale a pour CM = \(c\), le CM réciproque est :
Le taux réciproque est :
On « remonte le chemin » en multipliant par l'inverse du CM.
Pourquoi ? Parce qu'on n'applique pas la hausse sur \(V_i\), mais sur \(V_f\), qui est plus petit. La base de calcul a changé.
Étape 1. Identifier le CM de l'évolution initiale : \(\text{CM} = 1 + t\).
Étape 2. Calculer \(\text{CM}_{\text{réc.}} = \dfrac{1}{\text{CM}}\).
Étape 3. En déduire \(t_{\text{réc.}} = \text{CM}_{\text{réc.}} - 1\), puis convertir en %.
Le prix d'un téléphone a baissé de 40 %. De quel pourcentage faudrait-il augmenter ce nouveau prix pour retrouver le prix d'origine ?
a) Année par année
b) Taux global
a) Calcul du taux réciproque
b) Vérification numérique