Vecteurs —
De la translation au vecteur

Chapitre 8 — Feuille d'exercices n°1 — 2^nde

Translation Vecteur Égalité

📌 L'essentiel à retenir

① La translation, déjà connue au collège

Une translation fait glisser tous les points du plan d'un même déplacement. Elle est entièrement définie par ce déplacement : une direction, un sens et une longueur.

② Le vecteur représente ce déplacement

On appelle vecteur l'objet mathématique qui caractérise une translation. On le note \(\overrightarrow{AB}\) (de \(A\) vers \(B\)) ou \(\vec{u}\). Sa direction, son sens et sa longueur définissent complètement la translation.

③ Deux vecteurs égaux = même translation

Deux vecteurs sont égaux s'ils représentent la même translation : même direction, même sens, même longueur. Le point de départ de la flèche n'a pas d'importance.

Corrections vues :

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Exercice 1 / 6

Translation → vecteur Notion fondamentale

✓ Vu

On considère la translation qui transforme le point \(A\) en le point \(A'\) sur le quadrillage ci-dessous (1 carreau = 1 unité).

La flèche représente le vecteur \(\vec{t}\) associé à cette translation.

1) Décrire en une phrase le déplacement réalisé par la translation de vecteur \(\vec{t}\).

2) Placer les points \(B'\) et \(C'\), images respectives de \(B\) et \(C\) par la même translation. Tracer les vecteurs \(\overrightarrow{BB'}\) et \(\overrightarrow{CC'}\).

3) Comparer les trois flèches \(\overrightarrow{AA'}\), \(\overrightarrow{BB'}\) et \(\overrightarrow{CC'}\). Que remarque-t-on ?

4) On dit que \(\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'}\). Pourquoi est-ce naturel ? Qu'est-ce que ces trois vecteurs ont en commun ?

💡 Indices

Une translation applique le même déplacement à tous les points. Depuis \(B\), effectue exactement le même déplacement qu'entre \(A\) et \(A'\) : 3 carreaux à droite et 2 vers le haut.

Les trois flèches représentent la même translation. Si deux objets mathématiques représentent la même réalité, il est naturel de dire qu'ils sont « égaux ».

1) Description du déplacement

La translation de vecteur \(\vec{t}\) déplace chaque point de 3 carreaux vers la droite et 2 carreaux vers le haut.

2) Images B' et C'

Depuis \(B\) : appliquer le même déplacement (3 carreaux à droite, 2 vers le haut) → \(B'\) est 3 carreaux à droite et 2 au-dessus de \(B\).

Depuis \(C\) : même déplacement → \(C'\) est 3 carreaux à droite et 2 au-dessus de \(C\).

3) Comparaison des trois flèches

\(\overrightarrow{AA'}\), \(\overrightarrow{BB'}\) et \(\overrightarrow{CC'}\) sont parallèles, ont la même longueur et pointent dans le même sens. Les trois flèches sont identiques à un déplacement près.

4) Pourquoi « vecteurs égaux » ?

Ces trois flèches représentent toutes la même translation. Il est donc naturel de dire qu'elles représentent le même vecteur \(\vec{t}\). Un vecteur ne dépend pas du point de départ choisi : seul le déplacement (direction, sens, longueur) compte.

À retenir : un vecteur, c'est une translation mise en flèche. Deux flèches égales représentent la même translation — même si elles ne partent pas du même point.

Exercice 2 / 6

Reconnaître Vecteurs égaux

✓ Vu

Cinq vecteurs sont représentés sur le quadrillage ci-dessous.

1) Décrire le déplacement de chacun des cinq vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\), \(\vec{p}\), \(\vec{q}\) (direction, sens, nombre de carreaux).

2) Quels vecteurs représentent la même translation ? En déduire lesquels sont égaux.

3) Quel vecteur est l'opposé de \(\vec{u}\) ? Expliquer ce que signifie « opposé » en termes de translation.

4) \(\vec{q}\) et \(\vec{u}\) ont la même direction et le même sens. Sont-ils égaux ? Pourquoi ?

💡 Indices

Pour que deux vecteurs soient égaux, il faut les trois conditions simultanément : même direction, même sens ET même longueur. Une ou deux conditions ne suffisent pas.

L'opposé d'un vecteur correspond à la translation inverse. Si \(\vec{u}\) va 3 carreaux à droite, son opposé va 3 carreaux à gauche : même longueur, même direction, sens contraire.

1) Déplacements

\(\vec{u}\) : horizontal, vers la droite, 3 carreaux.

\(\vec{v}\) : horizontal, vers la droite, 3 carreaux.

\(\vec{w}\) : oblique (montant vers la droite), 3 carreaux à droite et 2 vers le haut.

\(\vec{p}\) : horizontal, vers la gauche, 3 carreaux.

\(\vec{q}\) : horizontal, vers la droite, 6 carreaux.

2) Vecteurs égaux

\(\vec{u} = \vec{v}\) : même déplacement (horizontal, droite, 3 carreaux), donc même translation. Tous les autres diffèrent par au moins une caractéristique.

3) Opposé de \(\vec{u}\)

\(\vec{p}\) est l'opposé de \(\vec{u}\) : même direction (horizontale), même longueur (3 carreaux), mais sens contraire (gauche au lieu de droite). En termes de translation, \(\vec{p}\) correspond à la translation inverse de \(\vec{u}\) : elle « défait » le déplacement de \(\vec{u}\).

4) \(\vec{q}\) et \(\vec{u}\)

Non, ils ne sont pas égaux. Même direction et même sens ne suffisent pas : \(\vec{q}\) a une longueur de 6 carreaux contre 3 pour \(\vec{u}\). Ils représentent deux translations différentes.

Exercice 3 / 6

Vecteur nul Vecteur opposé

✓ Vu

Répondre aux questions suivantes en justifiant à l'aide des translations.

1) Quelle translation correspond au vecteur \(\overrightarrow{MM}\) pour un point \(M\) quelconque ? Comment appelle-t-on ce vecteur ?

2) Vrai ou faux ? « \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) représentent la même translation. » Justifier.

3) Un déménageur pousse une armoire de \(P\) à \(Q\) (translation \(\overrightarrow{PQ}\)), puis la ramène à sa place initiale (translation \(\overrightarrow{QP}\)). Quel est le déplacement total ? Exprimer cela avec des vecteurs.

4) Compléter : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \ldots\) et justifier par l'idée de la question 3.

💡 Indices

\(\overrightarrow{MM}\) part de \(M\) et arrive à \(M\) : quel déplacement cela représente-t-il ? Une translation qui ne déplace rien du tout…

Enchaîner la translation « aller de \(A\) à \(B\) » puis « aller de \(B\) à \(A\) », c'est revenir exactement à son point de départ. Quel déplacement total cela donne-t-il ?

1) Vecteur \(\overrightarrow{MM}\)

\(\overrightarrow{MM}\) correspond à la translation qui laisse chaque point sur place : le déplacement est nul. On l'appelle le vecteur nul, noté \(\vec{0}\).

2) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\)

Faux. \(\overrightarrow{AB}\) va de \(A\) vers \(B\), et \(\overrightarrow{BA}\) va de \(B\) vers \(A\) : sens opposés. Ces deux vecteurs représentent deux translations inverses l'une de l'autre — elles ne peuvent pas être « la même ».

3) Le déménageur

L'armoire revient à sa position de départ : le déplacement total est nul. La translation composée de \(\overrightarrow{PQ}\) puis \(\overrightarrow{QP}\) est la translation nulle.

4) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}\)

Par le même raisonnement : enchaîner la translation de \(A\) vers \(B\) puis de \(B\) vers \(A\) revient au point de départ. Donc \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}\). Cela confirme que \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\).

Exercice 4 / 6

Représenter un vecteur Départ libre

✓ Vu

On donne le vecteur \(\vec{u} = \overrightarrow{PQ}\) représenté ci-dessous.

1) Quel est le déplacement de \(\vec{u} = \overrightarrow{PQ}\) (en carreaux horizontalement et verticalement) ?

2) Depuis le point \(A\), construire un vecteur \(\overrightarrow{AA'}\) égal à \(\vec{u}\). Quelle translation représente-t-il ?

3) Depuis le point \(B\), construire le vecteur opposé \(-\vec{u}\), noté \(\overrightarrow{BB'}\). Quel déplacement représente \(-\vec{u}\) par rapport à \(\vec{u}\) ?

4) Vérifier que \(\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{A'A} = \vec{0}\) en décrivant les deux déplacements.

💡 Indices

Un vecteur égal à \(\vec{u}\) représente la même translation. Depuis \(A\), effectue exactement le même déplacement qu'entre \(P\) et \(Q\) : compte le même nombre de carreaux dans la même direction et le même sens.

L'opposé \(-\vec{u}\) correspond à la translation inverse. Si \(\vec{u}\) monte de 3 carreaux et va 2 à droite, alors \(-\vec{u}\) descend de 3 carreaux et va 2 à gauche.

1) Déplacement de \(\vec{u} = \overrightarrow{PQ}\)

Entre \(P\) et \(Q\) : 2 carreaux vers la droite et 3 carreaux vers le haut.

2) Vecteur \(\overrightarrow{AA'}\) égal à \(\vec{u}\)

Depuis \(A\), on avance de 2 carreaux à droite et 3 vers le haut pour placer \(A'\). Le vecteur \(\overrightarrow{AA'}\) représente la même translation que \(\vec{u}\) : « 2 carreaux à droite, 3 vers le haut ».

3) Vecteur opposé \(-\vec{u}\) depuis \(B\)

Le déplacement de \(-\vec{u}\) est l'inverse : 2 carreaux à gauche et 3 vers le bas. Depuis \(B\), on place \(B'\) en allant 2 carreaux à gauche et 3 en dessous. \(-\vec{u}\) représente la translation inverse de \(\vec{u}\) : elle « défait » le déplacement.

4) \(\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{A'A}\)

\(\overrightarrow{AA'}\) déplace de 2 droite et 3 haut. \(\overrightarrow{A'A}\) déplace de 2 gauche et 3 bas (translation inverse). En enchaînant les deux, on revient en \(A\) : déplacement total nul. Donc \(\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{A'A} = \vec{0}\).

Exercice 5 / 6

Figure géométrique Parallélogramme

✓ Vu

On considère un parallélogramme \(ABCD\) (dans cet ordre de sommets), avec \(A(50\,;\,200)\), \(B(210\,;\,200)\), \(C(290\,;\,70)\), \(D(130\,;\,70)\) sur le quadrillage.

1) Expliquer, à l'aide de la définition du parallélogramme, pourquoi \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). (Penser à vérifier direction, sens et longueur.)

2) Écrire de même une égalité de vecteurs pour les deux autres côtés parallèles \([AD]\) et \([BC]\).

3) (Piège) Est-ce que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) ? Expliquer soigneusement.

4) En termes de translations : quelle translation envoie \(A\) sur \(B\) ? Envoie-t-elle aussi \(D\) sur \(C\) ? Pourquoi ?

💡 Indices

Attention à l'ordre des lettres : \(\overrightarrow{DC}\) va de \(D\) vers \(C\). Sur la figure, comparer la direction de \(\overrightarrow{AB}\) (de \(A\) vers \(B\)) et celle de \(\overrightarrow{DC}\) (de \(D\) vers \(C\)). Sont-ils dans le même sens ?

\(\overrightarrow{CD}\) va de \(C\) vers \(D\), ce qui est le sens inverse de \(\overrightarrow{DC}\). Comparer soigneusement \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sur la figure.

1) \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)

Dans le parallélogramme \(ABCD\), les côtés \([AB]\) et \([DC]\) sont parallèles et de même longueur (propriété du parallélogramme). En suivant les lettres, \(A \to B\) et \(D \to C\) sont parcourus dans le même sens. Les trois conditions (direction, sens, longueur) étant vérifiées : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

2) Côtés \([AD]\) et \([BC]\)

Les côtés \([AD]\) et \([BC]\) sont aussi parallèles, de même longueur, et \(A \to D\) et \(B \to C\) sont dans le même sens. Donc \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).

3) Piège : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) ?

Non. \(\overrightarrow{CD}\) va de \(C\) vers \(D\), sens opposé à \(\overrightarrow{DC}\). Donc \(\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{AB}\). On a \(\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{CD}\). L'ordre des lettres change tout.

4) En termes de translations

La translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) envoie \(A\) sur \(B\). Puisque \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), cette même translation envoie \(D\) sur \(C\). C'est bien la propriété du parallélogramme : tous les points bougent du même vecteur.

Exercice 6 / 6

Synthèse Plus difficile

✓ Vu

Sur le quadrillage ci-dessous, six points sont placés.

1) Lire le déplacement (en carreaux) de chacun des vecteurs : \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{DE}\), \(\overrightarrow{EF}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{CF}\).

2) Identifier tous les couples de vecteurs égaux parmi les six.

3) Que peut-on dire des triangles \(ABC\) et \(DEF\) ? Justifier à l'aide des translations.

4) (Défi) Trouver un point \(G\) tel que \(\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{BC}\). Est-ce que \(G\) coïncide avec un des points déjà placés ?

💡 Indices

Si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DE}\), la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) envoie \(A\) sur \(D\) et \(B\) sur \(E\). Si en plus \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{EF}\), que peut-on dire du triangle \(DEF\) par rapport à \(ABC\) ?

Pour trouver \(G\) tel que \(\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{BC}\) : depuis \(A\), effectue le même déplacement que \(\overrightarrow{BC}\). Lire d'abord le déplacement de \(\overrightarrow{BC}\), puis l'appliquer depuis \(A\).

1) Déplacements

\(\overrightarrow{AB}\) : 4 carreaux à droite, 2 vers le haut.

\(\overrightarrow{BC}\) : 2 carreaux à gauche, 2 vers le haut.

\(\overrightarrow{DE}\) : 4 carreaux à droite, 2 vers le haut.

\(\overrightarrow{EF}\) : 2 carreaux à gauche, 2 vers le haut.

\(\overrightarrow{AD}\) : 6 carreaux à droite, 0 (horizontal).

\(\overrightarrow{CF}\) : 6 carreaux à droite, 0 (horizontal).

2) Vecteurs égaux

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DE}\) (même déplacement : +4 droite, +2 haut).

\(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{EF}\) (même déplacement : −2 droite, +2 haut).

\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CF}\) (même déplacement : +6 droite, horizontal).

3) Triangles ABC et DEF

La translation de vecteur \(\overrightarrow{AD}\) envoie \(A\) sur \(D\), \(B\) sur \(E\) et \(C\) sur \(F\) (puisque \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DE}\) et \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EF}\)). Le triangle \(DEF\) est donc l'image du triangle \(ABC\) par cette translation : les deux triangles sont superposables et isométriques (même forme, mêmes dimensions).

4) Point G

\(\overrightarrow{BC}\) : 2 carreaux à gauche, 2 vers le haut. Depuis \(A(50\,;\,250)\), on avance de −2 carreaux en \(x\) et +2 en \(y\) : \(G\) serait à la position \((50-80\,;\,250-80)\), c'est-à-dire hors du cadre à gauche. On peut tout de même repérer sa position théorique. \(G\) ne coïncide avec aucun point déjà placé.

Bilan : deux figures liées par une translation ont leurs points correspondants reliés par des vecteurs égaux. C'est le lien profond entre vecteurs et isométries.