Vecteurs —
Coordonnées

Chapitre 8 — Feuille d'exercices n°2 — 2nde

Calcul des coord. Norme Retrouver un point

📌 L'essentiel à retenir

① Formule fondamentale
Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), alors \[\overrightarrow{AB}\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}\] On calcule toujours arrivée − départ.
② Norme avec Pythagore
Si \(\overrightarrow{AB}\binom{a}{b}\), sa norme vaut \[\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{a^2 + b^2}\] C'est la longueur du segment \([AB]\).
③ Retrouver un point
Si on connaît \(A\) et \(\overrightarrow{AB}\binom{a}{b}\), alors \[x_B = x_A + a \quad y_B = y_A + b\] On additionne les coordonnées du vecteur à celles du départ.
Corrections vues :
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Exercice 1 / 6

Calcul de coordonnées Application directe
✓ Vu

Calculer les coordonnées de chaque vecteur.

a)
\(A(2\,;\,5)\), \(B(7\,;\,9)\) — calculer \(\overrightarrow{AB}\)
b)
\(C(-1\,;\,3)\), \(D(4\,;\,-2)\) — calculer \(\overrightarrow{CD}\)
c)
\(E(0\,;\,-4)\), \(F(-3\,;\,0)\) — calculer \(\overrightarrow{EF}\)
d)
\(G(-2\,;\,-1)\), \(H(-5\,;\,-6)\) — calculer \(\overrightarrow{GH}\)

Pour chaque vecteur, préciser également si ses deux coordonnées sont positives, négatives ou de signes contraires, et interpréter géométriquement (direction du déplacement).

💡 Indices

Pour \(\overrightarrow{AB}\) : calculer d'abord \(x_B - x_A\) (abscisse de \(B\) moins abscisse de \(A\)), puis \(y_B - y_A\). Ne pas mélanger les abscisses et les ordonnées.
Pour d) : \(x_H - x_G = -5 - (-2)\). Attention : soustraire un nombre négatif revient à additionner son opposé. \(-5 - (-2) = -5 + 2 = -3\).
a) \(\overrightarrow{AB}\) avec \(A(2\,;\,5)\) et \(B(7\,;\,9)\)
Abscisse\(x_B - x_A = 7 - 2 = 5\)
Ordonnée\(y_B - y_A = 9 - 5 = 4\)
Résultat\(\overrightarrow{AB}\binom{5}{4}\) — déplacement vers la droite et vers le haut
b) \(\overrightarrow{CD}\) avec \(C(-1\,;\,3)\) et \(D(4\,;\,-2)\)
Abscisse\(4 - (-1) = 4 + 1 = 5\)
Ordonnée\(-2 - 3 = -5\)
Résultat\(\overrightarrow{CD}\binom{5}{-5}\) — déplacement vers la droite et vers le bas
c) \(\overrightarrow{EF}\) avec \(E(0\,;\,-4)\) et \(F(-3\,;\,0)\)
Abscisse\(-3 - 0 = -3\)
Ordonnée\(0 - (-4) = 4\)
Résultat\(\overrightarrow{EF}\binom{-3}{4}\) — déplacement vers la gauche et vers le haut
d) \(\overrightarrow{GH}\) avec \(G(-2\,;\,-1)\) et \(H(-5\,;\,-6)\)
Abscisse\(-5 - (-2) = -5 + 2 = -3\)
Ordonnée\(-6 - (-1) = -6 + 1 = -5\)
Résultat\(\overrightarrow{GH}\binom{-3}{-5}\) — déplacement vers la gauche et vers le bas
⚠ Piège classique : ne jamais calculer \(x_A - x_B\). On calcule toujours arrivée − départ, c'est-à-dire \(x_B - x_A\).

Exercice 2 / 6

Norme d'un vecteur Théorème de Pythagore
✓ Vu

Pour chaque paire de points, calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\), puis sa norme \(\|\overrightarrow{AB}\|\). Donner la valeur exacte (forme \(\sqrt{\phantom{0}}\)) et une valeur approchée au centième.

a)
\(A(1\,;\,1)\), \(B(4\,;\,5)\)
b)
\(A(0\,;\,0)\), \(B(5\,;\,-12)\)
c)
\(A(-3\,;\,2)\), \(B(1\,;\,2)\)
d)
\(A(2\,;\,-1)\), \(B(-1\,;\,3)\)

💡 Indices

Si \(\overrightarrow{AB}\binom{a}{b}\), alors \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Attention : on élève au carré, donc \((-12)^2 = 144\), pas \(-144\).
En c), les ordonnées de \(A\) et \(B\) sont identiques. La composante verticale du vecteur est donc nulle. Que vaut \(\sqrt{a^2 + 0^2}\) ?
a) \(A(1\,;\,1)\), \(B(4\,;\,5)\)
Vecteur\(\overrightarrow{AB}\binom{3}{4}\)
Norme\(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25}\) \(= 5\)

Un triangle 3-4-5 : résultat entier !

b) \(A(0\,;\,0)\), \(B(5\,;\,-12)\)
Vecteur\(\overrightarrow{AB}\binom{5}{-12}\)
Norme\(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169}\) \(= 13\)
c) \(A(-3\,;\,2)\), \(B(1\,;\,2)\)
Vecteur\(\overrightarrow{AB}\binom{4}{0}\)
Norme\(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16}\) \(= 4\)

Vecteur horizontal : la norme est simplement la valeur absolue de la composante horizontale.

d) \(A(2\,;\,-1)\), \(B(-1\,;\,3)\)
Vecteur\(\overrightarrow{AB}\binom{-3}{4}\)
Norme\(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25}\) \(= 5\)
À retenir : \((-a)^2 = a^2\), donc les signes des coordonnées n'ont aucune importance pour le calcul de la norme.

Exercice 3 / 6

Retrouver un point Sens inverse
✓ Vu

Dans chaque cas, déterminer les coordonnées du point manquant.

a) On connaît le départ \(A\) et le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) — trouver \(B\)

0 1 2 3 4 1 2 A(1 ; 3) B = ? AB
a) \(A(1\,;\,3)\) et \(\overrightarrow{AB}\binom{4}{-2}\). Calculer les coordonnées de \(B\).

b) On connaît l'arrivée \(B\) et le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) — trouver \(A\)

0 1 2 3 4 5 1 2 A = ? B(5 ; 1) AB
b) \(B(5\,;\,1)\) et \(\overrightarrow{AB}\binom{3}{-4}\). Calculer les coordonnées de \(A\).
c) \(M(-2\,;\,4)\) et \(\overrightarrow{MN}\binom{-3}{5}\). Calculer les coordonnées de \(N\).
d) \(P(0\,;\,-1)\) et \(Q(3\,;\,2)\). Un point \(R\) est tel que \(\overrightarrow{PR}\binom{1}{0}\). Calculer les coordonnées de \(R\), puis les coordonnées de \(\overrightarrow{QR}\).

💡 Indices

Si \(\overrightarrow{AB}\binom{a}{b}\), alors \(x_B = x_A + a\) et \(y_B = y_A + b\). On ajoute les composantes du vecteur aux coordonnées du départ.
En b), c'est l'inverse : on connaît \(B\) et \(\overrightarrow{AB}\). Puisque \(x_B = x_A + a\), on a \(x_A = x_B - a\). On soustrait les composantes à \(B\).
a) Coordonnées de \(B\) avec \(A(1\,;\,3)\) et \(\overrightarrow{AB}\binom{4}{-2}\)
Abscisse\(x_B = x_A + 4 = 1 + 4 = 5\)
Ordonnée\(y_B = y_A + (-2) = 3 - 2 = 1\)
\(B(5\,;\,1)\)
b) Coordonnées de \(A\) avec \(B(5\,;\,1)\) et \(\overrightarrow{AB}\binom{3}{-4}\)

Ici on cherche le départ : \(x_B = x_A + 3 \Rightarrow x_A = x_B - 3 = 5 - 3 = 2\)

Abscisse\(x_A = 5 - 3 = 2\)
Ordonnée\(y_A = 1 - (-4) = 1 + 4 = 5\)
\(A(2\,;\,5)\)

Vérification : \(\overrightarrow{AB}\binom{5-2}{1-5} = \binom{3}{-4}\) ✓

c) Coordonnées de \(N\) avec \(M(-2\,;\,4)\) et \(\overrightarrow{MN}\binom{-3}{5}\)
Abscisse\(x_N = -2 + (-3) = -5\)
Ordonnée\(y_N = 4 + 5 = 9\)
\(N(-5\,;\,9)\)
d) Point \(R\) et vecteur \(\overrightarrow{QR}\)
Coordonnées R\(x_R = 0 + 1 = 1\,,\quad y_R = -1 + 0 = -1\) → \(R(1\,;\,-1)\)
Vecteur QR\(\overrightarrow{QR}\binom{1-3}{-1-2} =\) \(\binom{-2}{-3}\)

Exercice 4 / 6

Égalité de vecteurs Via les coordonnées
✓ Vu

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.

1) On donne \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,5)\), \(C(-1\,;\,0)\), \(D(2\,;\,3)\). Vérifier que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) par le calcul.
2) On donne \(P(3\,;\,-1)\), \(Q(-2\,;\,4)\), \(R(0\,;\,2)\), \(S(k\,;\,7)\). Déterminer la valeur de \(k\) telle que \(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RS}\).
3) Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\binom{3}{-1}\) et \(\overrightarrow{CD}\binom{-3}{1}\) sont-ils égaux ? Que peut-on dire de leur relation ?

💡 Indices

Pour que \(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RS}\), les deux vecteurs doivent avoir la même première coordonnée ET la même seconde. Calculer d'abord \(\overrightarrow{PQ}\), puis écrire l'équation sur la première coordonnée de \(\overrightarrow{RS}\) pour trouver \(k\).
Les coordonnées de \(\overrightarrow{CD}\) sont \((-3\,;\,1)\), l'opposé de \((3\,;\,-1)\). Que se passe-t-il si on multiplie toutes les coordonnées par \(-1\) ?
1) Vérification \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\)
Vecteur AB\(\overrightarrow{AB}\binom{4-1}{5-2} = \binom{3}{3}\)
Vecteur CD\(\overrightarrow{CD}\binom{2-(-1)}{3-0} = \binom{3}{3}\)

Les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\). ✓

2) Valeur de \(k\)
Vecteur PQ\(\overrightarrow{PQ}\binom{-2-3}{4-(-1)} = \binom{-5}{5}\)
Vecteur RS\(\overrightarrow{RS}\binom{k-0}{7-2} = \binom{k}{5}\)
Égalité\(k = -5\)
Pour \(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RS}\), il faut \(k = -5\).
3) \(\overrightarrow{AB}\binom{3}{-1}\) et \(\overrightarrow{CD}\binom{-3}{1}\)

Non, ils ne sont pas égaux (\(3 \neq -3\)). Mais on remarque que \(\binom{-3}{1} = -1 \times \binom{3}{-1}\), donc \(\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}\) : ce sont des vecteurs opposés.

Exercice 5 / 6

Distance entre points Norme & géométrie
✓ Vu

On se place dans un repère orthonormé (unité : 1 cm). On donne les points \(A(1\,;\,4)\), \(B(5\,;\,1)\), \(C(5\,;\,4)\).

1) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
2) Calculer les distances \(AB\), \(AC\) et \(BC\).
3) Vérifier que le triangle \(ABC\) est rectangle. En quel sommet ?
4) Calculer le périmètre du triangle \(ABC\).

💡 Indices

Un triangle est rectangle si et seulement si le carré de la plus grande côté est égal à la somme des carrés des deux autres (Pythagore). Identifier d'abord la plus grande des trois distances.
1) Coordonnées des vecteurs
AB\(\overrightarrow{AB}\binom{5-1}{1-4} = \binom{4}{-3}\)
AC\(\overrightarrow{AC}\binom{5-1}{4-4} = \binom{4}{0}\)
BC\(\overrightarrow{BC}\binom{5-5}{4-1} = \binom{0}{3}\)
2) Distances
AB\(\sqrt{4^2+(-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} =\) 5 cm
AC\(\sqrt{4^2+0^2} = \sqrt{16} =\) 4 cm
BC\(\sqrt{0^2+3^2} = \sqrt{9} =\) 3 cm
3) Triangle rectangle

La plus grande distance est \(AB = 5\). Vérifions si \(AB^2 = AC^2 + BC^2\) :

AB²\(25\)
AC² + BC²\(16 + 9 = 25\) ✓
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\) (l'angle droit est au sommet opposé à l'hypoténuse \(AB\)).
4) Périmètre

\(\mathcal{P} = AB + AC + BC = 5 + 4 + 3 =\) 12 cm.

Exercice 6 / 6

Synthèse Plus difficile Raisonnement
✓ Vu

Un drone décolle du point \(D(0\,;\,0)\) et effectue successivement trois déplacements représentés par les vecteurs :

1er déplacement \(\vec{u}\)
\(\vec{u}\binom{3}{4}\)
2e déplacement \(\vec{v}\)
\(\vec{v}\binom{-1}{2}\)
3e déplacement \(\vec{w}\)
\(\vec{w}\binom{2}{-3}\)
1) Calculer les coordonnées du point d'arrivée \(A\) après les trois déplacements.
2) Calculer la longueur de chaque déplacement \(\|\vec{u}\|\), \(\|\vec{v}\|\) et \(\|\vec{w}\|\). (Valeurs exactes.)
3) Quelle est la distance en ligne droite \(DA\) entre le point de départ et le point d'arrivée ?
4) (Défi) La distance totale parcourue est-elle égale à la distance en ligne droite \(DA\) ? Pourquoi ?

💡 Indices

Partir de \(D(0\,;\,0)\) et appliquer successivement les trois déplacements : additionner les trois vecteurs composante par composante pour obtenir le déplacement total, puis ajouter à \(D\).
L'inégalité triangulaire dit que le chemin le plus court entre deux points est la ligne droite. Comparer la somme des normes à la norme de la somme.
1) Coordonnées de \(A\)
Dépl. total\(\binom{3+(-1)+2}{4+2+(-3)} = \binom{4}{3}\)
Point A\(x_A = 0+4 = 4\,,\quad y_A = 0+3 = 3\)
\(A(4\,;\,3)\)
2) Longueurs des déplacements
\(\|\vec{u}\|\)\(\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} =\) 5
\(\|\vec{v}\|\)\(\sqrt{(-1)^2+2^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\)
\(\|\vec{w}\|\)\(\sqrt{2^2+(-3)^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\)
3) Distance en ligne droite \(DA\)
Vecteur DA\(\overrightarrow{DA}\binom{4}{3}\)
Distance\(DA = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} =\) 5
4) Distance totale vs ligne droite

Distance totale parcourue : \(5 + \sqrt{5} + \sqrt{13} \approx 5 + 2{,}24 + 3{,}61 = 10{,}85\)

Distance en ligne droite : \(DA = 5\)

Ces deux valeurs sont différentes : \(10{,}85 > 5\). C'est toujours le cas — le chemin direct est toujours inférieur ou égal à la somme des longueurs des chemins intermédiaires (inégalité triangulaire). L'égalité n'aurait lieu que si les trois déplacements étaient dans la même direction et le même sens.

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