Vecteurs —
Égalité & parallélogrammes

Chapitre 8 — Feuille d'exercices n°3 — 2nde

Vecteurs égaux Parallélogramme 4e sommet

📌 L'essentiel à retenir

① Vecteurs égaux ↔ mêmes coordonnées
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) ont les mêmes coordonnées, c'est-à-dire \(x_B - x_A = x_C - x_D\) et \(y_B - y_A = y_C - y_D\).
② Parallélogramme
\(ABCD\) est un parallélogramme \(\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). Attention à l'ordre des lettres : c'est \(\overrightarrow{DC}\) (et non \(\overrightarrow{CD}\)) qui est égal à \(\overrightarrow{AB}\).
③ Trouver le 4e sommet
Si \(A\), \(B\), \(C\) sont connus et \(ABCD\) est un parallélogramme, on pose \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) et on résout : \(x_D = x_A + x_C - x_B\), \(y_D = y_A + y_C - y_B\).
Corrections vues :
0 / 6

Exercice 1 / 6

Vecteurs égaux Par le calcul
✓ Vu

Pour chaque cas, calculer les coordonnées des deux vecteurs et dire s'ils sont égaux.

a) \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,5)\), \(C(0\,;\,1)\), \(D(3\,;\,4)\). Comparer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\).
b) \(P(-1\,;\,3)\), \(Q(2\,;\,1)\), \(R(0\,;\,-2)\), \(S(3\,;\,0)\). Comparer \(\overrightarrow{PQ}\) et \(\overrightarrow{RS}\).
c) \(E(2\,;\,-1)\), \(F(-1\,;\,3)\), \(G(5\,;\,0)\), \(H(2\,;\,4)\). Comparer \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{GH}\).

💡 Indices

Calculer les coordonnées de chaque vecteur avec la formule arrivée − départ. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs deux coordonnées sont égales (la première avec la première, la seconde avec la seconde).
a)
AB\(\overrightarrow{AB}\binom{4-1}{5-2} = \binom{3}{3}\)
CD\(\overrightarrow{CD}\binom{3-0}{4-1} = \binom{3}{3}\)

Mêmes coordonnées : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\).

b)
PQ\(\overrightarrow{PQ}\binom{2-(-1)}{1-3} = \binom{3}{-2}\)
RS\(\overrightarrow{RS}\binom{3-0}{0-(-2)} = \binom{3}{2}\)

Les premières coordonnées sont égales (3 = 3) mais les secondes diffèrent (−2 ≠ 2). \(\overrightarrow{PQ} \neq \overrightarrow{RS}\).

c)
EF\(\overrightarrow{EF}\binom{-1-2}{3-(-1)} = \binom{-3}{4}\)
GH\(\overrightarrow{GH}\binom{2-5}{4-0} = \binom{-3}{4}\)

Mêmes coordonnées : \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{GH}\).

⚠ Rappel : il faut que les deux coordonnées soient simultanément égales. Une seule suffit à conclure à la différence si elle ne correspond pas.

Exercice 2 / 6

Parallélogramme Preuve par les vecteurs
✓ Vu

Montrer que chaque quadrilatère est un parallélogramme en utilisant les vecteurs.

a) \(A(-1\,;\,0)\), \(B(3\,;\,1)\), \(C(4\,;\,4)\), \(D(0\,;\,3)\).
b) \(K(-2\,;\,1)\), \(L(2\,;\,2)\), \(M(3\,;\,5)\), \(N(-1\,;\,4)\).
c) \(P(0\,;\,0)\), \(Q(5\,;\,1)\), \(R(6\,;\,4)\), \(S(1\,;\,3)\).

💡 Indices

Pour \(ABCD\) parallélogramme, il faut montrer \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). Attention : c'est \(\overrightarrow{DC}\) (de D vers C), pas \(\overrightarrow{CD}\). Calculer les coordonnées des deux vecteurs et comparer.
a) ABCD
AB\(\overrightarrow{AB}\binom{3-(-1)}{1-0} = \binom{4}{1}\)
DC\(\overrightarrow{DC}\binom{4-0}{4-3} = \binom{4}{1}\)
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), donc \(ABCD\) est un parallélogramme.
b) KLMN
KL\(\overrightarrow{KL}\binom{2-(-2)}{2-1} = \binom{4}{1}\)
NM\(\overrightarrow{NM}\binom{3-(-1)}{5-4} = \binom{4}{1}\)
\(\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{NM}\), donc \(KLMN\) est un parallélogramme.
c) PQRS
PQ\(\overrightarrow{PQ}\binom{5-0}{1-0} = \binom{5}{1}\)
SR\(\overrightarrow{SR}\binom{6-1}{4-3} = \binom{5}{1}\)
\(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{SR}\), donc \(PQRS\) est un parallélogramme.
Méthode : calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) (premier côté + côté opposé parcouru dans le même sens). Si les coordonnées sont égales, c'est un parallélogramme.

Exercice 3 / 6

Piège classique Ordre des lettres
✓ Vu

On donne \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,1)\), \(C(5\,;\,4)\), \(D(1\,;\,3)\).

1) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{CD}\).
2) Parmi les égalités suivantes, laquelle est vraie ? Justifier.
(i) \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)    (ii) \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\)
3) Que peut-on conclure sur le quadrilatère \(ABCD\) ?
4) Écrire une deuxième égalité de vecteurs qui prouve aussi que \(ABCD\) est un parallélogramme (avec les deux autres côtés).

💡 Indices

\(\overrightarrow{DC}\) va de \(D\) vers \(C\) ; \(\overrightarrow{CD}\) va de \(C\) vers \(D\). Ce sont deux vecteurs opposés : si l'un vaut \(\binom{a}{b}\), l'autre vaut \(\binom{-a}{-b}\).
Les deux autres côtés du parallélogramme sont \([AD]\) et \([BC]\). Quelle égalité de vecteurs traduit leur parallélisme et leur égalité de longueur ? Penser à \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
1) Coordonnées
AB\(\overrightarrow{AB}\binom{4-0}{1-0} = \binom{4}{1}\)
DC\(\overrightarrow{DC}\binom{5-1}{4-3} = \binom{4}{1}\)
CD\(\overrightarrow{CD}\binom{1-5}{3-4} = \binom{-4}{-1}\)
2) Quelle égalité est vraie ?

(i) \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) : \(\binom{4}{1} = \binom{4}{1}\) → Vrai ✓

(ii) \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) : \(\binom{4}{1} \neq \binom{-4}{-1}\) → Faux ✗

\(\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{AB}\) : c'est l'opposé, pas l'égal.

3) Conclusion
Puisque \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme.
4) Deuxième égalité
AD\(\overrightarrow{AD}\binom{1-0}{3-0} = \binom{1}{3}\)
BC\(\overrightarrow{BC}\binom{5-4}{4-1} = \binom{1}{3}\)

\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) : cela prouve aussi que \(ABCD\) est un parallélogramme (côtés \([AD]\) et \([BC]\) parallèles et de même longueur).

Exercice 4 / 6

4e sommet Résolution
✓ Vu

Dans chaque cas, déterminer les coordonnées du point manquant pour que le quadrilatère soit un parallélogramme.

a) \(E(2\,;\,-1)\), \(F(5\,;\,-1)\), \(G(6\,;\,2)\). Trouver \(H\) tel que \(EFGH\) soit un parallélogramme.
b) \(A(1\,;\,4)\), \(B(5\,;\,2)\), \(D(-1\,;\,1)\). Trouver \(C\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
c) \(P(-3\,;\,0)\), \(R(1\,;\,4)\). Le point \(Q\) est tel que \(PQRS\) est un parallélogramme avec \(S(0\,;\,2)\). Trouver \(Q\).

💡 Indices

Pour \(EFGH\) parallélogramme, écrire \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}\). Calculer \(\overrightarrow{EF}\), puis écrire les coordonnées de \(\overrightarrow{HG}\) en fonction de \(H(x_H\,;\,y_H)\) inconnu. Identifier coordonnée par coordonnée.
Pour \(ABCD\), la condition est \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). On connaît \(A\), \(B\), \(D\) et on cherche \(C\). Écrire \(\overrightarrow{DC}\binom{x_C - x_D}{y_C - y_D}\) et l'égaler à \(\overrightarrow{AB}\).
a) Point H tel que EFGH parallélogramme

Condition : \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}\).

EF\(\overrightarrow{EF}\binom{5-2}{-1-(-1)} = \binom{3}{0}\)
HG inconnu\(\overrightarrow{HG}\binom{6-x_H}{2-y_H}\)
Identification\(6 - x_H = 3 \Rightarrow x_H = 3\)  ;  \(2 - y_H = 0 \Rightarrow y_H = 2\)
\(H(3\,;\,2)\)
b) Point C tel que ABCD parallélogramme

Condition : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

AB\(\overrightarrow{AB}\binom{5-1}{2-4} = \binom{4}{-2}\)
DC inconnu\(\overrightarrow{DC}\binom{x_C-(-1)}{y_C-1} = \binom{x_C+1}{y_C-1}\)
Identification\(x_C + 1 = 4 \Rightarrow x_C = 3\)  ;  \(y_C - 1 = -2 \Rightarrow y_C = -1\)
\(C(3\,;\,-1)\)
c) Point Q tel que PQRS parallélogramme

Condition : \(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{SR}\).

SR\(\overrightarrow{SR}\binom{1-0}{4-2} = \binom{1}{2}\)
PQ inconnu\(\overrightarrow{PQ}\binom{x_Q-(-3)}{y_Q-0} = \binom{x_Q+3}{y_Q}\)
Identification\(x_Q + 3 = 1 \Rightarrow x_Q = -2\)  ;  \(y_Q = 2\)
\(Q(-2\,;\,2)\)

Exercice 5 / 6

Vrai ou faux Raisonnement
✓ Vu

Pour chaque quadrilatère, déterminer par le calcul s'il est un parallélogramme. Justifier clairement.

a) \(A(0\,;\,1)\), \(B(3\,;\,0)\), \(C(4\,;\,3)\), \(D(1\,;\,4)\).
b) \(P(1\,;\,1)\), \(Q(4\,;\,2)\), \(R(5\,;\,5)\), \(S(1\,;\,4)\).
c) \(W(0\,;\,0)\), \(X(3\,;\,1)\), \(Y(4\,;\,4)\), \(Z(2\,;\,3)\).

💡 Indices

Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\). Si les coordonnées sont égales → parallélogramme. Si elles diffèrent → pas un parallélogramme. Conclure à chaque fois.
a) ABCD
AB\(\overrightarrow{AB}\binom{3}{-1}\)
DC\(\overrightarrow{DC}\binom{4-1}{3-4} = \binom{3}{-1}\)
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) → ABCD est un parallélogramme.
b) PQRS
PQ\(\overrightarrow{PQ}\binom{3}{1}\)
SR\(\overrightarrow{SR}\binom{5-1}{5-4} = \binom{4}{1}\)

\(\binom{3}{1} \neq \binom{4}{1}\) : les premières coordonnées diffèrent.

PQRS n'est pas un parallélogramme.
c) WXYZ
WX\(\overrightarrow{WX}\binom{3}{1}\)
ZY\(\overrightarrow{ZY}\binom{4-2}{4-3} = \binom{2}{1}\)

\(\binom{3}{1} \neq \binom{2}{1}\) : premières coordonnées différentes.

WXYZ n'est pas un parallélogramme.

Exercice 6 / 6

Synthèse Mélange des notions
✓ Vu

On donne \(A(-2\,;\,1)\), \(B(2\,;\,3)\), \(C(5\,;\,2)\).

1) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
2) Trouver le point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
3) Vérifier que \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) pour valider le résultat.
4) Le quadrilatère \(ABDC\) (attention à l'ordre) est-il aussi un parallélogramme ? Justifier par le calcul.

💡 Indices

Pour \(ABCD\) parallélogramme, la condition est \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). Écrire \(\overrightarrow{DC}\) en fonction de \(D(x_D\,;\,y_D)\) inconnu, puis identifier coordonnée par coordonnée avec \(\overrightarrow{AB}\).
Pour \(ABDC\) parallélogramme, il faudrait \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\). Calculer \(\overrightarrow{CD}\) et comparer à \(\overrightarrow{AB}\).
1) Coordonnées de AB et AC
AB\(\overrightarrow{AB}\binom{2-(-2)}{3-1} = \binom{4}{2}\)
AC\(\overrightarrow{AC}\binom{5-(-2)}{2-1} = \binom{7}{1}\)
2) Point D tel que ABCD parallélogramme

Condition : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

DC inconnu\(\binom{5-x_D}{2-y_D} = \binom{4}{2}\)
Résolution\(x_D = 5-4 = 1\)  ;  \(y_D = 2-2 = 0\)
\(D(1\,;\,0)\)
3) Vérification avec AD et BC
AD\(\overrightarrow{AD}\binom{1-(-2)}{0-1} = \binom{3}{-1}\)
BC\(\overrightarrow{BC}\binom{5-2}{2-3} = \binom{3}{-1}\)

\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) ✓ — les deux autres côtés sont aussi égaux, ce qui confirme que \(ABCD\) est bien un parallélogramme.

4) ABDC est-il un parallélogramme ?

Pour \(ABDC\) parallélogramme, il faudrait \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) avec le nouvel ordre… mais ici \(\overrightarrow{DC}\) dans \(ABDC\) correspond au côté de \(D\) vers \(C\) :

AB\(\binom{4}{2}\)
CD dans ABDC\(\overrightarrow{CD}\binom{1-5}{0-2} = \binom{-4}{-2}\)

\(\binom{4}{2} eq \binom{-4}{-2}\) : \(ABDC\) n'est pas un parallélogramme. L'ordre des sommets change tout — \(\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}\), c'est l'opposé.

À retenir : changer l'ordre des sommets change le quadrilatère. \(ABCD\) et \(ABDC\) désignent deux quadrilatères différents.

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