Vecteurs —
Colinéarité

Chapitre 8 — Feuille d'exercices n°5 — 2nde

Chercher k Déterminant Alignement

📌 L'essentiel à retenir

① Colinéarité — définition
\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{v} = k\,\vec{u}\), ou si l'un des deux est \(\vec{0}\). Géométriquement : même direction (parallèles ou confondus), sens éventuellement opposé.
② Critère du déterminant
Si \(\vec{u}\binom{x}{y}\) et \(\vec{v}\binom{x'}{y'}\), alors : \[\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colinéaires} \iff xy' - yx' = 0\] Un seul calcul — plus besoin de deviner \(k\) !
③ Alignement de 3 points
\(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires. On calcule le déterminant de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) : s'il vaut \(0\), les points sont alignés.
Corrections vues :
0 / 6

Exercice 1 / 6

Chercher k Colinéarité directe
✓ Vu

Dans chaque cas, déterminer si les deux vecteurs sont colinéaires en cherchant un réel \(k\) tel que \(\vec{v} = k\,\vec{u}\). Conclure.

a)
\(\vec{u}\binom{2}{3}\) et \(\vec{v}\binom{6}{9}\)
b)
\(\vec{u}\binom{1}{-2}\) et \(\vec{v}\binom{-3}{6}\)
c)
\(\vec{u}\binom{4}{2}\) et \(\vec{v}\binom{6}{3}\)
d)
\(\vec{u}\binom{3}{1}\) et \(\vec{v}\binom{6}{3}\)

💡 Indices

Chercher \(k\) tel que \(\vec{v} = k\,\vec{u}\) signifie que les deux coordonnées sont multipliées par le même \(k\). Vérifier d'abord la première coordonnée (\(x' = k \cdot x\)), trouver \(k\) si possible, puis vérifier que ce même \(k\) convient pour la deuxième coordonnée.
En d) : pour la première coordonnée, \(6 = k \cdot 3\) donne \(k = 2\). Vérifier si \(3 = 2 \times 1\)…
a) \(\vec{u}\binom{2}{3}\) et \(\vec{v}\binom{6}{9}\)
Chercher k\(6 = k \times 2 \Rightarrow k = 3\)
Vérifier\(9 = 3 \times 3\) ✓
\(\vec{v} = 3\,\vec{u}\) : les vecteurs sont colinéaires.
b) \(\vec{u}\binom{1}{-2}\) et \(\vec{v}\binom{-3}{6}\)
Chercher k\(-3 = k \times 1 \Rightarrow k = -3\)
Vérifier\(6 = -3 \times (-2)\) ✓
\(\vec{v} = -3\,\vec{u}\) : les vecteurs sont colinéaires (sens opposé car \(k < 0\)).
c) \(\vec{u}\binom{4}{2}\) et \(\vec{v}\binom{6}{3}\)
Chercher k\(6 = k \times 4 \Rightarrow k = \frac{3}{2}\)
Vérifier\(3 = \frac{3}{2} \times 2\) ✓
\(\vec{v} = \frac{3}{2}\,\vec{u}\) : les vecteurs sont colinéaires.
d) \(\vec{u}\binom{3}{1}\) et \(\vec{v}\binom{6}{3}\)
Chercher k\(6 = k \times 3 \Rightarrow k = 2\)
Vérifier\(3 = 2 \times 1\) ? Non : \(2 \neq 3\) ✗
Pas de \(k\) unique : les vecteurs ne sont pas colinéaires.
⚠ Rappel : le même \(k\) doit fonctionner sur les deux coordonnées simultanément. Un \(k\) qui marche seulement sur l'une ne suffit pas.

Exercice 2 / 6

Déterminant Application directe
✓ Vu

Utiliser le critère \(xy' - yx' = 0\) pour tester la colinéarité de chaque paire de vecteurs.

a)
\(\vec{u}\binom{3}{4}\) et \(\vec{v}\binom{6}{8}\)
b)
\(\vec{u}\binom{5}{2}\) et \(\vec{v}\binom{10}{5}\)
c)
\(\vec{u}\binom{-2}{3}\) et \(\vec{v}\binom{4}{-6}\)
d)
\(\vec{u}\binom{3}{-5}\) et \(\vec{v}\binom{-6}{10}\)

💡 Indices

Pour \(\vec{u}\binom{x}{y}\) et \(\vec{v}\binom{x'}{y'}\), calculer \(x \times y' - y \times x'\). Si le résultat est \(0\) → colinéaires. Sinon → non colinéaires. Identifier bien \(x, y, x', y'\) avant de calculer.
a) \(\vec{u}\binom{3}{4}\) et \(\vec{v}\binom{6}{8}\)
Déterminant\(3 \times 8 - 4 \times 6 = 24 - 24 = 0\)
Déterminant nul → vecteurs colinéaires. (\(\vec{v} = 2\,\vec{u}\))
b) \(\vec{u}\binom{5}{2}\) et \(\vec{v}\binom{10}{5}\)
Déterminant\(5 \times 5 - 2 \times 10 = 25 - 20 = 5\)
Déterminant \(\neq 0\) → vecteurs non colinéaires.
c) \(\vec{u}\binom{-2}{3}\) et \(\vec{v}\binom{4}{-6}\)
Déterminant\((-2) \times (-6) - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0\)
Déterminant nul → vecteurs colinéaires. (\(\vec{v} = -2\,\vec{u}\), sens opposé)
d) \(\vec{u}\binom{3}{-5}\) et \(\vec{v}\binom{-6}{10}\)
Déterminant\(3 \times 10 - (-5) \times (-6) = 30 - 30 = 0\)
Déterminant nul → vecteurs colinéaires. (\(\vec{v} = -2\,\vec{u}\))

Exercice 3 / 6

Alignement Trois points
✓ Vu

Déterminer si les trois points sont alignés en utilisant le déterminant de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

a) \(A(1\,;\,2)\), \(B(3\,;\,5)\), \(C(5\,;\,8)\)
b) \(A(0\,;\,1)\), \(B(2\,;\,4)\), \(C(4\,;\,8)\)
c) \(A(-1\,;\,3)\), \(B(1\,;\,1)\), \(C(4\,;\,-2)\)

💡 Indices

Calculer d'abord les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) (formule arrivée − départ). Ensuite calculer le déterminant \(xy' - yx'\) avec \((x, y)\) = coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \((x', y')\) = coordonnées de \(\overrightarrow{AC}\).
a) \(A(1\,;\,2)\), \(B(3\,;\,5)\), \(C(5\,;\,8)\)
AB\(\overrightarrow{AB}\binom{2}{3}\)
AC\(\overrightarrow{AC}\binom{4}{6}\)
Déterminant\(2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0\)
\(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.
b) \(A(0\,;\,1)\), \(B(2\,;\,4)\), \(C(4\,;\,8)\)
AB\(\overrightarrow{AB}\binom{2}{3}\)
AC\(\overrightarrow{AC}\binom{4}{7}\)
Déterminant\(2 \times 7 - 3 \times 4 = 14 - 12 = 2\)
\(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés.
c) \(A(-1\,;\,3)\), \(B(1\,;\,1)\), \(C(4\,;\,-2)\)
AB\(\overrightarrow{AB}\binom{2}{-2}\)
AC\(\overrightarrow{AC}\binom{5}{-5}\)
Déterminant\(2 \times (-5) - (-2) \times 5 = -10 + 10 = 0\)
\(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.

Exercice 4 / 6

Trouver k Alignement conditionnel
✓ Vu

Dans chaque cas, déterminer la valeur du réel \(k\) pour que les points soient alignés.

a) \(A(0\,;\,0)\), \(B(2\,;\,3)\), \(C(k\,;\,6)\). Trouver \(k\) tel que \(A\), \(B\), \(C\) soient alignés.
b) \(P(1\,;\,2)\), \(Q(3\,;\,k)\), \(R(5\,;\,8)\). Trouver \(k\) tel que \(P\), \(Q\), \(R\) soient alignés.
c) \(\vec{u}\binom{k}{3}\) et \(\vec{v}\binom{4}{6}\) colinéaires. Trouver \(k\).

💡 Indices

Calculer le déterminant de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) en laissant \(k\) comme inconnue. Poser que ce déterminant vaut 0, puis résoudre l'équation en \(k\).
a)
AB\(\overrightarrow{AB}\binom{2}{3}\)
AC\(\overrightarrow{AC}\binom{k}{6}\)
Déterminant\(2 \times 6 - 3 \times k = 12 - 3k = 0\)
Résolution\(3k = 12 \Rightarrow\) \(k = 4\)
b)
PQ\(\overrightarrow{PQ}\binom{2}{k-2}\)
PR\(\overrightarrow{PR}\binom{4}{6}\)
Déterminant\(2 \times 6 - (k-2) \times 4 = 12 - 4k + 8 = 20 - 4k = 0\)
Résolution\(4k = 20 \Rightarrow\) \(k = 5\)
c)
Déterminant\(k \times 6 - 3 \times 4 = 6k - 12 = 0\)
Résolution\(6k = 12 \Rightarrow\) \(k = 2\)
Méthode : écrire le déterminant en fonction de \(k\), l'égaler à 0, résoudre. C'est une équation du premier degré en \(k\).

Exercice 5 / 6

Deux méthodes Comparaison
✓ Vu

On donne \(A(2\,;\,1)\), \(B(5\,;\,4)\), \(C(8\,;\,7)\), \(D(3\,;\,-1)\).

1) Montrer que \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés en cherchant \(k\) tel que \(\overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AB}\).
2) Vérifier ce résultat en utilisant le déterminant.
3) Les points \(A\), \(B\), \(D\) sont-ils alignés ? Utiliser la méthode de ton choix.

💡 Indices

Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis écrire \(\overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AB}\) coordonnée par coordonnée : \(x_{AC} = k \cdot x_{AB}\) et \(y_{AC} = k \cdot y_{AB}\). Trouver \(k\) et vérifier qu'il convient sur les deux.
1) Méthode par k
AB\(\overrightarrow{AB}\binom{3}{3}\)
AC\(\overrightarrow{AC}\binom{6}{6}\)
Chercher k\(6 = k \times 3 \Rightarrow k = 2\)
Vérifier\(6 = 2 \times 3\) ✓
\(\overrightarrow{AC} = 2\,\overrightarrow{AB}\) : \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.
2) Vérification par le déterminant
Déterminant\(3 \times 6 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0\) ✓

Le déterminant est nul : cela confirme que \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.

3) Points A, B, D
AB\(\overrightarrow{AB}\binom{3}{3}\)
AD\(\overrightarrow{AD}\binom{1}{-2}\)
Déterminant\(3 \times (-2) - 3 \times 1 = -6 - 3 = -9 \neq 0\)
\(A\), \(B\), \(D\) ne sont pas alignés.

Exercice 6 / 6

Synthèse Raisonnement
✓ Vu

On donne les points \(A(1\,;\,-1)\), \(B(3\,;\,3)\), \(C(5\,;\,7)\), \(D(2\,;\,1)\), \(E(4\,;\,5)\).

1) Montrer que \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.
2) Montrer que \(D\) et \(E\) sont aussi sur cette même droite.

💡 Indices

Pour montrer que \(D\) est sur la droite \((AC)\), montrer que \(\overrightarrow{AD}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{AB}\) (déterminant nul). Même chose pour \(E\).
Pour que \(F(7\,;\,k)\) soit sur la droite, \(\overrightarrow{AF}\) doit être colinéaire à \(\overrightarrow{AB}\). Écrire le déterminant en fonction de \(k\), le poser égal à 0 et résoudre.
1) A, B, C alignés
AB\(\overrightarrow{AB}\binom{2}{4}\)
AC\(\overrightarrow{AC}\binom{4}{8}\)
Déterminant\(2 \times 8 - 4 \times 4 = 16 - 16 = 0\) ✓
\(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.
2) D et E sur la même droite
AD\(\overrightarrow{AD}\binom{1}{2}\)
Dét. AB, AD\(2 \times 2 - 4 \times 1 = 4 - 4 = 0\) ✓ → \(D\) aligné avec \(A\) et \(B\)
AE\(\overrightarrow{AE}\binom{3}{6}\)
Dét. AB, AE\(2 \times 6 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0\) ✓ → \(E\) aligné avec \(A\) et \(B\)
\(D\) et \(E\) sont bien sur la droite \((AC)\).

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