Vecteurs — Feuille bilan — 2nde

📍 Coordonnées · Norme

Problème 1 — Randonnée

✓ Vu

Un randonneur part du refuge \(R(0\,;\,0)\) et rejoint trois points de passage dans l'ordre : \(A(3\,;\,4)\), \(B(7\,;\,1)\), puis \(C(10\,;\,5)\). Les coordonnées sont en kilomètres.

1) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{RA}\), \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\).

2) Calculer la longueur de chaque étape \(RA\), \(AB\) et \(BC\). (Valeurs exactes, puis approximations au dixième.)

3) Quelle est la distance totale parcourue ? Arrondir au dixième de km.

4) Quelle est la distance à vol d'oiseau entre \(R\) et \(C\) ? La comparer à la distance totale parcourue.

💡 Indices

La distance à vol d'oiseau entre \(R\) et \(C\) est la norme du vecteur \(\overrightarrow{RC}\). Calculer \(\overrightarrow{RC}\) directement depuis les coordonnées de \(R\) et \(C\), ou utiliser Chasles : \(\overrightarrow{RC} = \overrightarrow{RA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\).

1) Coordonnées des vecteurs

RA\(\overrightarrow{RA}\binom{3-0}{4-0} = \binom{3}{4}\)

AB\(\overrightarrow{AB}\binom{7-3}{1-4} = \binom{4}{-3}\)

BC\(\overrightarrow{BC}\binom{10-7}{5-1} = \binom{3}{4}\)

2) Longueurs des étapes

RA\(\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5\) km

AB\(\sqrt{4^2+(-3)^2} = \sqrt{25} = 5\) km

BC\(\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5\) km

Les trois étapes font exactement la même longueur — coïncidence du 3-4-5 !

3) Distance totale

\(5 + 5 + 5 = 15\) km

4) Distance à vol d'oiseau \(RC\)

RC\(\overrightarrow{RC}\binom{10}{5}\)

Norme\(\sqrt{10^2+5^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \approx 11{,}2\) km

La distance à vol d'oiseau (\(11{,}2\) km) est bien inférieure à la distance parcourue (\(15\) km) : le chemin fait des détours.

▱ Parallélogramme · Vecteurs égaux

Problème 2 — Quadrilatère mystère

✓ Vu

On donne les points \(A(1\,;\,1)\), \(B(5\,;\,2)\), \(C(7\,;\,6)\), \(D(3\,;\,5)\).

1) Montrer que \(ABCD\) est un parallélogramme.

2) Calculer les coordonnées du centre \(O\) du parallélogramme (intersection des diagonales). Rappel : le centre est le milieu de chaque diagonale.

3) Vérifier que \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}\).

💡 Indices

Le centre \(O\) est le milieu de \([AC]\) et aussi le milieu de \([BD]\). Utiliser la formule du milieu : \(x_O = \frac{x_A + x_C}{2}\), \(y_O = \frac{y_A + y_C}{2}\).

Calculer chacun des quatre vecteurs \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\), \(\overrightarrow{OD}\) puis additionner leurs coordonnées. Penser à utiliser Chasles : \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}\) car \(O\) est le milieu de \([AC]\).

1) ABCD parallélogramme

AB\(\overrightarrow{AB}\binom{4}{1}\)

DC\(\overrightarrow{DC}\binom{7-3}{6-5} = \binom{4}{1}\)

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) → \(ABCD\) est un parallélogramme.

2) Centre O

Milieu AC\(x_O = \frac{1+7}{2} = 4\,,\quad y_O = \frac{1+6}{2} = 3{,}5\)

Vérif. BD\(\frac{5+3}{2} = 4\,,\quad \frac{2+5}{2} = 3{,}5\) ✓

\(O(4\,;\,3{,}5)\)

3) Somme des vecteurs depuis O

Puisque \(O\) est le milieu de \([AC]\), on a \(\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA}\), donc \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}\).

Puisque \(O\) est le milieu de \([BD]\), on a \(\overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OB}\), donc \(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}\).

\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) + (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}\) ✓

Propriété générale : dans tout parallélogramme, la somme des vecteurs issus du centre vers les quatre sommets est nulle.

∑ Chasles · Opérations

Problème 3 — Simplifications

✓ Vu

On donne \(A(2\,;\,1)\), \(B(5\,;\,4)\), \(C(1\,;\,6)\), \(D(-1\,;\,2)\).

1) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\) de deux façons : par Chasles, puis en calculant les coordonnées.

2) Simplifier \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\).

3) Montrer que \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}\) sans calculer les coordonnées.

💡 Indices

Transformer \(-\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DA}\), puis repérer les lettres qui se touchent dans \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}\). Réordonner si besoin.

1) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\)

Par Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).

Par coordonnées\(\overrightarrow{AB}\binom{3}{3}\,,\quad \overrightarrow{BC}\binom{-4}{2}\)

Somme\(\binom{3+(-4)}{3+2} = \binom{-1}{5}\)

Vérif. AC\(\overrightarrow{AC}\binom{1-2}{6-1} = \binom{-1}{5}\) ✓

2) \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\)

Les lettres se touchent en chaîne : \(D \to A \to B \to C\). Par Chasles :

\(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DC}\)

3) Circuit fermé

La somme \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}\) est un circuit fermé : on part de \(A\) et on revient à \(A\) après avoir enchaîné tous les côtés. Par Chasles, toutes les lettres intermédiaires se simplifient et il reste \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\). Ce résultat est vrai pour tout quadrilatère \(ABCD\), quelles que soient les coordonnées.

∥ Colinéarité · Alignement

Problème 4 — Trois villes sur une route

✓ Vu

Sur une carte, trois villes sont repérées par leurs coordonnées (en km) : \(P(0\,;\,0)\), \(Q(6\,;\,4)\), \(R(9\,;\,6)\).

1) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{PQ}\) et \(\overrightarrow{PR}\).

2) Les trois villes sont-elles sur la même route (alignées) ? Justifier par le déterminant.

3) Une quatrième ville \(S(k\,;\,2)\) est aussi sur cette route. Trouver \(k\).

4) Si une autre ville \(T(3\,;\,3)\) s'ajoute à la carte, est-elle sur la même route ? Justifier.

💡 Indices

Pour que \(S\) soit sur la droite \((PQ)\), le vecteur \(\overrightarrow{PS}\) doit être colinéaire à \(\overrightarrow{PQ}\). Écrire le déterminant de \(\overrightarrow{PQ}\) et \(\overrightarrow{PS}\) en fonction de \(k\), l'égaler à 0 et résoudre.

1) Vecteurs

PQ\(\overrightarrow{PQ}\binom{6}{4}\)

PR\(\overrightarrow{PR}\binom{9}{6}\)

2) Alignement P, Q, R

Déterminant\(6 \times 6 - 4 \times 9 = 36 - 36 = 0\)

Déterminant nul : \(P\), \(Q\), \(R\) sont alignés — les trois villes sont sur la même route.

3) Ville S(k ; 2)

PS\(\overrightarrow{PS}\binom{k}{2}\)

Déterminant\(6 \times 2 - 4 \times k = 12 - 4k = 0\)

Résolution\(k = 3\) → \(S(3\,;\,2)\)

4) Ville T(3 ; 3)

PT\(\overrightarrow{PT}\binom{3}{3}\)

Déterminant\(6 \times 3 - 4 \times 3 = 18 - 12 = 6 \neq 0\)

\(T\) n'est pas sur la route : elle est à l'écart de la droite \((PQR)\).

★ Toutes notions

Problème 5 — Le grand mélange

✓ Vu

On donne les points \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,2)\), \(C(6\,;\,6)\), \(D(2\,;\,4)\).

1) Montrer que \(ABCD\) est un parallélogramme.

2) Simplifier \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{DC}\) en utilisant Chasles.

3) Soit \(M\) le milieu de \([BC]\). Calculer les coordonnées de \(M\), puis les coordonnées de \(\overrightarrow{AM}\).

4) Les points \(A\), \(M\) et \(C\) sont-ils alignés ? Justifier par le calcul.

5) Interpréter géométriquement le résultat de la question 4.

💡 Indices

Transformer \(-\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CD}\). La somme devient \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\). Appliquer Chasles en chaîne.

Si \(A\), \(M\), \(C\) sont alignés et \(M\) est le milieu de \([BC]\), quelle propriété cela traduit-il pour la diagonale \([AC]\) du parallélogramme ?

1) ABCD parallélogramme

AB\(\overrightarrow{AB}\binom{4}{2}\)

DC\(\overrightarrow{DC}\binom{6-2}{6-4} = \binom{4}{2}\)

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) → \(ABCD\) est un parallélogramme.

2) Simplification

Transformer\(-\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CD}\)

Chasles\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\)

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD}\)

3) Milieu M de [BC] et vecteur AM

Coordonnées M\(x_M = \frac{4+6}{2} = 5\,,\quad y_M = \frac{2+6}{2} = 4\) → \(M(5\,;\,4)\)

AM\(\overrightarrow{AM}\binom{5-0}{4-0} = \binom{5}{4}\)

4) A, M, C alignés ?

AM\(\overrightarrow{AM}\binom{5}{4}\)

AC\(\overrightarrow{AC}\binom{6}{6}\)

Déterminant\(5 \times 6 - 4 \times 6 = 30 - 24 = 6 \neq 0\)

\(A\), \(M\), \(C\) ne sont pas alignés.

5) Interprétation géométrique

Le milieu \(M\) de \([BC]\) n'est pas sur la diagonale \([AC]\) du parallélogramme. C'est tout à fait normal : dans un parallélogramme quelconque, la diagonale \([AC]\) ne passe pas par le milieu du côté \([BC]\), sauf dans le cas particulier d'un losange ou d'un rectangle. Le point qui est sur la diagonale \([AC]\) est le centre \(O\), milieu de \([AC]\) et de \([BD]\).