Translation · Direction, Sens, Norme · Coordonnées · Parallélogrammes · Chasles · Colinéarité
Imagine que tu déplaces un jeton sur un quadrillage, sans le faire tourner et sans le déformer : tu le fais simplement glisser de 4 carreaux vers la droite et 2 carreaux vers le haut, par exemple. Ce déplacement — appelé une translation — peut se répéter n'importe où sur le quadrillage : il aura toujours la même direction, le même sens et la même longueur, quel que soit le point de départ choisi.
C'est exactement cette idée de « déplacement » que l'on va formaliser mathématiquement : un vecteur représente une translation.
Les flèches $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ représentent le même vecteur $\vec{u}$ : même direction, même sens, même longueur (4 carreaux à droite, 2 vers le haut), bien que les points de départ soient différents.
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par trois éléments :
Le vecteur qui « part » du point $A$ et « arrive » au point $B$ se note $\overrightarrow{AB}$.
On note un vecteur soit par deux points surmontés d'une flèche, $\overrightarrow{AB}$, soit par une lettre minuscule surmontée d'une flèche, $\vec{u}$.
La norme (longueur) d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ se note $\|\overrightarrow{AB}\|$ ou plus simplement $AB$ : c'est la distance entre les points $A$ et $B$.
⚠️ Attention !
- Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ et la longueur $AB$ ne sont pas la même chose : $\overrightarrow{AB}$ est un objet muni d'une direction et d'un sens, alors que $AB$ n'est qu'un nombre (une distance, toujours positive).
- $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}$ : ces deux vecteurs ont la même direction et la même norme, mais un sens opposé.
- Ne confonds pas direction (la droite support) et sens (vers où l'on va sur cette droite) : deux vecteurs peuvent avoir la même direction sans avoir le même sens.
Le vecteur nul, noté $\vec{0}$, est le vecteur dont la norme vaut $0$. Il correspond au vecteur $\overrightarrow{AA}$, pour n'importe quel point $A$ : c'est le vecteur qui « ne déplace pas ».
Sur un quadrillage, place un point $A$. Place ensuite un point $B$ tel que $\overrightarrow{AB}$ représente un déplacement de 4 carreaux vers la droite et 1 carreau vers le bas. Décris en une phrase la direction et le sens de ce vecteur.
Direction : la droite « oblique » passant par $A$ et $B$ (celle qui descend légèrement vers la droite). Sens : vers la droite et vers le bas.
Dès la partie suivante, on va manipuler des vecteurs donnés par les coordonnées de leurs points (comme $A(-1;0)$). Il est donc utile de savoir calculer les coordonnées d'un vecteur dès maintenant : cet outil va servir dans tout le reste du chapitre.
Dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$, tout vecteur $\vec{u}$ du plan peut s'écrire de façon unique comme somme d'un multiple de $\vec{i}$ et d'un multiple de $\vec{j}$ : $\vec{u} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j}$. Les nombres $x$ et $y$ sont appelés les coordonnées du vecteur $\vec{u}$, notées :
Concrètement, $x$ et $y$ s'obtiennent en comptant de combien de carreaux (ou d'unités du repère) il faut se déplacer horizontalement puis verticalement pour aller de l'origine du vecteur à son extrémité.
Lecture des coordonnées de $\vec{u}$ dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ : $\vec{u}\binom{6}{3}$.
Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ sont deux points du plan muni d'un repère, alors les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :
On calcule toujours « coordonnées de l'arrivée moins coordonnées du départ ».
⚠️ Attention !
- L'erreur la plus fréquente est d'inverser $x_A$ et $x_B$ : on calcule toujours les coordonnées de l'arrivée moins celles du départ, jamais l'inverse. Pour $\overrightarrow{AB}$, c'est $x_B - x_A$ (et non $x_A - x_B$).
- Ne mélange pas les abscisses et les ordonnées : calcule d'abord toute la ligne du haut ($x_B - x_A$), puis toute la ligne du bas ($y_B - y_A$), sans les croiser.
Deux vecteurs $\vec{u}\binom{x}{y}$ et $\vec{v}\binom{x'}{y'}$ sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées :
Si $\vec{u}\binom{x}{y}$ et $\vec{v}\binom{x'}{y'}$, alors les coordonnées du vecteur somme $\vec{u}+\vec{v}$ s'obtiennent en additionnant les coordonnées terme à terme :
On donne $A(-2;3)$ et $B(1;-1)$. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$, puis celles du vecteur $\vec{w} = \overrightarrow{AB} + \vec{u}$ où $\vec{u}\binom{2}{5}$.
On donne $C(4;-2)$, $D(-1;0)$ et $\vec{v}\binom{-3}{6}$. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$, puis celles de $\overrightarrow{CD} + \vec{v}$.
$\overrightarrow{CD}\binom{x_D-x_C}{y_D-y_C} = \binom{-1-4}{0-(-2)} = \binom{-5}{2}$.
$\overrightarrow{CD}+\vec{v} \ \binom{-5+(-3)}{2+6} = \binom{-8}{8}$.
Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Deux vecteurs égaux représentent donc la même translation, même s'ils sont dessinés à des endroits différents du plan. Grâce à la partie précédente, on sait aussi que cela revient à dire qu'ils ont les mêmes coordonnées.
Pour quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ (non alignés trois à trois) :
En effet, dire que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ signifie que les segments $[AB]$ et $[DC]$ sont parallèles, de même longueur, et « orientés dans le même sens » : c'est précisément la définition d'un parallélogramme $ABCD$ (les côtés $[AB]$ et $[DC]$ sont deux côtés opposés, parcourus dans le même sens de rotation).
$ABCD$ est un parallélogramme : les flèches $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont parallèles, de même longueur et de même sens.
⚠️ Attention à l'ordre des lettres !
- $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ donne le parallélogramme $\mathbf{ABCD}$ (dans cet ordre), et pas $ABDC$.
- Une erreur fréquente consiste à écrire $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ pour un parallélogramme $ABCD$ : c'est faux, il faut $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (les lettres du deuxième vecteur sont « inversées » par rapport à l'ordre du nom du parallélogramme).
- Astuce : dans $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, les deux vecteurs se lisent dans le même sens de parcours du quadrilatère : $A \to B$ puis $D \to C$, ce qui correspond bien au tour $A \to B \to C \to D$.
On donne $A(-1;0)$, $B(3;1)$, $C(4;4)$ et $D(0;3)$. Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
On donne $K(-2;1)$, $L(2;2)$, $M(3;5)$ et $N(-1;4)$. Montrer que $KLMN$ est un parallélogramme.
Comme dans l'exemple, on calcule $\overrightarrow{KL}$ et $\overrightarrow{NM}$ (le vecteur « opposé » dans le nom du parallélogramme) :
$\overrightarrow{KL}\binom{2-(-2)}{2-1} = \binom{4}{1}$ et $\overrightarrow{NM}\binom{3-(-1)}{5-4} = \binom{4}{1}$.
$\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{NM}$, donc $KLMN$ est un parallélogramme.
On donne $E(2;-1)$, $F(5;-1)$, $G(6;2)$. Détermine les coordonnées du point $H$ tel que $EFGH$ soit un parallélogramme.
Cette fois, on ne connaît pas le 4e point : c'est lui qu'il faut trouver. On ne peut donc pas juste « vérifier » une égalité, il faut poser une équation.
Si tu effectues un premier déplacement représenté par $\overrightarrow{AB}$, puis un second déplacement représenté par $\overrightarrow{BC}$ (en repartant du point d'arrivée du premier), le déplacement global — de $A$ jusqu'à $C$ — est représenté par la somme $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.
Pour tous points $A$, $B$, $C$ :
Cette relation traduit le fait que deux déplacements « bout à bout » (on enchaîne deux vecteurs en faisant coïncider l'arrivée du premier avec le départ du second) équivalent à un seul déplacement direct. Astuce pour la retenir : le point du « milieu » ($B$, en orange) apparaît deux fois collé et disparaît dans le résultat.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ mis bout à bout équivalent au vecteur direct $\overrightarrow{AC}$ (en pointillés). Le point $B$ (entouré) est celui qui « disparaît » dans la relation de Chasles.
Pour additionner deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ qui ont la même origine $A$, on construit le point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme. On a alors :
Cette construction revient en fait à utiliser la relation de Chasles : puisque $ABDC$ est un parallélogramme, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$ (en vert sur le schéma), donc :
$\overrightarrow{BD}$ (en pointillés) est égal à $\overrightarrow{AC}$ : on retrouve bien $\overrightarrow{AD}$ comme somme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ grâce à Chasles.
Le vecteur opposé d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur $\overrightarrow{BA}$ : il a la même direction et la même norme, mais un sens opposé. On le note $-\overrightarrow{AB}$.
Simplifier l'écriture $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}$.
Simplifier : a) $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PM}$ b) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}$ (indice : $-\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC}$).
a) $\overrightarrow{M\textcolor[RGB]{184,92,11}{N}} + \overrightarrow{\textcolor[RGB]{184,92,11}{N}\textcolor[RGB]{107,63,160}{P}} + \overrightarrow{\textcolor[RGB]{107,63,160}{P}M} = \overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PM} = \vec{0}$ ($N$ puis $P$ se simplifient).
b) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{A\textcolor[RGB]{184,92,11}{B}} + \overrightarrow{\textcolor[RGB]{184,92,11}{B}C} = \overrightarrow{AC}$ ($B$ se simplifie).
Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul et $k$ un nombre réel. Le vecteur $k\vec{u}$ est le vecteur :
Si $\vec{u}\binom{x}{y}$, alors $k\vec{u}$ a pour coordonnées :
Effet de la multiplication par un réel $k$ : $2\vec{u}$ (deux fois plus long, même sens), $0{,}5\vec{u}$ (deux fois plus court, même sens), $-\vec{u}$ (même longueur, sens opposé).
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires si l'un est le produit de l'autre par un nombre réel, ou si au moins l'un des deux est le vecteur nul :
Géométriquement, deux vecteurs non nuls colinéaires ont la même direction (ils sont « parallèles »), qu'ils soient de même sens ou de sens opposés. Le vecteur nul, lui, n'a pas de direction propre : c'est pour cette raison qu'on le déclare colinéaire à tout vecteur par convention, plutôt que de chercher un coefficient $k$ qui n'existerait pas toujours (on ne peut pas écrire $\vec{u} = k\,\vec{0}$ si $\vec{u}\neq\vec{0}$).
Deux droites (non confondues) sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AB}$.
$A$, $B$, $C$ sont alignés : $\overrightarrow{AC}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$. (Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ est représenté légèrement décalé, uniquement pour la lisibilité du schéma — les deux vecteurs sont bien portés par la même droite.)
On donne $A(1;-2)$, $B(3;0)$ et $C(9;6)$. Les points $A$, $B$, $C$ sont-ils alignés ?
On donne $D(2;5)$, $E(3;7)$ et $F(-1;-1)$. Les points $D$, $E$, $F$ sont-ils alignés ?
$\overrightarrow{DE}\binom{3-2}{7-5} = \binom{1}{2}$ et $\overrightarrow{DF}\binom{-1-2}{-1-5} = \binom{-3}{-6}$.
On remarque directement que $-3 = -3\times 1$ et $-6 = -3\times 2$ : le coefficient $k=-3$ est évident sur les deux coordonnées.
$\overrightarrow{DF} = -3\,\overrightarrow{DE}$ : les vecteurs sont colinéaires, donc $D$, $E$, $F$ sont alignés ($k$ négatif : $\overrightarrow{DF}$ est de sens opposé à $\overrightarrow{DE}$).
Chercher le coefficient $k$ « à l'œil » fonctionne bien quand les nombres sont simples, mais ce n'est pas toujours pratique. Il existe une méthode plus rapide et totalement fiable, valable pour tous les cas (y compris avec des vecteurs colinéaires de coefficient $k$ non entier).
Si $\vec{u}\binom{x}{y}$ et $\vec{v}\binom{x'}{y'}$, alors :
Le nombre $xy'-yx'$ s'appelle le déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Un seul calcul suffit pour conclure : plus besoin de deviner ou de calculer $k$ !
Tu connais déjà cette idée pour comparer deux fractions : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \iff a\times d = b\times c$ (produits en croix). La colinéarité, c'est exactement le même principe !
Si $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ sont colinéaires, avec $x$ et $y$ non nuls, alors $\vec{v}=k\vec{u}$ donne $x'=kx$ et $y'=ky$, donc les deux « rapports » sont égaux :
En faisant le produit en croix de cette égalité de fractions, on retrouve exactement le critère du déterminant :
Astuce visuelle : on multiplie « en diagonale descendante » ($x\times y'$, en vert, compté +), puis on soustrait le produit « en diagonale montante » ($y\times x'$, en rouge, compté −).
Le grand avantage du déterminant, c'est qu'il fonctionne même quand $x$ ou $y$ vaut $0$ (on ne peut alors plus écrire de fraction, mais le produit en croix reste parfaitement valable).
Les vecteurs $\vec{u}\binom{4}{6}$ et $\vec{v}\binom{6}{9}$ sont-ils colinéaires ?
⚠️ Erreurs classiques
- Confondre direction et sens : deux vecteurs colinéaires ont toujours la même direction, mais ils peuvent avoir un sens opposé (si $k<0$).
- Pour tester la colinéarité à partir des coordonnées, il faut trouver un même $k$ qui fonctionne sur les deux coordonnées à la fois (abscisse ET ordonnée) — pas seulement sur l'une des deux.
- Oublier que le vecteur nul $\vec{0}$ est colinéaire à tout vecteur : si $\overrightarrow{AB} = \vec{0}$ (c'est-à-dire $A=B$), on ne peut pas conclure sur l'alignement de cette façon.
| ➡️ | Vecteur $\overrightarrow{AB}$ | Défini par une direction, un sens et une norme $AB$. Représente une translation. |
| 📍 | Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ | $\overrightarrow{AB}\binom{x_B-x_A}{y_B-y_A}$ |
| ▱ | Égalité et parallélogramme | $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \iff ABCD$ parallélogramme. |
| ➕ | Relation de Chasles | $\overrightarrow{A\textcolor[RGB]{184,92,11}{B}} + \overrightarrow{\textcolor[RGB]{184,92,11}{B}C} = \overrightarrow{AC}$ |
| ↩️ | Vecteur opposé | $-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$ |
| ✖️ | Produit $k\vec{u}$ | Même direction, sens selon le signe de $k$, norme multipliée par $|k|$. Coordonnées : $\binom{kx}{ky}$. |
| ∥ | Colinéarité | $\vec{v} = k\vec{u}$ (ou l'un des deux nul) : sert à prouver un parallélisme ou un alignement. Critère rapide : $xy'-yx'=0$. |