Calculer le coefficient
directeur a

Fonctions affines — Feuille n°3 — 2nde

Écart des y / Écart des x Vigilance signe 5 exercices

📌 L'essentiel à avoir en tête

La formule
Si on connaît deux points \((x_1\,;\,y_1)\) et \((x_2\,;\,y_2)\) de la droite :
\(a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
⚠ Attention à l'ordre !
Le \(x_2\) et le \(y_2\) doivent correspondre au même point — l'un au numérateur, l'autre au dénominateur. Inverser l'ordre à un seul étage change le signe de \(a\) !
L'interprétation
\(a > 0\) : la droite monte. \(a < 0\) : la droite descend. \(a = 0\) : droite horizontale.
La valeur de \(|a|\) indique la rapidité de la montée/descente.
Corrections vues :
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Exercice 1 / 5

Formule directe Application immédiate
✓ Vu

Pour chaque fonction affine, calculer le coefficient directeur \(a\) à partir des deux points donnés.

a)
\(f(1) = 5\) et \(f(3) = 11\)
b)
\(g(0) = 4\) et \(g(2) = -2\)
c)
\(h(-1) = 3\) et \(h(4) = 3\)
d)
\(k(2) = -1\) et \(k(6) = 7\)

💡 Indices

Pour a), \(x_1 = 1\), \(y_1 = 5\), \(x_2 = 3\), \(y_2 = 11\). Donc \(a = \dfrac{11 - 5}{3 - 1}\). Fais le calcul !
En c), les deux images sont égales (\(h(-1) = h(4) = 3\)). Que vaut le numérateur de la fraction ? Qu'est-ce que cela implique sur \(a\) ?
Rappel : \(a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\). Toujours vérifier que \(x_2 \neq x_1\) avant de calculer.
a) f(1) = 5 et f(3) = 11
Formule\(a = \dfrac{11 - 5}{3 - 1} = \dfrac{6}{2}\)
\(a = 3\) — la droite monte de 3 par unité.
b) g(0) = 4 et g(2) = −2
Formule\(a = \dfrac{-2 - 4}{2 - 0} = \dfrac{-6}{2}\)
\(a = -3\) — pente négative, la droite descend.
c) h(−1) = 3 et h(4) = 3
Formule\(a = \dfrac{3 - 3}{4 - (-1)} = \dfrac{0}{5}\)
\(a = 0\) — les deux images sont identiques : \(h\) est une fonction constante.
d) k(2) = −1 et k(6) = 7
Formule\(a = \dfrac{7 - (-1)}{6 - 2} = \dfrac{8}{4}\)
\(a = 2\)

Exercice 2 / 5

Piège de l'ordre Erreur à détecter
✓ Vu

Un élève a calculé le coefficient directeur de trois fonctions. Trouver et corriger les erreurs.

a) — calcul de l'élève

\(f(1) = 3\) et \(f(4) = 9\)
\(a = \dfrac{1-4}{9-3} = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac{1}{2}\)

b) — calcul de l'élève

\(g(-2) = 5\) et \(g(3) = -5\)
\(a = \dfrac{-5-5}{-2-3} = \dfrac{-10}{-5} = 2\)

c) — calcul de l'élève

\(h(0) = 2\) et \(h(4) = 6\)
\(a = \dfrac{6-2}{0-4} = \dfrac{4}{-4} = -1\)

💡 Indices

Les écarts doivent être calculés dans le même ordre au numérateur et au dénominateur. Si on met \(y_2 - y_1\) en haut, on doit mettre \(x_2 - x_1\) en bas — avec les mêmes indices 2 et 1 correspondants.
a) — Erreur !

L'élève a mis \(1 - 4\) au numérateur (écart des \(x\)) et \(9 - 3\) au dénominateur (écart des \(y\)) : c'est inversé !

Correction\(a = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3}\)
\(a = 2\) (et non \(-\frac{1}{2}\))
b) — Erreur !

L'élève a bien mis les écarts des \(y\) au numérateur, mais a aussi pris \(x_1 - x_2\) au dénominateur au lieu de \(x_2 - x_1\) : les deux écarts sont dans des ordres opposés !

Correction\(a = \dfrac{-5 - 5}{3 - (-2)} = \dfrac{-10}{5}\)
\(a = -2\) (et non \(+2\))
c) — Erreur !

L'élève a pris \((x_1 ; y_1) = (0\,;\,2)\) et \((x_2\,;\,y_2) = (4\,;\,6)\), mais a mis \(y_2 - y_1 = 6-2\) au numérateur et \(x_1 - x_2 = 0-4\) au dénominateur. L'ordre est inversé au dénominateur !

Correction\(a = \dfrac{6 - 2}{4 - 0} = \dfrac{4}{4}\)
\(a = 1\) (et non \(-1\))
Retenir : une seule inversion de signe au numérateur ou au dénominateur change le signe de \(a\). C'est l'erreur la plus fréquente de ce chapitre !

Exercice 3 / 5

Lecture graphique Deux points → a
✓ Vu

Pour chaque droite ci-dessous, relever les coordonnées de deux points à coordonnées entières, puis calculer \(a\).

Droite \(p\)

O 123 −1 123 −1−2

Droite \(q\)

O 123 1234 −1

Droite \(r\)

O 123 −1 123 −1

💡 Indices

Repère deux points marqués sur chaque droite dont les deux coordonnées sont des entiers (ils tombent à l'intersection de deux lignes de la grille). Puis applique la formule.
La droite r est horizontale. Que vaut l'écart des ordonnées \(y_2 - y_1\) pour deux points d'une droite horizontale ?
Droite p (violette)

Deux points lisibles : \((0\,;\,-1)\) et \((2\,;\,3)\).

Calcul\(a = \dfrac{3-(-1)}{2-0} = \dfrac{4}{2}\)
\(a = 2\) — droite croissante, pente 2.
Droite q (rouge)

Deux points lisibles : \((0\,;\,4)\) et \((3\,;\,1)\).

Calcul\(a = \dfrac{1-4}{3-0} = \dfrac{-3}{3}\)
\(a = -1\) — droite décroissante.
Droite r (verte)

Deux points lisibles : \((-1\,;\,2)\) et \((3\,;\,2)\).

Calcul\(a = \dfrac{2-2}{3-(-1)} = \dfrac{0}{4}\)
\(a = 0\) — droite horizontale, fonction constante \(r(x) = 2\).

Exercice 4 / 5

Résultat fraction Simplifier
✓ Vu

Calculer \(a\) pour chaque fonction. Le résultat n'est pas toujours un entier : le laisser sous forme de fraction simplifiée si nécessaire.

a)
\(f(0) = 1\) et \(f(3) = 3\)
b)
\(g(1) = 5\) et \(g(5) = 2\)
c)
\(h(-2) = 0\) et \(h(6) = -4\)
d)
\(k(0) = -3\) et \(k(4) = 3\)

💡 Indices

Si tu obtiens \(\frac{2}{3}\), c'est la réponse — ne pas convertir en décimal. Si tu obtiens \(\frac{4}{6}\), simplifier en \(\frac{2}{3}\) en divisant numérateur et dénominateur par 2.
a) f(0) = 1 et f(3) = 3
Calcul\(a = \dfrac{3-1}{3-0} = \dfrac{2}{3}\)
\(a = \dfrac{2}{3}\) — fraction déjà irréductible.
b) g(1) = 5 et g(5) = 2
Calcul\(a = \dfrac{2-5}{5-1} = \dfrac{-3}{4}\)
\(a = -\dfrac{3}{4}\) — droite décroissante à pente fractionnaire.
c) h(−2) = 0 et h(6) = −4
Calcul\(a = \dfrac{-4-0}{6-(-2)} = \dfrac{-4}{8}\)
Simplification\(a = \dfrac{-4}{8} = -\dfrac{1}{2}\)
\(a = -\dfrac{1}{2}\)
d) k(0) = −3 et k(4) = 3
Calcul\(a = \dfrac{3-(-3)}{4-0} = \dfrac{6}{4}\)
Simplification\(a = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\)
\(a = \dfrac{3}{2}\)

Exercice 5 / 5

Tableau de valeurs Vérifier l'affinité
✓ Vu

On donne ci-dessous trois tableaux de valeurs. Pour chacun :

• Calculer le coefficient directeur \(a\) entre chaque paire de valeurs consécutives.
• Dire si le tableau correspond à une fonction affine. Justifier.
• Si oui, donner la valeur de \(a\).

Tableau A

\(x\) 0 2 5 8
\(f(x)\) 3 7 13 19

Tableau B

\(x\) 1 3 5 7
\(g(x)\) 2 6 11 15

Tableau C

\(x\) 0 3 6 9
\(h(x)\) 5 −1 −7 −13

💡 Indices

Calcule \(a\) entre les colonnes 1 et 2, puis entre les colonnes 2 et 3, puis entre 3 et 4. Si tous les résultats sont égaux, la fonction est affine. Si un seul diffère, elle ne l'est pas.
Tableau A
Col. 1→2\(a = \dfrac{7-3}{2-0} = \dfrac{4}{2} = 2\)
Col. 2→3\(a = \dfrac{13-7}{5-2} = \dfrac{6}{3} = 2\)
Col. 3→4\(a = \dfrac{19-13}{8-5} = \dfrac{6}{3} = 2\)
Coefficient directeur constant → fonction affine avec \(a = 2\).
Tableau B
Col. 1→2\(a = \dfrac{6-2}{3-1} = \dfrac{4}{2} = 2\)
Col. 2→3\(a = \dfrac{11-6}{5-3} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\)
Col. 3→4\(a = \dfrac{15-11}{7-5} = \dfrac{4}{2} = 2\)
Le coefficient directeur varie (2 puis 2,5 puis 2) → pas une fonction affine. La valeur \(g(5) = 11\) devrait être \(10\) pour que \(g\) soit affine.
Tableau C
Col. 1→2\(a = \dfrac{-1-5}{3-0} = \dfrac{-6}{3} = -2\)
Col. 2→3\(a = \dfrac{-7-(-1)}{6-3} = \dfrac{-6}{3} = -2\)
Col. 3→4\(a = \dfrac{-13-(-7)}{9-6} = \dfrac{-6}{3} = -2\)
Coefficient directeur constant → fonction affine avec \(a = -2\) (droite décroissante).

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