Chapitre · Seconde

Fonctions affines et fonctions linéaires

De la formule au dessin : ce chapitre est le pont qui nous mènera, la prochaine fois, à l'équation des droites.

🎯 Pourquoi ce chapitre ?

Tu connais déjà les fonctions affines depuis la 3ème. En Seconde, on va faire le chemin inverse : au lieu de partir de la formule pour tracer la droite, on va apprendre à reconstruire la formule à partir de deux points connus sur la droite. C'est exactement ce dont on aura besoin au prochain chapitre pour manipuler des équations de droites !

Vocabulaire indispensable

Petit rappel avant de foncer. Pour une fonction affine \(f(x) = ax + b\) :

a Coefficient directeur

La pente, la vitesse d'évolution de la fonction : de combien \(f(x)\) monte (ou descend) quand \(x\) avance d'une unité.

b Ordonnée à l'origine

Le point de départ, la valeur de \(f(0)\). C'est l'endroit où la droite coupe l'axe des ordonnées.

\(f(x) = \underbrace{a}_{\text{coeff. directeur}} \times x \;+\; \underbrace{b}_{\text{ord. à l'origine}}\)
I. Fonction affine, fonction linéaire
📘 Définition

Une fonction affine \(f\) est une fonction qui, à un nombre \(x\), fait correspondre le nombre \(ax + b\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres fixés.

\(f : x \mapsto ax + b \quad\) ou \(\quad f(x) = ax + b\)
💡 Cas particulier — La fonction linéaire
Si \(b = 0\)

\(f(x) = ax\) est une fonction linéaire : c'est une situation de proportionnalité pure, sans valeur de départ. La droite passe par l'origine.

Cas général

Dès que \(b \neq 0\), il y a un décalage au départ : la fonction est affine, mais pas linéaire.

Si \(a = 0\) — La fonction constante

L'expression devient \(f(x) = b\). Il n'y a plus aucune pente : quel que soit \(x\), la valeur ne change jamais, on reste toujours à la même hauteur. Graphiquement, c'est une droite parfaitement horizontale, qui coupe l'axe des ordonnées à la hauteur \(b\).

\(f(x) = 0 \times x + b = b \quad\) pour tout \(x\)
✏️ La machine \(f(x) = ax + b\)

Imagine une machine à calculer : tu entres \(x\), et deux réglages agissent dessus.

  • \(b\) : le coût fixe, le plongeoir — la hauteur où tu te trouves déjà avant même de commencer (\(x=0\)).
  • \(a\) : le tarif unitaire, la vitesse à laquelle tu montes (ou descends) à chaque pas que tu avances.
II. Représentation graphique
📗 Propriété

La représentation graphique d'une fonction affine \(f : x \mapsto ax + b\) est une droite d'équation \(y = ax + b\).

Pourquoi une droite ? Parce qu'à chaque fois que \(x\) avance d'une unité, \(f(x)\) varie toujours de la même quantité \(a\) : cette régularité parfaite, c'est justement ce qui dessine une ligne bien droite (et pas une courbe qui change de forme).

📋 Méthode — Tracer la droite (l'escalier)
  • 1Placer l'ordonnée à l'origine \((0\,;\,b)\), le point de départ.
  • 2Avancer d'1 pas vers la droite en abscisse.
  • 3Monter de \(a\) pas si \(a > 0\), descendre de \(|a|\) pas si \(a < 0\).
  • 4Relier les deux points obtenus par une droite.
✏️ Exemple — Lecture graphique (la méthode de 3ème)
Représentation de \(g(x) = 2x + 1\) : on lit directement \(b\), puis on avance d'1 carreau pour lire \(a\).
\(g(x) = 2x + 1\) — \(a=2,\;b=1\)
−2 −1 1 2 3 1 2 3 4 −1 −2 −3 O b = 1 +1 a = +2
● b = 1 → départ en (0 ; 1) → +1 en abscisse ↑ a = +2 → monter de 2
🎮 Généralisons — Et si on avançait de plus d'un carreau ?

Sur le graphique ci-dessus, on a avancé d'1 carreau vers la droite, comme en 3ème. Mais que se passe-t-il si on avance de 2, 3 ou 4 carreaux ? Clique sur les boutons pour observer la même droite \(f(x) = 2x + 1\) !

O Départ +1 +2
Si j'avance de 1 carreau vers la droite, je monte de 2 carreaux. C'est la méthode que tu connais depuis la 3ème !
🌟 Ce qu'on vient de découvrir : peu importe le nombre de carreaux dont on avance, la montée reste proportionnelle à l'avancée. C'est exactement ce qui va nous sauver la vie quand \(a\) est une fraction !
✏️ Exemple visuel — Quand \(a\) est une fraction
On veut représenter une droite de coefficient directeur \(a = -\dfrac{3}{4}\), qui passe par le point de départ \((0\,;\,5)\).

Si on avance d'1 seul carreau, il faudrait descendre de \(\frac{3}{4}\) de carreau... impossible à placer précisément ! Alors on choisit d'avancer directement du dénominateur :

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 O Départ (0 ; 5) +4 (dénominateur) −3 (numérateur) (4 ; 2)
→ +4 en abscisse (le dénominateur) ↓ −3 en ordonnée (le numérateur)

On obtient directement un second point exact de la droite, \((4\,;\,2)\), sans jamais avoir à placer une valeur décimale approximative !

III. Calculer le coefficient directeur \(a\)

Nouveauté de Seconde : et si on ne connaissait pas la formule de \(f\), mais seulement deux images ? On peut quand même retrouver \(a\) !

🚀 Analogie — La vitesse moyenne

Imagine que tu es un plongeur sur un plongeoir qui prend de la hauteur au fil du temps. Au temps \(x_1\), tu es à la hauteur \(y_1 = f(x_1)\). Au temps \(x_2\), tu es à la hauteur \(y_2 = f(x_2)\).

Ta vitesse moyenne de montée entre ces deux instants, c'est simplement :

Montée
\(y_2 - y_1\)
÷
Avancée
\(x_2 - x_1\)
=
Vitesse
\(a\)

Et cette vitesse-là, c'est exactement le coefficient directeur !

📋 Formule à retenir

Si \(f\) est une fonction affine et si l'on connaît deux images \(f(x_1) = y_1\) et \(f(x_2) = y_2\) (avec \(x_1 \neq x_2\)) :

\(a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \dfrac{\text{Écart des } y}{\text{Écart des } x}\)
⚠️ Attention à l'ordre !

Le \(x_2\) doit toujours se trouver au même endroit (numérateur et dénominateur) que le \(y_2\) correspondant. Si tu inverses l'ordre à un seul des deux étages de la fraction, tu changes le signe de \(a\) !

✏️ Exemple
Une fonction affine \(f\) vérifie \(f(2) = 7\) et \(f(5) = 13\). Calculer \(a\).
On pose\(x_1 = 2,\; y_1 = 7 \quad\) et \(\quad x_2 = 5,\; y_2 = 13\)
Formule\(a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{13 - 7}{5 - 2}\)
Calcul\(a = \dfrac{6}{3} = \mathbf{2}\)
🎮 À toi de jouer ! #1

Une fonction affine \(g\) vérifie \(g(-1) = 4\) et \(g(3) = -8\). Calcule le coefficient directeur \(a\).

On pose\(x_1 = -1,\; y_1 = 4 \quad\) et \(\quad x_2 = 3,\; y_2 = -8\)
Formule\(a = \dfrac{-8 - 4}{3 - (-1)} = \dfrac{-12}{4}\)
\(a = -3\)
IV. Trouver l'ordonnée à l'origine \(b\)

Une fois \(a\) connu, il ne reste qu'un inconnu à démasquer : \(b\). C'est une véritable enquête policière !

🕵️ Méthode — L'enquête
  • 1On part de la formule générale \(f(x) = ax + b\), avec \(a\) déjà connu.
  • 2On choisit un point connu de la droite : un couple \((x_0\,;\,y_0)\) tel que \(f(x_0) = y_0\).
  • 3On remplace \(x\) par \(x_0\) et \(f(x)\) par \(y_0\) dans la formule.
  • 4Il ne reste plus qu'à résoudre la mini-équation pour démasquer \(b\).
✏️ Exemple — On continue avec \(f\)
On avait trouvé \(a = 2\) pour la fonction \(f\) telle que \(f(2) = 7\). Trouver \(b\).
Formule\(f(x) = 2x + b\)
On injectele point \((2\,;\,7)\) : \(7 = 2 \times 2 + b\)
On isole \(b\)\(7 = 4 + b \;\Rightarrow\; b = 7 - 4\)
\(b = 3\), donc \(f(x) = 2x + 3\)
🔎 Vérification : avec l'autre point, \(f(5) = 2\times5+3 = 13\). Ça correspond bien à l'énoncé !
🎮 À toi de jouer ! #2

On a trouvé \(a = -3\) pour la fonction \(g\) telle que \(g(-1) = 4\) et \(g(3) = -8\). Trouve \(b\), puis écris \(g(x)\).

Formule\(g(x) = -3x + b\)
On injectele point \((-1\,;\,4)\) : \(4 = -3\times(-1) + b\)
On isole \(b\)\(4 = 3 + b \;\Rightarrow\; b = 4 - 3\)
\(b = 1\), donc \(g(x) = -3x + 1\)
🔎 Vérification : \(g(3) = -3\times3+1 = -9+1 = -8\). C'est correct !
V. Méthode complète — Bilan
📋 La méthode en 3 étapes
  • 1Calculer \(a\) avec \(a = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
  • 2Injecter un point connu dans \(f(x) = ax+b\) pour trouver \(b\).
  • 3Écrire la fonction complète \(f(x) = ax + b\).
🎮 À toi de jouer ! #3 — Exercice bilan

Une fonction affine \(h\) vérifie \(h(1) = 0\) et \(h(4) = 9\). Détermine l'expression complète de \(h(x)\).

Étape 1 — Calcul de \(a\)

Formule\(a = \dfrac{9-0}{4-1} = \dfrac{9}{3}\)
\(a = 3\)

Étape 2 — Calcul de \(b\)

Formule\(h(x) = 3x + b\)
On injectele point \((1\,;\,0)\) : \(0 = 3\times1 + b\)
On isole \(b\)\(b = 0 - 3\)
\(b = -3\)

Étape 3 — Conclusion

\(h(x) = 3x - 3\)
🔎 Vérification : \(h(4) = 3\times4-3 = 12-3 = 9\). Parfait !
Mini-quiz — Vérifie tes acquis
1. Dans \(f(x) = ax + b\), que représente \(a\) ?
2. Une fonction affine \(f\) vérifie \(f(1) = 5\) et \(f(4) = 17\). Quel est son coefficient directeur \(a\) ?
3. On sait que \(a = 5\) et que la droite passe par le point \((2\,;\,13)\). Quelle est la valeur de \(b\) ?
4. Quelle affirmation est vraie concernant la représentation graphique de \(f(x) = ax + b\) ?
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