Trigonométrie 3ème : Feuille de révisions

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Exercice 1 – La tyrolienne

Trigonométrie Pythagore Volume

Lya passe la journée dans un parc aquatique. Elle y trouve une cabane dans un chêne d'où part une tyrolienne qui mène au-dessus d'une piscine. Le câble relie la cabane (point A) au pied du peuplier (point C).

Document 1 – Schéma de la situation

📋 Documents

Doc. 2 : La réglementation exige que l'angle formé par le câble et l'horizontale soit inférieur à 30°.

Doc. 3 : La piscine est un pavé droit de longueur 6 m, largeur 6 m, profondeur 1,6 m.

Doc. 4 : Lya suspendue à la tyrolienne, corps et bras tendus, mesure exactement 1,50 m.

1. Montrer que BC = 20 m.

2. Le positionnement de la tyrolienne est-il conforme à la réglementation ? Justifier.

3. Déterminer la longueur AC de câble nécessaire. Arrondir à l'unité.

4. Calculer le volume de la piscine en m³.

5. À quelle distance DC du peuplier les pieds de Lya toucheront-ils l'eau ? Arrondir au centième.

💡 Indices

Repère sur le schéma les différentes mesures qui composent la longueur BC. Comment BC se décompose-t-elle en segments ?

Dans le triangle ABC, identifie les deux côtés connus par rapport à l'angle en A, puis choisis la formule trigonométrique appropriée.

Tu connais deux côtés du triangle et tu cherches le troisième. Quel théorème s'applique dans un triangle rectangle ?

Lya touche l'eau quand ses mains sont au point E sur le câble. Quelle configuration géométrique cela crée-t-il dans le triangle ABC ? Quel théorème peut s'appliquer ?

Question 1 – BC = 20 m

Le schéma montre que BC = BD + (longueur piscine) + DC. BC = 12,20 + 6 + 1,80 = 20 m

Question 2 – Conformité à la réglementation

On a : Le triangle ABC est rectangle en B, avec AB = 5,50 m et BC = 20 m. Or : tan(\(x\)) = ABBC = 5,5020 \(x\) = arctan(5,5020) \(x\) ≈ 15,4° Donc : l'angle est d'environ 15,4°. Comme 15,4° < 30°, le positionnement est conforme à la réglementation.

Question 3 – Longueur du câble AC

On a : Le triangle ABC est rectangle en B, avec AB = 5,50 m et BC = 20 m. AC est l'hypoténuse. Or : d'après le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC² AC² = 5,50² + 20² AC² = 30,25 + 400 = 430,25 AC = √430,25 ≈ 20,74 Donc : la longueur du câble est d'environ 21 m.

Question 4 – Volume de la piscine

On a : La piscine est un pavé droit de longueur 6 m, largeur 6 m, hauteur 1,6 m. Or : Volume = longueur × largeur × hauteur Volume = 6 × 6 × 1,6 Donc : le volume de la piscine est 57,6 m³.

Question 5 – Distance DC quand les pieds de Lya touchent l'eau

Théorème de Thalès : Si deux droites coupent deux droites parallèles, alors les rapports des longueurs correspondantes sont égaux.

On a : Les droites (ED) et (AB) sont parallèles (toutes deux perpendiculaires au sol). La droite (AC) est une sécante qui coupe ces deux parallèles. Or : d'après le théorème de Thalès dans le triangle ABC, avec (ED) parallèle à (AB) : DCBC = EDAB DC20 = 1,505,50 DC = 1,50 × 205,50 DC ≈ 5,45 m Donc : les pieds de Lya toucheront l'eau à environ 5,45 m du peuplier.

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Exercice 2 – Vrai ou faux ?

Cosinus

Cette égalité est-elle vraie ? Justifier.

cos(60°) = 150300

💡 Indices

Calcule d'abord 150 ÷ 300. Simplifie cette fraction.

Tu as obtenu une valeur numérique pour le cosinus de l'angle. Cherche à quel angle standard correspond cette valeur.

On a : 150300 = 12 = 0,5 Or : cos(60°) = 0,5 (valeur remarquable) Donc : l'égalité cos(60°) = 150300 est vraie.

Avec la calculatrice : on peut vérifier directement que cos(60°) = 0,5.

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Exercice 3 – La grue

Arctan Tangente

Du deuxième étage du collège, j'aperçois dans le chantier situé en face, une grue. Le bâtiment se trouve à 19,80 m du pied de la grue. Placé à 8 m au-dessus du sol, j'observe la grue sous un angle \(\widehat{BOA} = 61°\).

1. En appelant H le point de [BA] tel que (OH) est perpendiculaire à (BA), et en constatant que HA = 8 m, calculer la mesure de l'angle \(\widehat{HOA}\) au degré près.

2. Calculer HB au cm près.

3. En déduire la hauteur de la grue au cm près.

💡 Indices

Identifie les deux côtés connus dans le triangle OHA par rapport à l'angle en O, puis choisis la formule trigonométrique.

Comment obtenir l'angle HOB à partir des informations connues ? Puis, dans le triangle OHB, quelle formule relie les côtés à cet angle ?

La hauteur totale de la grue se compose de plusieurs parties. Lesquelles as-tu calculées ?

Question 1 – Angle \(\widehat{HOA}\)

On a : Le triangle OHA est rectangle en H, avec OH = 19,80 m et HA = 8 m. Or : tan(\(x\)) = HAOH = 819,80 \(x\) = arctan(819,80) \(x\) ≈ 22° Donc : l'angle \(\widehat{HOA}\) mesure environ 22°.

Question 2 – Longueur HB

On a : L'angle \(\widehat{BOA}\) = 61° et \(\widehat{HOA}\) ≈ 22°, donc \(\widehat{HOB}\) = 61° − 22° = 39°. Le triangle OHB est rectangle en H, avec OH = 19,80 m. Or : tan(39°) = HBOH tan(39°)1 = HB19,80 HB = tan(39°) × 19,80 ÷ 1 HB ≈ 16,03 m Donc : HB mesure environ 16,03 m.

Question 3 – Hauteur de la grue

On a : La hauteur totale de la grue = HB + HA. Or : HB ≈ 16,03 m et HA = 8 m. Hauteur = 16,03 + 8 = 24,03 m Donc : la grue mesure environ 24,03 m.

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Exercice 4 – Lucky Luke 🤠

Arctan

Pour toucher le chapeau d'Averell, Lucky Luke doit incliner son pistolet avec précision. Les deux cow-boys se tiennent perpendiculairement au sol.

📋 Données

Taille d'Averell : 7 pieds = 2,13 m

Distance du sol au pistolet : PS = 1 m

Distance du pistolet à Averell : PA = 6 m

Le triangle PAC est rectangle en A.

1. Calculer l'angle d'inclinaison \(\widehat{APC}\) formé par la trajectoire de la balle et l'horizontale. Arrondir au degré près.

💡 Indices

Pour trouver le côté opposé du triangle, réfléchis à la différence de hauteur entre le pistolet et le chapeau d'Averell.

Identifie les deux côtés connus par rapport à l'angle en P, puis choisis la formule trigonométrique.

Calcul de l'angle \(\widehat{APC}\)

On a : Le triangle PAC est rectangle en A. Le pistolet P est à 1 m du sol. Le chapeau C est à 2,13 m du sol. Donc AC = 2,13 − 1 = 1,13 m (côté opposé à \(x\) en P). PA = 6 m (côté adjacent à \(x\) en P). Or : tan(\(x\)) = ACPA = 1,136 \(x\) = arctan(1,136) \(x\) ≈ 10,7° ≈ 11° Donc : Lucky Luke doit incliner son pistolet d'environ 11° par rapport à l'horizontale.