Trigonométrie 3ème : cours et exercices corrigés

I. Hypoténuse, opposé et adjacent

📘 Définition

Dans un triangle rectangle, le côté face à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse.

Si on considère un angle \(a\) autre que l'angle droit :

• Le côté face à cet angle s'appelle l'opposé.
• Le dernier côté (à côté de \(a\), sans être l'hypoténuse) s'appelle l'adjacent.

✏️ Exemple

Dans le triangle ABC ci-dessous (angle droit en A), donner l'hypoténuse, l'opposé de \(\widehat{ABC}\) ainsi que l'adjacent de \(\widehat{ABC}\).

L'angle droit est en A → l'hypoténuse est le côté en face : BC.

Pour l'angle \(\widehat{ABC}\) situé en B :

L'opposé est le côté en face de B : AC.
L'adjacent est l'autre côté partant de B (pas l'hypoténuse) : AB.

II. Fonctions cosinus, sinus et tangente

📘 Définition

Dans un triangle rectangle, pour un angle \(a\) donné, on a les trois égalités suivantes :

Cosinus — C·A·H

\(\cos(a) =\) adjacent de \(a\)hypoténuse

Sinus — S·O·H

\(\sin(a) =\) opposé de \(a\)hypoténuse

Tangente — T·O·A

\(\tan(a) =\) opposé de \(a\)adjacent de \(a\)

C·A·H cos = adj/hyp

S·O·H sin = opp/hyp

T·O·A tan = opp/adj

✏️ Exemples

Triangle ABC rectangle en A, angle \(\widehat{ABC} = 35°\), BC = 9 cm.

Calculer AC

Hypoténuse : BC · Adjacent à B̂ : BA · Opposé à B̂ : AC

On a : Le triangle ABC est rectangle en A. Or : sin(35°) = ACBC sin(35°)1 = AC9 AC = sin(35°) × 9 ÷ 1 AC ≈ 5,2 Donc : AC mesure environ 5,2 cm.

À retenir : Côté opposé + Hypoténuse → sinus. Ici AC est au numérateur, donc on multiplie par l'hypoténuse.

Calculer AB

Hypoténuse : BC · Adjacent à B̂ : BA · Opposé à B̂ : AC

On a : Le triangle ABC est rectangle en A. Or : cos(35°) = BABC cos(35°)1 = BA9 BA = cos(35°) × 9 ÷ 1 BA ≈ 7,4 Donc : BA mesure environ 7,4 cm.

À retenir : Côté adjacent + Hypoténuse → cosinus. Ici BA est au numérateur, donc on multiplie par l'hypoténuse.

💡 Remarques

Ces fonctions servent à trouver une longueur dans un triangle rectangle.
Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.

III. Fonctions arccos, arcsin et arctan

📘 Définition

Quand on connaît deux côtés d'un triangle rectangle et qu'on cherche un angle, on utilise les fonctions réciproques :

Arccosinus

Si \(\cos(a) = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\)

\(a = \arccos\!\left(\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\right)\)

Arcsinus

Si \(\sin(a) = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}\)

\(a = \arcsin\!\left(\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}\right)\)

Arctangente

Si \(\tan(a) = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}\)

\(a = \arctan\!\left(\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}\right)\)

✏️ Exemples

Déterminer \(\widehat{ACB}\) au degré près

Hypoténuse : BC = 4,7 cm · Opposé à C : BA = 2,7 cm

BA est en face de C et BC est l'hypoténuse → on utilise arcsin.

On a : Le triangle ABC est rectangle en A. Or : \(\sin(\widehat{ACB}) = \dfrac{BA}{BC} = \dfrac{2{,}7}{4{,}7}\) \(\widehat{ACB} = \arcsin\!\left(\dfrac{2{,}7}{4{,}7}\right)\) \(\widehat{ACB} \approx \mathbf{35°}\) Donc : \(\widehat{ACB}\) mesure environ 35°.

À retenir : Opposé + Hypoténuse → sinus, donc l'angle s'obtient avec arcsin.

Déterminer \(\widehat{EFD}\) au degré près

Hypoténuse : EF = 5,4 cm · Opposé à F : ED = 4,9 cm

ED est en face de F et EF est l'hypoténuse → on utilise arcsin.

On a : Le triangle EFD est rectangle en D. Or : \(\sin(\widehat{EFD}) = \dfrac{ED}{EF} = \dfrac{4{,}9}{5{,}4}\) \(\widehat{EFD} = \arcsin\!\left(\dfrac{4{,}9}{5{,}4}\right)\) \(\widehat{EFD} \approx \mathbf{65°}\) Donc : \(\widehat{EFD}\) mesure environ 65°.

À retenir : Opposé + Hypoténuse → sinus, donc l'angle s'obtient avec arcsin.

💡 Remarque

Ces fonctions servent à trouver un angle dans un triangle rectangle.

🖩 Aides calculatrice

Cosinus / Sinus / Tangente

Appuyer directement sur :

cos sin tan

Arccosinus / Arcsinus / Arctangente

Appuyer sur 2nde puis :

cos→ arccos

sin→ arcsin

tan→ arctan