🟰 Feuille d'exercices n°1

Équations du premier degré — Résoudre, modéliser · Correction interactive

📊 Progression
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📚 Ce qu'il faut savoir
Résoudre une équation

On veut trouver la valeur de l'inconnue \(x\). Pour cela, on regroupe les termes en \(x\) d'un côté et les nombres de l'autre, puis on isole \(x\).

À chaque étape, on applique la même opération aux deux membres de l'équation.

Si l'équation est une égalité de deux quotients \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), on utilise l'égalité des produits en croix : \(a\times d=b\times c\).

La méthode des flèches

On repère le terme à supprimer (entouré en rouge), puis on applique l'opération inverse à gauche et à droite (les deux flèches).

On recommence jusqu'à obtenir \(x = \ldots\)

Modéliser un problème — On suit 4 étapes : 1) choisir l'inconnue \(x\), 2) traduire l'énoncé par une équation, 3) résoudre, 4) interpréter (répondre à la question).

Exercice 1Les deux boîtes

✓ Vu
On range des termes dans deux boîtes : la boîte des lettres (les termes avec \(x\)) et la boîte des nombres (les nombres seuls).
1
Redessine les deux boîtes dans ton cahier, puis range chaque terme ci-dessous dans la bonne boîte. Attention : le signe \(-\) reste collé au terme.
\(3x\)\(-8\)\(-x\)\(12\)\(7x\)\(-5x\)\(4\)\(-2\)\(x\)\(-9x\)\(15\)\(-6\)
🟥 La boîte des lettres
à compléter…
🟩 La boîte des nombres
à compléter…
Un terme qui contient la lettre \(x\) va dans la boîte des lettres (même \(-x\) ou \(x\) tout seul). Un nombre sans lettre va dans la boîte des nombres.
🟥 La boîte des lettres
\(3x\)\(-x\)\(7x\)\(-5x\)\(x\)\(-9x\)
🟩 La boîte des nombres
\(-8\)\(12\)\(4\)\(-2\)\(15\)\(-6\)
À quoi ça sert ? Pour résoudre une équation, on cherche à mettre tous les termes en \(x\) dans une boîte et tous les nombres dans l'autre. Savoir trier, c'est déjà savoir quoi supprimer à chaque étape.

Exercice 2Résoudre

✓ Vu
Résous chaque équation. Pense à vérifier ta solution à la fin.
a
\(3x + 5 = 20\)
b
\(5x + 2 = 2x + 4\)
c
\(5x - 4 = -2x + 10\)
d
\(4(x - 2) = 3x + 1\)
e
\(\dfrac{x}{6} = \dfrac{10}{4}\)
S'il y a des parenthèses (équation d), développe d'abord. Pour une égalité de deux quotients (équation e), pense aux produits en croix.
Supprime les \(x\) d'un côté, puis les nombres de l'autre, en appliquant la même opération aux deux membres (pour enlever \(-2x\), on ajoute \(2x\) des deux côtés).
Quand il reste \(\ldots \times x = \ldots\), divise les deux membres par le coefficient de \(x\).
a) \(3x + 5 = 20\)
\(3x + \) \(5\) \( = 20\)
\(-5\)
\(-5\)
\(3\)\(x = 15\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x = 5\)
La solution est \(x = 5\).
Vérification : \(3 \times 5 + 5 = 20\) ✓
b) \(5x + 2 = 2x + 4\)
\(5x + 2 = \) \(2x\) \( + 4\)
\(-2x\)
\(-2x\)
\(3x + \) \(2\) \( = 4\)
\(-2\)
\(-2\)
\(3\)\(x = 2\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x = \dfrac{2}{3}\)
La solution est \(x = \dfrac{2}{3}\).
Attention : \(\dfrac{2}{3}\) ne tombe pas juste. On laisse le résultat sous forme de fraction, c'est la valeur exacte ; on n'arrondit pas (sauf si l'énoncé le demande).
Vérification : gauche \(5\times\dfrac{2}{3}+2 = \dfrac{16}{3}\) ; droite \(2\times\dfrac{2}{3}+4 = \dfrac{16}{3}\) ✓
c) \(5x - 4 = -2x + 10\)
Le terme \(-2x\) est à droite : pour le supprimer, on ajoute \(2x\) aux deux membres.
\(5x - 4 = \) \(-2x\) \( + 10\)
\(+2x\)
\(+2x\)
\(7x\) \(-4\) \( = 10\)
\(+4\)
\(+4\)
\(7\)\(x = 14\)
\(\div 7\)
\(\div 7\)
\(x = 2\)
La solution est \(x = 2\).
Vérification : gauche \(5\times2-4 = 6\) ; droite \(-2\times2+10 = 6\) ✓
d) \(4(x - 2) = 3x + 1\)
\(4(x - 2) = 3x + 1\)
On développe le membre de gauche :
\(4x - 8 = \) \(3x\) \( + 1\)
\(-3x\)
\(-3x\)
\(x\) \(-8\) \( = 1\)
\(+8\)
\(+8\)
\(x = 9\)
La solution est \(x = 9\).
Vérification : gauche \(4\times(9-2) = 28\) ; droite \(3\times9+1 = 28\) ✓
e) \(\dfrac{x}{6} = \dfrac{10}{4}\)
\(\dfrac{x}{6} = \dfrac{10}{4}\)
Égalité des produits en croix :
\(x \times 4 = 6 \times 10\)
\(4\)\(x = 60\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(x = 15\)
La solution est \(x = 15\).
Vérification : \(\dfrac{15}{6} = 2{,}5\) et \(\dfrac{10}{4} = 2{,}5\) ✓

Exercice 3Programmes de calcul

✓ Vu
Voici deux programmes de calcul. Le programme A est écrit en français, le programme B est un script Scratch.
Programme A
  • Choisir un nombre
  • Lui ajouter \(2\)
  • Multiplier le tout par \(4\)
Programme B
quand cliqué
demander Choisis un nombre et attendre
mettre nombre à réponse
mettre résultat à nombre * 2
ajouter 20 à résultat
dire résultat
1
On choisit le nombre \(3\). Quel résultat donne chaque programme ?
2
On choisit un nombre \(x\). Exprime en fonction de \(x\) le résultat de chaque programme.
3
Avec le programme A, on obtient \(28\) à l'arrivée. Quel nombre a été choisi au départ ? Écris puis résous une équation.
4
Pour quel nombre les deux programmes donnent-ils le même résultat ? Résous l'équation.
5
Factorise les expressions : a) \(4x + 8\)    b) \(6x + 9\).
« Ajouter \(2\) » puis « multiplier par \(4\) » se traduit par \(4(x+2)\). On développe : \(4(x+2) = 4x + 8\).
Dans le script Scratch, \(\text{résultat}\) vaut d'abord \(\text{nombre} \times 2\), puis on ajoute \(20\).
Pour retrouver le nombre de départ, pars de \(4(x+2) = 28\), développe, puis résous.
« Même résultat » signifie que les deux expressions sont égales : écris l'équation.
1) Avec le nombre 3
Programme A : \(4 \times (3+2) = 4 \times 5 = 20\).
Programme B : \(3 \times 2 + 20 = 26\).
2) En fonction de \(x\)
Programme A : \(4(x+2)\). On développe : \(4(x+2) = 4x + 8\).
Programme B : \(2x + 20\). On peut aussi factoriser : \(2x + 20 = 2(x+10)\).
3) Retrouver le nombre de départ (programme A)
Le résultat du programme A vaut \(28\) : \(4(x+2) = 28\). On développe : \(4x + 8 = 28\).
\(4x +\) \(8\) \( = 28\)
\(-8\)
\(-8\)
\(4\)\(x = 20\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(x = 5\)
Le nombre choisi au départ est \(5\).
Vérification : \(4 \times (5+2) = 28\) ✓
4) Même résultat
On développe, puis on résout : \(4x + 8 = 2x + 20\).
\(4x + 8 = \) \(2x\) \( + 20\)
\(-2x\)
\(-2x\)
\(2x +\) \(8\) \( = 20\)
\(-8\)
\(-8\)
\(2\)\(x = 12\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 6\)
Les deux programmes donnent le même résultat pour le nombre \(6\).
Vérification : A \(= 4\times(6+2) = 32\) ; B \(= 2\times6+20 = 32\) ✓
5) Factoriser
a)  \(4x + 8 = 4 \times x + 4 \times 2 = 4(x + 2)\).
b)  \(6x + 9 = 3 \times 2x + 3 \times 3 = 3(2x + 3)\).

Exercice 4Triangle & programme

✓ Vu
Les côtés du triangle ci-dessous sont donnés en cm, en fonction d'un nombre \(x\). On dispose aussi d'un programme de calcul.
\(x+3\) \(x+4\) \(2x-2\)
Programme de calcul
  • Choisir un nombre \(x\)
  • Le multiplier par \(6\)
  • Enlever \(7\)
1
Exprime le périmètre du triangle en fonction de \(x\), puis réduis l'expression.
2
Exprime en fonction de \(x\) le résultat du programme de calcul.
3
Pour quelle valeur de \(x\) le résultat du programme est-il égal au périmètre du triangle ? Résous l'équation.
4
Donne alors la longueur de chaque côté du triangle.
5
Calcule le périmètre et la longueur de chaque côté du triangle pour \(x = 1\). Que remarques-tu ?
Le périmètre, c'est la somme des trois côtés : additionne les trois expressions puis regroupe les \(x\) et les nombres.
« Multiplier par \(6\) » puis « enlever \(7\) » se traduit par \(6x - 7\).
« Égal au périmètre » : pose l'égalité entre les deux expressions, puis résous.
1) Périmètre du triangle
\(P = (x+3) + (x+4) + (2x-2)\)
\(P = x + x + 2x + 3 + 4 - 2 = 4x + 5\)
Le périmètre est \(4x + 5\) (en cm).
2) Résultat du programme
Multiplier \(x\) par \(6\) puis enlever \(7\) : \(6x - 7\).
3) Résultat = périmètre
On cherche \(x\) tel que : \(6x - 7 = 4x + 5\).
\(6x - 7 = \) \(4x\) \( + 5\)
\(-4x\)
\(-4x\)
\(2x\) \(-7\) \( = 5\)
\(+7\)
\(+7\)
\(2\)\(x = 12\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 6\)
C'est pour \(x = 6\) que le résultat du programme égale le périmètre.
4) Longueur de chaque côté (pour \(x = 6\))
\(x + 3 = 9\) ; \(\quad x + 4 = 10\) ; \(\quad 2x - 2 = 10\).
Vérification : \(9 + 10 + 10 = 29\) cm, et \(6 \times 6 - 7 = 29\) ✓
5) Pour \(x = 1\)
Côtés : \(x+3 = 4\) ; \(x+4 = 5\) ; \(2x-2 = 0\).
Périmètre : \(4 \times 1 + 5 = 9\) cm (ou \(4 + 5 + 0 = 9\)).
⚠ Un côté vaut \(0\) ! Pour \(x = 1\), le triangle est « aplati » : ce n'est pas un vrai triangle. Toutes les valeurs de \(x\) ne conviennent donc pas.

Exercice 5Problème — modélisation

✓ Vu
Léo et Jade économisent pour un cadeau commun. Ensemble, ils ont \(45\) €. Léo a \(7\) € de plus que Jade.
1
Choisis une inconnue \(x\) et dis ce qu'elle représente.
2
Traduis l'énoncé par une équation.
3
Résous cette équation.
4
Combien chacun a-t-il économisé ?
Prends comme inconnue la plus petite part, celle de Jade : \(x\).
Léo a \(7\) € de plus que Jade : sa part est \(x + 7\).
« Ensemble \(45\) € » : additionne les deux parts et pose l'équation.
Étape 1 — Inconnue : on pose \(x = \) la somme économisée par Jade (en €).
Étape 2 — Traduction :
• Jade : \(x\)
• Léo : \(x + 7\) (\(7\) € de plus)
• Ensemble : \(x + (x + 7) = 45\), soit \(2x + 7 = 45\).
Étape 3 — Résolution :
\(2x + \) \(7\) \( = 45\)
\(-7\)
\(-7\)
\(2\)\(x = 38\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 19\)
Étape 4 — Interprétation :
Jade a économisé \(19\) € et Léo \(19 + 7 = 26\) €.
Vérification : \(19 + 26 = 45\) € ✓
Jade a \(19\) € et Léo a \(26\) €.
🎉
Bravo, tu as tout vu !
⭐⭐⭐

Tu as consulté toutes les corrections. Refais maintenant les exercices seul(e) : à chaque étape, repère le terme à supprimer et applique la même opération des deux côtés.

✓ 5 exercices 🟰 Méthode des flèches
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