⚖️ Feuille d'exercices n°2

Inéquations du premier degré — Résoudre, retourner le sens, modéliser · Correction interactive

📊 Progression
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📚 Ce qu'il faut savoir
Résoudre une inéquation

Comme pour une équation, on isole \(x\) en appliquant la même opération aux deux membres.

Les solutions ne sont pas un seul nombre, mais tous les nombres vérifiant une condition, par exemple \(x \le 4\) ou \(x > -2\).

⚠ Le piège du signe −

Quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, on doit changer le sens de l'inéquation : \(\le\) devient \(\ge\), \(<\) devient \(>\)…

Ajouter ou soustraire ne change jamais le sens.

La droite graduée — On représente les solutions sur une droite : un point plein ● (valeur comprise) pour \(\le\) ou \(\ge\), un point vide ○ (valeur non comprise) pour \(<\) ou \(>\), et on colorie le côté des solutions.

Exercice 1Sans piège

✓ Vu
Résous chaque inéquation, puis représente les solutions sur une droite graduée.
a
\(x + 5 \le 9\)
b
\(3x < 12\)
c
\(2x + 1 \ge 7\)
d
\(5x - 2 > 3x + 6\)
On procède comme pour une équation : on isole \(x\), une opération à la fois, des deux côtés.
Ici, on ne divise que par des nombres positifs : le sens de l'inéquation ne change pas.
a) \(x + 5 \le 9\)
\(x + \) \(5\) \( \le 9\)
\(-5\)
\(-5\)
\(x \le 4\)
Solutions : tous les nombres \(x \le 4\).
4
b) \(3x < 12\)
\(3\)\(x < 12\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x < 4\)
Solutions : tous les nombres \(x < 4\).
\(4\) est exclu (point vide).
4
c) \(2x + 1 \ge 7\)
\(2x + \) \(1\) \( \ge 7\)
\(-1\)
\(-1\)
\(2\)\(x \ge 6\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x \ge 3\)
Solutions : tous les nombres \(x \ge 3\).
3
d) \(5x - 2 > 3x + 6\)
\(5x - 2 > \) \(3x\) \( + 6\)
\(-3x\)
\(-3x\)
\(2x\) \(-2\) \( > 6\)
\(+2\)
\(+2\)
\(2\)\(x > 8\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x > 4\)
Solutions : tous les nombres \(x > 4\).
4

Exercice 2Les pièges du −

✓ Vu
Résous chaque inéquation. Attention au signe du coefficient de \(x\) au moment de diviser !
a
\(-2x \ge 8\)
b
\(-x + 3 < 5\)
c
\(4 - 3x \le 16\)
d
\(2x + 7 > 5x - 2\)
Isole d'abord le terme en \(x\) comme d'habitude (en ajoutant/soustrayant : ça ne change pas le sens).
Au moment de diviser par le coefficient de \(x\) : s'il est négatif, change le sens de l'inéquation.
a) \(-2x \ge 8\)
\(-2\)\(x \ge 8\)
⚠ On divise par \(-2\) (négatif) : on change le sens.
\(\div(-2)\)
\(\div(-2)\)
\(x \le -4\)  (\(\ge \to \le\))
Solutions : tous les nombres \(x \le -4\).
-4
b) \(-x + 3 < 5\)
\(-x + \) \(3\) \( < 5\)
\(-3\)
\(-3\)
\(-1\)\(x < 2\)
⚠ On divise par \(-1\) (négatif) : on change le sens.
\(\div(-1)\)
\(\div(-1)\)
\(x > -2\)  (\(< \to >\))
Solutions : tous les nombres \(x > -2\).
-2
c) \(4 - 3x \le 16\)
\(4\) \( - 3x \le 16\)
\(-4\)
\(-4\)
\(-3\)\(x \le 12\)
⚠ On divise par \(-3\) (négatif) : on change le sens.
\(\div(-3)\)
\(\div(-3)\)
\(x \ge -4\)  (\(\le \to \ge\))
Solutions : tous les nombres \(x \ge -4\).
-4
d) \(2x + 7 > 5x - 2\)
\(2x + 7 > \) \(5x\) \( - 2\)
\(-5x\)
\(-5x\)
\(-3x + \) \(7\) \( > -2\)
\(-7\)
\(-7\)
\(-3\)\(x > -9\)
⚠ On divise par \(-3\) (négatif) : on change le sens.
\(\div(-3)\)
\(\div(-3)\)
\(x < 3\)  (\(> \to <\))
Solutions : tous les nombres \(x < 3\).
3
La règle : ajouter ou soustraire ne change rien au sens. Seule une division (ou multiplication) par un nombre négatif retourne l'inéquation.

Exercice 3Scratch à compléter

✓ Vu
Voici un programme de calcul. Dans un jeu, le lutin affiche « Trop grand ! » si le résultat dépasse \(20\), et « C'est bon ! » sinon. Le script Scratch ci-dessous doit faire la même chose, mais les cases ? sont à compléter.
Programme de calcul
  • Choisir un nombre
  • Lui ajouter \(1\)
  • Multiplier le tout par \(4\)
quand cliqué
demander Choisis un nombre et attendre
mettre nombre à réponse
mettre résultat à nombre + ?
mettre résultat à résultat * ?
si résultat > ? alors
dire Trop grand !
sinon
dire C'est bon !
1
Complète les cases du script Scratch pour qu'il soit équivalent au programme de calcul ci-dessus (et au test du jeu).
2
Le lutin affiche « C'est bon ! » quand le résultat ne dépasse pas \(20\). Pour quels nombres de départ \(x\) ? Résous l'inéquation \(4(x+1) \le 20\).
3
Quel est le plus grand nombre entier de départ pour lequel le lutin affiche « C'est bon ! » ?
4
Factorise les expressions : a) \(10x + 15\)    b) \(6x - 8\).
Le nombre choisi est dans la variable nombre (ligne 3). « Ajouter 1 », « multiplier par 4 » puis « dépasse 20 » donnent les cases à remplir.
Pour la question 2, développe \(4(x+1)\) puis résous l'inéquation (on divise par un positif, pas de retournement).
1) Script complété
quand cliqué
demander Choisis un nombre et attendre
mettre nombre à réponse
mettre résultat à nombre + 1
mettre résultat à résultat * 4
si résultat > 20 alors
dire Trop grand !
sinon
dire C'est bon !
Cases à remplir : ajouter 1, \(\times\,\)4, test \(>\,\)20.
2) Pour quels nombres « C'est bon ! » ?
Le résultat du programme est \(4(x+1) = 4x + 4\). « Ne dépasse pas \(20\) » : \(4x + 4 \le 20\).
\(4x + \) \(4\) \( \le 20\)
\(-4\)
\(-4\)
\(4\)\(x \le 16\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(x \le 4\)
Le lutin affiche « C'est bon ! » pour tous les nombres \(x \le 4\).
4
3) Le plus grand entier
Le plus grand entier vérifiant \(x \le 4\) est \(4\).
C'est le nombre \(4\) (on vérifie : \(4\times(4+1) = 20\), donc pas « trop grand »).
4) Factoriser
a)  \(10x + 15 = 5 \times 2x + 5 \times 3 = 5(2x + 3)\).
b)  \(6x - 8 = 2 \times 3x - 2 \times 4 = 2(3x - 4)\).

Exercice 4Deux offres

✓ Vu
Deux clubs d'escalade proposent des tarifs différents.
• Club A : \(5\) € par séance.
• Club B : un abonnement de \(18\) €, puis \(2\) € par séance.
1
On note \(n\) le nombre de séances. Exprime en fonction de \(n\) le prix payé dans chaque club.
2
Écris l'inéquation qui traduit « le club B coûte moins cher que le club A ».
3
Résous-la. À partir de combien de séances le club B est-il plus avantageux ?
Club A : \(5\) € à chaque séance → \(5n\). Club B : \(18\) € fixes plus \(2\) € par séance → \(18 + 2n\).
« B moins cher que A » s'écrit \(18 + 2n < 5n\). Résous, puis pense que \(n\) est un nombre entier de séances.
1) Prix de chaque club
Club A : \(5n\) (€).    Club B : \(18 + 2n\) (€).
2) Inéquation
« B coûte moins cher que A » : \(18 + 2n < 5n\).
3) Résolution
\(18 + \) \(2n\) \( < 5n\)
\(-2n\)
\(-2n\)
\(18 < \) \(3\)\(n\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(6 < n\)   c'est-à-dire \( n > 6\)
\(n\) est un nombre entier de séances : la première valeur qui convient est \(7\).
À partir de \(7\) séances, le club B est plus avantageux que le club A.
À retenir : comparer deux offres, c'est traduire « l'une coûte moins cher que l'autre » par une inéquation, puis la résoudre.

Exercice 5Problème — modélisation

✓ Vu
Un rectangle a une largeur de \(4\) cm et une longueur de \(x\) cm. On veut que son périmètre ne dépasse pas \(30\) cm.
4 \(x\)
1
Exprime le périmètre du rectangle en fonction de \(x\), puis réduis l'expression.
2
Traduis « le périmètre ne dépasse pas \(30\) cm » par une inéquation.
3
Résous cette inéquation.
4
Quelle est la plus grande longueur possible pour ce rectangle ?
Le périmètre d'un rectangle : \(2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})\), donc \(2 \times (x + 4)\).
« Ne dépasse pas \(30\) » s'écrit avec le symbole \(\le\).
Étape 1 — Inconnue : \(x\) = longueur du rectangle (en cm).
Étape 2 — Périmètre et inéquation :
Périmètre : \(P = 2 \times (x + 4) = 2x + 8\).
« Ne dépasse pas \(30\) » : \(2x + 8 \le 30\).
Étape 3 — Résolution :
\(2x + \) \(8\) \( \le 30\)
\(-8\)
\(-8\)
\(2\)\(x \le 22\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x \le 11\)
Étape 4 — Interprétation :
La longueur peut aller jusqu'à \(11\) cm. La plus grande longueur possible est \(11\) cm.
Vérification : pour \(x = 11\), \(P = 2\times(11+4) = 30\) cm ✓
La plus grande longueur possible est \(11\) cm.
🎉
Bravo, tu as tout vu !
⭐⭐⭐

Tu as consulté toutes les corrections. Le réflexe à garder : au moment de diviser, regarde le signe du coefficient de \(x\).

✓ 5 exercices ⚖️ Le piège du −
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