🟰 Feuille d'exercices n°3

Équations \(x^2 = a\) — et exercices mêlant équations, inéquations et \(x^2=a\) · Correction interactive

📊 Progression
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📚 Ce qu'il faut savoir
Résoudre \(x^2 = a\) — trois cas
si a > 0deux solutions
\(x = -\sqrt{a}\) et \(x = \sqrt{a}\)
si a = 0une solution
\(x = 0\)
si a < 0aucune solution
⚠ Les pièges

Si \(a > 0\), il y a deux solutions : ne pas oublier la négative. Si \(a < 0\), un carré n'étant jamais négatif, il n'y a aucune solution.

Pour une inéquation, diviser par un nombre négatif change le sens.

Reconnaître l'écriture

Avant de résoudre, repère le type :

• un \(x^2\) avec un \(=\) → équation \(x^2=a\) (trois cas)
• un \(=\) sans \(x^2\) → équation du 1er degré (méthode des flèches)
• un symbole \(<,\,>,\,\le,\,\ge\) → inéquation

Exercice 1Les trois cas

✓ Vu
Résous chaque équation. Place ensuite les solutions sur une droite graduée.
a
\(x^2 = 49\)
b
\(x^2 = 0\)
c
\(x^2 = -16\)
d
\(x^2 = 10\)
On isole d'abord \(x^2\) :
e
\(x^2 - 16 = 0\)
f
\(x^2 - 7 = 18\)
g
\(x^2 - 1 = 8\)
Regarde d'abord le signe de \(a\) pour savoir dans quel cas tu es (deux, une, ou aucune solution).
Quand \(\sqrt{a}\) ne tombe pas juste (comme \(\sqrt{10}\)), on laisse la racine carrée : c'est la valeur exacte.
Si l'équation n'est pas déjà sous la forme \(x^2 = a\) (lignes e, f, g), commence par isoler \(x^2\) : ajoute le nombre des deux côtés.
a) \(x^2 = 49\)
\(49 > 0\) : deux solutions. \(\sqrt{49} = 7\) (car \(7^2 = 49\)).
\(x = -7\)  ou  \(x = 7\).
0-77
b) \(x^2 = 0\)
\(a = 0\) : une seule solution.
\(x = 0\).
0
c) \(x^2 = -16\)
\(-16 < 0\) : un carré n'est jamais négatif.
Aucune solution.
d) \(x^2 = 10\)
\(10 > 0\) : deux solutions. Mais \(\sqrt{10}\) ne tombe pas juste : on garde la valeur exacte.
\(x = -\sqrt{10}\)  ou  \(x = \sqrt{10}\).
Valeurs approchées pour placer les points : \(\sqrt{10} \approx 3{,}16\).
0−√10√10
e) \(x^2 - 16 = 0\)
Ce n'est pas encore sous la forme \(x^2 = a\) : on isole \(x^2\) en ajoutant \(16\) aux deux membres.
\(x^2\) \(-16\) \( = 0\)
\(+16\)
\(+16\)
\(x^2 = 16\)
\(16 > 0\) : deux solutions, \(\sqrt{16} = 4\).
\(x = -4\)  ou  \(x = 4\).
f) \(x^2 - 7 = 18\)
\(x^2\) \(-7\) \( = 18\)
\(+7\)
\(+7\)
\(x^2 = 25\)
\(25 > 0\) : deux solutions, \(\sqrt{25} = 5\).
\(x = -5\)  ou  \(x = 5\).
g) \(x^2 - 1 = 8\)
\(x^2\) \(-1\) \( = 8\)
\(+1\)
\(+1\)
\(x^2 = 9\)
\(9 > 0\) : deux solutions, \(\sqrt{9} = 3\).
\(x = -3\)  ou  \(x = 3\).

Exercice 2Mélange : reconnaître & résoudre

✓ Vu
Pour chaque ligne : indique d'abord de quel type il s'agit (équation du 1er degré, inéquation, ou équation \(x^2=a\)), puis résous.
a
\(4x - 5 = 7\)
b
\(x^2 = 81\)
c
\(3x + 2 \le 14\)
d
\(x^2 = -5\)
e
\(-2x > 6\)
Pour trouver le type : y a-t-il un \(x^2\) ? un symbole \(<,>,\le,\ge\) ? ou juste un \(=\) sans carré ?
Pour les inéquations, surveille le signe du coefficient de \(x\) au moment de diviser (ligne e).
a) \(4x - 5 = 7\) équation 1er degré
\(4x\) \(-5\) \( = 7\)
\(+5\)
\(+5\)
\(4\)\(x = 12\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(x = 3\)
La solution est \(x = 3\).
b) \(x^2 = 81\) x² = a
\(81 > 0\) : deux solutions. \(\sqrt{81} = 9\).
\(x = -9\)  ou  \(x = 9\).
0-99
c) \(3x + 2 \le 14\) inéquation
\(3x + \) \(2\) \( \le 14\)
\(-2\)
\(-2\)
\(3\)\(x \le 12\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x \le 4\)
Solutions : tous les nombres \(x \le 4\).
4
d) \(x^2 = -5\) x² = a
\(-5 < 0\) : un carré n'est jamais négatif.
Aucune solution.
e) \(-2x > 6\) inéquation
\(-2\)\(x > 6\)
⚠ On divise par \(-2\) (négatif) : on change le sens.
\(\div(-2)\)
\(\div(-2)\)
\(x < -3\)  (\(> \to <\))
Solutions : tous les nombres \(x < -3\).
-3

Exercice 3Programme & Scratch

✓ Vu
Voici un programme de calcul. Le script Scratch ci-dessous doit faire la même chose, mais les cases ? sont à compléter.
Programme de calcul
  • Choisir un nombre
  • Ajouter \(3\)
  • Élever le résultat au carré
quand cliqué
demander Choisis un nombre et attendre
mettre nombre à réponse
mettre résultat à nombre + ?
mettre résultat à ? * ?
dire résultat
1
Complète les cases pour que le script soit équivalent au programme de calcul.
2
On choisit le nombre \(4\). Quel résultat le programme affiche-t-il ?
3
Le programme affiche \(49\). Quels nombres ont pu être choisis au départ ? Résous une équation.
4
Le programme peut-il afficher \(-9\) ? Justifie.
5
Factorise les expressions : a) \(5x + 20\)    b) \(x^2 + 3x\).
On ajoute \(3\) avant d'élever au carré : le résultat est \((x+3)^2\), pas \(x^2+3\).
Pour la question 3, tu dois résoudre \((x+3)^2 = 49\). Commence par \(x+3 = 7\) ou \(x+3 = -7\).
1) Script complété
quand cliqué
demander Choisis un nombre et attendre
mettre nombre à réponse
mettre résultat à nombre + 3
mettre résultat à résultat * résultat
dire résultat
On ajoute d'abord \(3\) (case \(+\,3\)), puis on multiplie le résultat par lui-même. Le résultat est donc \((x+3)^2\).
2) Avec le nombre 4
\(4 + 3 = 7\), puis \(7 \times 7 = 49\).
Le programme affiche \(49\).
3) Le programme affiche 49
Le résultat est \((x+3)^2\), on cherche les nombres tels que \((x+3)^2 = 49\).
\(49 > 0\) : deux cas. \(x + 3 = 7\)  ou  \(x + 3 = -7\).
\(x \) \(+3\) \( = 7\) ou \(x \) \(+3\) \( = -7\)
\(-3\)
\(-3\)
\(x = 4\) ou \(x = -10\)
Deux nombres possibles : \(x = -10\) ou \(x = 4\).
0-104
4) Afficher −9 ?
Cela reviendrait à résoudre \((x+3)^2 = -9\). Or un carré n'est jamais négatif : \(-9 < 0\), aucune solution.
Non : le programme ne peut jamais afficher un nombre négatif.
5) Factoriser
a)  \(5x + 20 = 5 \times x + 5 \times 4 = 5(x + 4)\).
b)  \(x^2 + 3x = x \times x + 3 \times x = x(x + 3)\).

Exercice 4Mélange : un carré, trois questions

✓ Vu
Un carré a un côté de longueur \(x\) cm. Les trois questions sont indépendantes (situations différentes).
\(x\)
1
Son aire est \(81\) cm². Quelle est la longueur du côté \(x\) ?
2
On veut que son périmètre ne dépasse pas \(28\) cm. Pour quelles valeurs de \(x\) ?
3
Un ruban fait le tour du carré (son périmètre). Il coûte \(2\) € par cm, plus \(5\) € de frais fixes. On a payé \(69\) €. Quelle est la longueur du côté ?
Aire d'un carré \(= x^2\) ; périmètre \(= 4x\).
Question 1 → équation \(x^2=a\) ; question 2 → inéquation ; question 3 → équation du 1er degré.
1) Aire = 81 cm² x² = a
Aire \(= x^2\), donc \(x^2 = 81\). \(81 > 0\) : \(x = -9\) ou \(x = 9\).
Attention : \(x\) est une longueur, donc \(x > 0\) : on garde \(x = 9\).
Le côté mesure \(9\) cm.
2) Périmètre ≤ 28 cm inéquation
Périmètre \(= 4x\), donc \(4x \le 28\).
\(4\)\(x \le 28\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(x \le 7\)
Le côté doit vérifier \(x \le 7\) (et \(x > 0\)).
7
3) Ruban payé 69 € équation 1er degré
Longueur du ruban \(= 4x\). Prix : \(2 \times 4x + 5 = 8x + 5\), égal à \(69\) : \(8x + 5 = 69\).
\(8x + \) \(5\) \( = 69\)
\(-5\)
\(-5\)
\(8\)\(x = 64\)
\(\div 8\)
\(\div 8\)
\(x = 8\)
Le côté mesure \(8\) cm.

Exercice 5Problème — mélange complet

✓ Vu
Un rectangle a une largeur \(x\) cm et une longueur égale au double de sa largeur.
\(2x\) \(x\)
1
Exprime l'aire et le périmètre du rectangle en fonction de \(x\) (réduis).
2
L'aire vaut \(50\) cm². Trouve la largeur \(x\).
3
Donne alors les dimensions (largeur et longueur) du rectangle.
4
On voudrait un périmètre qui ne dépasse pas \(24\) cm. Quelle condition sur \(x\) ? Le rectangle de la question 2 convient-il ?
Largeur \(x\), longueur \(2x\). Aire \(= 2x \times x\) ; périmètre \(= 2 \times (2x + x)\).
Question 2 → \(2x^2 = 50\) (ramène à \(x^2 = \ldots\)) ; question 4 → inéquation \(6x \le 24\).
1) Aire et périmètre
Aire \(= 2x \times x = 2x^2\).   Périmètre \(= 2 \times (2x + x) = 6x\).
2) L'aire vaut 50 cm² x² = a
\(2x^2 = 50\).
\(2\)\(x^2 = 50\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x^2 = 25\)
\(25 > 0\) : \(x = -5\) ou \(x = 5\). Comme \(x\) est une longueur, on garde \(x = 5\).
La largeur est \(x = 5\) cm.
3) Dimensions
Largeur \(5\) cm, longueur \(2 \times 5 = 10\) cm. (Vérif : \(10 \times 5 = 50\) cm² ✓)
4) Périmètre ≤ 24 cm inéquation
Périmètre \(= 6x\), donc \(6x \le 24\).
\(6\)\(x \le 24\)
\(\div 6\)
\(\div 6\)
\(x \le 4\)
Il faudrait \(x \le 4\) cm.
Lien avec la question 2 : le rectangle trouvé a \(x = 5\) cm, or \(5 > 4\) : son périmètre (\(6\times5 = 30\) cm) dépasse \(24\) cm. Il ne convient donc pas.
🎉
Bravo, tu as tout vu !
⭐⭐⭐

Tu as consulté toutes les corrections. Le réflexe : repérer le type (équation, inéquation, \(x^2=a\)), puis appliquer la bonne méthode.

✓ 5 exercices √ Trois notions mêlées
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