Transformations : Rotations et homothétie 3ème : Homothéties

📖 Ce qu'il faut savoir

Le rapport k d'une homothétie
Une homothétie de centre O et de rapport k transforme tout point M en un point M' tel que :

OM' = k × OM

• Si k > 0 : M' est du même côté que M par rapport à O.
• Si k < 0 : M' est du côté opposé à M par rapport à O.

Ce que fait k sur les figures
• k > 1 : l'image est plus grande, du même côté.
• 0 < k < 1 : l'image est plus petite, du même côté.
• k < −1 : l'image est plus grande, du côté opposé.
• −1 < k < 0 : l'image est plus petite, du côté opposé.
⚠️ La figure image est toujours semblable à la figure de départ.

Exercice 1 / 2

Quiz · Signe et valeur de k

✓ Vu

Pour chacune des figures ci-dessous, le centre d'homothétie O est indiqué, ainsi que la figure de départ (en bleu) et son image (en vert).

Détermine si le rapport k est positif ou négatif, et si |k| > 1, 0 < |k| < 1 ou |k| > 1 du côté négatif.

💡 Indice – débloque-les un par un

Pour savoir si k est positif ou négatif, regarde où se trouve l'image par rapport au centre O : est-elle du même côté que la figure de départ, ou du côté opposé ?

Pour la valeur de |k|, compare la taille de l'image à celle de la figure de départ. L'image est-elle plus grande, plus petite, ou de taille similaire à l'originale ?

🗝 Comment reconnaître le signe de k

Signe de k :
Trace la droite qui passe par O et par un sommet de la figure. Si l'image se trouve du même côté que la figure par rapport à O → k est positif. Si elle se trouve de l'autre côté → k est négatif.

Valeur de |k| :
Mesure (ou compare) une longueur de la figure et la longueur correspondante dans l'image.
|k| = longueur image ÷ longueur originale.
• Si l'image est plus grande → |k| > 1
• Si l'image est plus petite → |k| < 1

Les 4 cas à connaître :
🔵 k > 1 : même côté, image plus grande.
🟢 0 < k < 1 : même côté, image plus petite.
🔴 k < −1 : côté opposé, image plus grande.
🟡 −1 < k < 0 : côté opposé, image plus petite.

Exercice 2 / 2

Propriétés · Aires & Volumes

✓ Vu

Lors d'une homothétie de rapport k, toutes les longueurs de la figure sont multipliées par le même nombre. Mais que se passe-t-il pour les aires et les volumes ?
Explore avec le curseur ci-dessous, puis réponds aux questions.

⚙️ Choisis le rapport :

k = 2

Figure originale

× 2
→

Image (homothétique)

Longueurs × 2 — Aires × 4 — Volumes × 8

Réponds aux questions :

💡 Indice – débloque-les un par un

L'aire se calcule en multipliant deux longueurs (longueur × largeur, ou base × hauteur ÷ 2…). Si chaque longueur est multipliée par k, que devient le produit de deux longueurs ?

Le volume se calcule en multipliant trois longueurs. Si chaque longueur est multipliée par k, que devient le produit de trois longueurs ? Remarque le lien avec les puissances de k.

🔑 La règle fondamentale

Longueurs : multipliées par le rapport k (en valeur numérique, sans tenir compte du signe).
Exemple (k = 3) : un segment de 4 cm devient 4 × 3 = 12 cm.
Exemple (k = −3) : même résultat — le segment mesure aussi 12 cm (le signe inverse le sens, pas la longueur).

Aires : multipliées par le carré du rapport (k²).
L'aire s'exprime avec deux dimensions (longueur × largeur).
Chacune est multipliée par k, donc l'aire est multipliée par k × k = k².
Exemple (k = 3) : une aire de 6 cm² devient 6 × 9 = 54 cm².
Exemple (k = −3) : même résultat — k² = (−3)² = 9, l'aire est toujours positive.

Volumes : multipliés par le cube du rapport (k³).
Le volume s'exprime avec trois dimensions.
Chacune est multipliée par k, donc le volume est multiplié par k × k × k = k³.
Exemple (k = 3) : un volume de 10 cm³ devient 10 × 27 = 270 cm³.

À retenir :
• Longueurs × k (valeur numérique)
• Aires × k²
• Volumes × k³
⚠️ Comme k² et k³ avec k négatif donnent toujours une aire et un volume positifs, le signe de k n'a pas d'effet sur les mesures d'aire et de volume !