Transformations — partie 2

Homothétie

I. Homothétie
1. Définition et construction
📘 Définition

Transformer une figure par homothétie revient à agrandir ou réduire cette figure.

Une homothétie est définie par :

  • Un centre
  • Un nombre non nul appelé rapport de l'homothétie
✏️ Exemple 1

Construire l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport 2.

Triangle ABC et centre O — rapport 2
Données initiales
Construction de l'image A'B'C' par homothétie de rapport 2
Image A'B'C' — rapport 2
📐 Méthode — Construire l'image d'un point
  1. Tracer la demi-droite [OA).
  2. Reporter sur cette demi-droite la distance OA′ telle que OA′ = k × OA (ici k = 2).
  3. A' est le point obtenu sur la demi-droite.
  4. Répéter pour B et C, puis relier A', B', C'.
💡 Rapport positif : A' est du même côté que A par rapport à O.
✏️ Exemple 2

Construire l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport \(-2\).

Triangle ABC et centre O — rapport -2
Données initiales
Construction de l'image par homothétie de rapport -2
Image A'B'C' — rapport −2
💡 Rapport négatif : A' est de l'autre côté du centre O par rapport à A — on reporte la distance dans la direction opposée.
II. Propriétés
1. Rapport positif et rapport négatif
📗 Propriété

Rapport positif : la figure transformée est du même côté du centre par rapport à la figure de départ.

Rapport négatif : la figure transformée est de l'autre côté du centre par rapport à la figure de départ.

2. Agrandissement et réduction
📗 Propriété
  • Si le rapport \(k\) est compris entre \(-1\) et \(1\), l'homothétie réduit la figure.
  • Si le rapport \(k\) est supérieur à \(1\) ou inférieur à \(-1\), l'homothétie agrandit la figure.
3. Conservation
📗 Propriété

Dans une homothétie de rapport \(k > 0\), l'alignement et la mesure des angles sont conservés.

Les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires par \(k^2\) et les volumes par \(k^3\).

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