Une expérience aléatoire est une expérience où intervient le hasard.
On ne peut pas prévoir le résultat à l'avance mais on peut lister les différentes possibilités, que l'on appelle « issues ».
Exemple : lancer un dé à 6 faces.
Les issues sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
On ne sait pas à l'avance quelle face va apparaître : c'est bien une expérience aléatoire.
La probabilité d'une issue peut s'interpréter comme la « proportion de chances » d'obtenir cette issue lors de l'expérience aléatoire.
| Faces | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilité | …\(\dfrac{1}{6}\) | …\(\dfrac{1}{6}\) | …\(\dfrac{1}{6}\) | …\(\dfrac{1}{6}\) | …\(\dfrac{1}{6}\) | …\(\dfrac{1}{6}\) | …1 |
Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité, on dit que les issues sont équiprobables.
Exemple : Grâce au tableau précédent, on en déduit que les issues d'un lancer de dé à 6 faces sont équiprobables.
Selon le résultat d'une expérience aléatoire, on dit qu'un évènement est réalisé ou non.
On peut poser A l'évènement : « Obtenir un 6 » sur un lancer de dé à 6 faces.
La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des issues qui le réalisent. Si A est l'évènement, alors la probabilité de réaliser l'évènement A se note P(A).
La seule issue qui réalise A est le 6, dont la probabilité est \(\dfrac{1}{6}\).
Dans une expérience d'équiprobabilité, la probabilité d'un évènement A vaut :
Les issues qui réalisent B sont : 2, 4 et 6. Il y en a 3 sur 6 issues au total.
Évènement impossible : « Obtenir un 7 ».
Un dé à 6 faces ne peut jamais donner 7, donc P(« obtenir un 7 ») = 0.
Évènement certain : « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 6 ».
Toutes les faces (1, 2, 3, 4, 5, 6) vérifient cette condition, donc P(« obtenir un nombre ≤ 6 ») = 1.
On dit que deux évènements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
A : « Obtenir un nombre pair » et B : « Obtenir un nombre impair ».
Un résultat ne peut pas être à la fois pair et impair : A et B sont incompatibles.
Si deux évènements A et B sont incompatibles, la probabilité pour que l'un ou l'autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités :
A et B sont incompatibles : on ne peut pas obtenir 2 et 5 en même temps.
L'évènement contraire d'un évènement A est l'évènement qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. On le note \(\overline{\mathrm{A}}\).
A : « Obtenir un multiple de 3 », c'est-à-dire obtenir 3 ou 6.
\(\overline{\mathrm{A}}\) : « Ne pas obtenir un multiple de 3 », c'est-à-dire obtenir 1, 2, 4 ou 5.
Soit A : « Obtenir un multiple de 3 ». Les issues favorables sont 3 et 6, soit 2 issues sur 6.
L'évènement contraire \(\overline{\mathrm{A}}\) est « Obtenir 1, 2, 4 ou 5 ».
Les multiples de 4 entre 1 et 10 sont : 4 et 8. Il y en a 2 sur 10 cartes.
\(\overline{\mathrm{A}}\) est l'évènement « Ne pas obtenir un multiple de 4 ».
Lorsqu'une expérience est répétée avec deux épreuves qui s'enchaînent, on peut traiter le problème avec un tableau à double entrée.
| 1er \ 2e | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | …NON | …NON | …NON | …NON | …NON | …NON |
| 2 | …NON | …OUI | …NON | …OUI | …NON | …OUI |
| 3 | …NON | …NON | …NON | …NON | …NON | …NON |
| 4 | …NON | …OUI | …NON | …OUI | …NON | …OUI |
| 5 | …NON | …NON | …NON | …NON | …NON | …NON |
| 6 | …NON | …OUI | …NON | …OUI | …NON | …OUI |
Quelle est la probabilité de tomber sur deux nombres pairs ?
Le tableau comporte 36 cases au total (6 × 6), chacune correspondant à une issue également probable.
On compte 9 cases OUI (lignes 2, 4, 6 croisées avec colonnes 2, 4, 6).