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Statistiques (1) — Organiser et résumer : effectifs, fréquences, moyenne · Correction interactive

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📚 Ce qu'il faut savoir
Effectif et fréquence

L'effectif d'une valeur, c'est le nombre de fois qu'elle apparaît. L'effectif total, c'est le nombre total de données.

La fréquence d'une valeur est sa part dans l'ensemble : effectif \(\div\) effectif total. On l'exprime souvent en pourcentage.

La moyenne

Calculer une moyenne, c'est résumer toute une série par un seul nombre, comme si les valeurs étaient toutes égales.

Moyenne simple : somme des valeurs \(\div\) nombre de valeurs.

La moyenne pondérée — Parfois les valeurs n'ont pas le même « poids » : soit parce qu'une même valeur revient plusieurs fois (tableau d'effectifs), soit parce qu'on leur attribue des coefficients. Dans les deux cas, on multiplie chaque valeur par son poids (effectif ou coefficient), on additionne, puis on divise par le total des poids.

Exercice 1Frères et sœurs

✓ Vu
On a demandé à chaque élève d'une classe de 3ᵉ combien il a de frères et sœurs. Voici les réponses :
1 – 0 – 2 – 1 – 3 – 1 – 2 – 0 – 1 – 4 – 2 – 1 – 0 – 2 – 1 – 3 – 1 – 2 – 2 – 0 – 1 – 1 – 2 – 3 – 1
1
Combien d'élèves y a-t-il dans cette classe ?
2
Recopier et compléter ce tableau d'effectifs.
Nombre de frères et sœurs01234
Effectif?????
3
Quelle est la réponse la plus fréquente ? Combien d'élèves ont \(3\) frères et sœurs ou plus ?
Pour remplir le tableau, compte combien de fois chaque valeur \(0, 1, 2, 3, 4\) apparaît dans la liste.
Vérifie ton tableau : la somme des effectifs doit être égale au nombre d'élèves.
« \(3\) ou plus », ce sont les élèves qui ont \(3\) frères et sœurs et ceux qui en ont \(4\).
1) Nombre d'élèves
En comptant toutes les réponses de la liste, on trouve \(25\) réponses.
Il y a \(25\) élèves dans cette classe.
2) Tableau d'effectifs complété
Nombre de frères et sœurs01234
Effectif410731
Vérification : \(4+10+7+3+1 = 25\). On retrouve bien le nombre d'élèves.
3) Valeur la plus fréquente et « 3 ou plus »
L'effectif le plus grand est \(10\), pour la valeur \(1\).
\(3\) frères et sœurs ou plus : \(3 + 1 = 4\) élèves.
La réponse la plus fréquente est \(1\) frère ou sœur. \(4\) élèves en ont \(3\) ou plus.
À retenir : un tableau d'effectifs sert à organiser des données brutes. La somme des effectifs doit toujours redonner l'effectif total.

Exercice 2Venir au collège

✓ Vu
On a demandé à \(40\) élèves comment ils viennent au collège le matin. Voici les résultats.
Moyen de transportÀ piedVéloBusVoiture
Effectif126184
1
Vérifier que l'effectif total est bien égal à \(40\).
2
Calculer la fréquence des élèves qui viennent en bus, puis l'exprimer en pourcentage.
3
Interpréter ce pourcentage par une phrase.
4
Quel moyen de transport est utilisé par \(30\) % des élèves ?
L'effectif total, c'est la somme de tous les effectifs du tableau.
Fréquence = effectif \(\div\) effectif total. Pour le pourcentage, multiplie le résultat par \(100\).
Question 4 : cherche quel effectif, divisé par \(40\), donne \(0{,}30\).
1) Effectif total
\(12 + 6 + 18 + 4 = 40\).
L'effectif total est bien \(40\) élèves.
2) Fréquence des élèves en bus
Fréquence = \(18 \div 40 = 0{,}45\), soit \(0{,}45 \times 100 = 45\) %.
La fréquence des élèves qui viennent en bus est \(0{,}45\), soit \(45\) %.
3) Interprétation
Parmi les \(40\) élèves interrogés, \(45\) % viennent au collège en bus (presque la moitié).
4) Moyen de transport à 30 %
À pied : \(12 \div 40 = 0{,}30 = 30\) %.
\(30\) % des élèves viennent à pied.
À retenir : une fréquence est une proportion. Elle est toujours comprise entre \(0\) et \(1\) (ou entre \(0\) % et \(100\) %), et la somme de toutes les fréquences fait \(1\) (soit \(100\) %).

Exercice 3Les notes de Maxime

✓ Vu
Maxime a obtenu ces cinq notes en mathématiques ce trimestre (chaque note est sur \(20\)).
12 – 15 – 8 – 14 – 11
1
Calculer la moyenne de Maxime ce trimestre.
2
La moyenne de sa classe est de \(10{,}5\). Que peut-on dire des résultats de Maxime par rapport à sa classe ?
3
Expliquer en une phrase ce que représente cette moyenne de classe de \(10{,}5\).
Additionne les \(5\) notes, puis divise la somme par \(5\) (le nombre de notes).
Question 2 : il suffit de comparer la moyenne de Maxime avec \(10{,}5\).
1) Moyenne de Maxime
\((12 + 15 + 8 + 14 + 11) \div 5 = 60 \div 5 = 12\).
La moyenne de Maxime est \(12\) sur \(20\).
2) Maxime par rapport à sa classe
Maxime a \(12\), la classe a \(10{,}5\). Or \(12 > 10{,}5\).
Maxime est au-dessus de la moyenne de sa classe.
3) Interprétation de la moyenne de classe
Une moyenne de \(10{,}5\) signifie que si tous les élèves avaient eu la même note, chacun aurait \(10{,}5\). C'est un seul nombre qui résume toutes les notes de la classe.
À retenir : la moyenne ne dit pas que tout le monde a cette note ! C'est un équilibre : certains élèves sont au-dessus, d'autres en dessous.

Exercice 4Le bulletin d'Hugo

✓ Vu
Au 2ᵉ trimestre, Hugo a obtenu les notes suivantes en mathématiques (chaque note est sur \(20\)). Chaque évaluation a un coefficient.
ÉvaluationDevoir maisonContrôleBrevet blanc
Note17148
Coefficient113
1
Calculer la moyenne d'Hugo en tenant compte des coefficients.
2
Quelle aurait été sa moyenne si les trois notes comptaient de la même façon (moyenne simple) ?
3
Expliquer pourquoi les deux résultats sont différents.
Multiplie chaque note par son coefficient, additionne, puis divise par la somme des coefficients.
Moyenne simple : additionne les trois notes et divise par \(3\).
Regarde quelle note a le plus gros coefficient : elle « pèse » plus lourd dans la moyenne.
1) Moyenne avec les coefficients
Note × coefficient : \(17 \times 1 = 17\), \(14 \times 1 = 14\), \(8 \times 3 = 24\).
Somme : \(17 + 14 + 24 = 55\). Somme des coefficients : \(1 + 1 + 3 = 5\).
Moyenne : \(55 \div 5 = 11\).
La moyenne d'Hugo, avec les coefficients, est \(11\) sur \(20\).
2) Moyenne simple
\((17 + 14 + 8) \div 3 = 39 \div 3 = 13\).
Sans les coefficients, sa moyenne serait \(13\).
3) Pourquoi une différence ?
Le brevet blanc compte coefficient \(3\) : la note \(8\), la plus faible, « pèse » trois fois plus lourd que les autres et tire la moyenne vers le bas.
À retenir : pour une moyenne pondérée par coefficients, on divise par la somme des coefficients (ici \(5\)), pas par le nombre de notes (\(3\)).

Exercice 5Deux classes, un contrôle — brevet

✓ Vu
Les classes de 3ᵉA et de 3ᵉB ont passé le même contrôle, noté sur \(20\).
• La 3ᵉA (\(30\) élèves) a obtenu une moyenne de \(13\).
• Voici les résultats de la 3ᵉB (\(20\) élèves) :
Note (3ᵉB)68111416
Effectif24842
1
Calculer la moyenne de la 3ᵉB à ce contrôle.
2
Quelle classe a les meilleurs résultats en moyenne ? Justifier.
3
Camille, en 3ᵉB, a obtenu \(11\). Est-elle au-dessus ou en dessous de la moyenne de sa classe ? Et par rapport à la 3ᵉA ?
4
Peut-on en conclure que tous les élèves de 3ᵉA ont mieux réussi que ceux de 3ᵉB ? Expliquer.
5
Calculer la moyenne de l'ensemble des élèves des deux classes réunies.
Attention à la question 5 : on ne calcule pas la moyenne des deux classes en faisant \((13 + 11) \div 2\). Les deux classes n'ont pas le même nombre d'élèves !
Question 1 : chaque note × son effectif, on additionne, puis on divise par \(20\).
Question 2 : compare les deux moyennes, \(13\) et celle que tu viens de trouver.
Question 4 : une moyenne compare des groupes… pas des élèves un par un. Pense à un élève de 3ᵉB qui aurait eu \(16\).
Question 5 : calcule le total des points de chaque classe (moyenne \(\times\) effectif), puis divise par le nombre total d'élèves.
1) Moyenne de la 3ᵉB
Note68111416
Effectif24842
Note × Effectif1232885632
Somme : \(12 + 32 + 88 + 56 + 32 = 220\).
Moyenne : \(220 \div 20 = 11\).
La moyenne de la 3ᵉB est \(11\) sur \(20\).
2) Quelle classe a les meilleurs résultats ?
On compare les moyennes : \(13\) (3ᵉA) et \(11\) (3ᵉB). Or \(13 > 11\).
En moyenne, c'est la 3ᵉA qui a les meilleurs résultats.
3) Le cas de Camille
Camille a \(11\), la moyenne de la 3ᵉB est \(11\) : elle est exactement dans la moyenne de sa classe.
Par rapport à la 3ᵉA : \(11 < 13\), donc elle est en dessous de la moyenne de la 3ᵉA.
Camille est dans la moyenne de la 3ᵉB, mais en dessous de la moyenne de la 3ᵉA.
4) Tous les élèves de 3ᵉA meilleurs ?
Non. La moyenne compare les classes dans leur ensemble, pas élève par élève. Un élève de 3ᵉB peut très bien avoir \(16\), donc faire mieux que beaucoup d'élèves de 3ᵉA.
Non : une meilleure moyenne ne veut pas dire que chaque élève a mieux réussi.
5) Moyenne des deux classes réunies
Attention au piège : ce n'est pas \((13 + 11) \div 2 = 12\), car les deux classes n'ont pas le même nombre d'élèves.
Total des points de la 3ᵉA : \(30 \times 13 = 390\).
Total des points de la 3ᵉB : \(20 \times 11 = 220\).
Ensemble : \((390 + 220) \div (30 + 20) = 610 \div 50 = 12{,}2\).
La moyenne des deux classes réunies est \(12{,}2\) sur \(20\).
À retenir : on ne fait pas la moyenne de deux moyennes en les additionnant et en divisant par \(2\) (sauf si les deux groupes ont le même effectif). Il faut pondérer par les effectifs. Ici, la 3ᵉA étant plus nombreuse, l'ensemble se rapproche de sa moyenne.

Exercice 6Difficile

✓ Vu
Noé a obtenu \(4\) notes ce trimestre, et sa moyenne est exactement \(11\). Il connaît trois de ses quatre notes : \(15\), \(8\) et \(12\).
1
Calculer la somme des quatre notes de Noé.
2
En déduire sa quatrième note.
3
Noé passe ensuite un cinquième devoir. Quelle note doit-il obtenir pour que la moyenne de ses cinq notes soit \(12\) ?
La moyenne, c'est la somme des notes \(\div\) le nombre de notes. Donc la somme = moyenne \(\times\) nombre de notes.
Enlève de cette somme les trois notes déjà connues.
Question 3 : recommence le même raisonnement, mais avec \(5\) notes et une moyenne de \(12\).
1) Somme des quatre notes
La moyenne est \(11\) pour \(4\) notes, donc la somme des notes = \(11 \times 4 = 44\).
La somme des quatre notes est \(44\).
2) La quatrième note
Somme des trois notes connues : \(15 + 8 + 12 = 35\). Quatrième note : \(44 - 35 = 9\).
La quatrième note de Noé est \(9\).
3) Note au cinquième devoir
Pour une moyenne de \(12\) sur \(5\) notes, il faut une somme de \(12 \times 5 = 60\). Les quatre premières notes font \(44\), donc il lui faut \(60 - 44 = 16\).
Noé doit obtenir \(16\) au cinquième devoir.
À retenir : pour retrouver une donnée manquante, on « remonte » de la moyenne à la somme : somme = moyenne \(\times\) nombre de valeurs.
🎉
Bravo, tu as tout vu !
⭐⭐⭐

Tu as consulté toutes les corrections. Refais les exercices seul(e) : compter les effectifs, calculer une fréquence, puis une moyenne… et surtout, apprends à interpréter ce que ces nombres racontent.

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