Statistiques (2) — Se situer dans une série : moyenne et médiane · Correction interactive
📊 Progression
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📚 Ce qu'il faut savoir
La médiane
La médiane partage une série rangée dans l'ordre croissant en deux groupes de même effectif : autant de valeurs en dessous qu'au-dessus.
Première chose à faire, toujours : ranger les valeurs dans l'ordre croissant.
Pair ou impair ?
Si le nombre de valeurs est impair, la médiane est la valeur du milieu.
S'il est pair, c'est la moyenne (demi-somme) des deux valeurs centrales — elle n'est alors pas forcément une valeur de la série.
Moyenne et médiane se complètent — La moyenne répartit équitablement le total entre toutes les valeurs ; une valeur exceptionnelle la tire vers le haut ou le bas. La médiane, elle, donne la valeur « du milieu » et résiste à ces valeurs extrêmes. Pour un grand jeu de données rangé en tableau, on repère la médiane grâce aux effectifs cumulés croissants (on additionne les effectifs au fur et à mesure).
Exercice 1Moyenne et médiane
✓ Vu
Lors de ses \(7\) derniers matchs, une joueuse de basket a marqué le nombre de points suivant :
12 – 9 – 24 – 11 – 13 – 10 – 12
1
Calculer la moyenne de points par match.
2
Déterminer la médiane de cette série.
3
La moyenne et la médiane sont différentes. Expliquer pourquoi, et dire laquelle représente le mieux un match « habituel ».
Moyenne : additionne les \(7\) valeurs, puis divise par \(7\).
La médiane est la valeur du milieu d'une série ordonnée : avec \(7\) valeurs (impair), ce sera la \(4\)ᵉ.
Regarde le match à \(24\) points : est-il habituel ? Quel effet a-t-il sur la moyenne ? sur la médiane ?
On range d'abord la série dans l'ordre croissant, puis on prend la valeur du milieu. \(7\) valeurs (impair) → la \(4\)ᵉ valeur (\(3\) avant, \(3\) après).
9 – 10 – 11 – 12 – 12 – 13 – 24
La médiane est \(12\) points.
3) Pourquoi sont-elles différentes ?
Le match à \(24\) points est exceptionnel. Il fait monter la moyenne (qui tient compte de toutes les valeurs), mais ne change presque pas la médiane, qui dépend seulement de la position centrale.
La médiane (\(12\)) représente mieux un match habituel : la moyenne (\(13\)) est « gonflée » par le match exceptionnel.
À retenir : la médiane résiste aux valeurs extrêmes, pas la moyenne. C'est pourquoi on donne souvent les deux pour décrire une série.
Exercice 2Un contrôle, un tableau
✓ Vu
Les \(25\) élèves d'une classe ont passé un contrôle noté sur \(20\). Voici les résultats.
Note
8
10
12
14
16
Effectif
3
5
9
5
3
1
Vérifier qu'il y a bien \(25\) élèves, puis calculer la moyenne de la classe (moyenne pondérée).
2
Recopier et compléter la ligne des effectifs cumulés croissants.
Note
8
10
12
14
16
Effectif cumulé croissant
?
?
?
?
?
3
En déduire la médiane des notes, puis l'interpréter.
Moyenne pondérée : chaque note × son effectif, on additionne, puis on divise par l'effectif total (\(25\)).
Effectif cumulé croissant : on additionne les effectifs au fur et à mesure (\(3\), puis \(3+5\), puis \(3+5+9\)…).
Avec \(25\) élèves (impair), la médiane est la note du \(13\)ᵉ élève. Les effectifs cumulés disent dans quelle colonne il se trouve.
1) Effectif total et moyenne
Effectif total : \(3 + 5 + 9 + 5 + 3 = 25\). Il y a bien \(25\) élèves.
Lecture : \(8\) élèves ont \(10\) ou moins ; \(17\) élèves ont \(12\) ou moins ; etc.
3) Médiane
\(25\) élèves (impair) → la médiane est la note du \(13\)ᵉ élève (il y a \(12\) élèves avant et \(12\) après).
D'après les effectifs cumulés : jusqu'à \(10\) on a \(8\) élèves, jusqu'à \(12\) on a \(17\) élèves. Le \(13\)ᵉ élève est donc dans la note \(12\).
La médiane des notes est \(12\).
Interprétation : la moitié de la classe a \(12\) ou moins, l'autre moitié \(12\) ou plus. Ici moyenne et médiane sont égales (\(12\)) : la série est bien équilibrée.
À retenir : les effectifs cumulés croissants servent à repérer rapidement où tombe la valeur centrale (la médiane) dans un grand jeu de données.
Exercice 3Deux classes — brevet
✓ Vu
Les classes A et B ont passé le même contrôle, noté sur \(20\).
Voici les \(10\) notes de la classe A :
11 – 17 – 8 – 20 – 9 – 13 – 6 – 11 – 15 – 10
Pour la classe B (\(20\) élèves, toutes les notes différentes), on connaît seulement :
Classe B
Moyenne
Médiane
Valeur
12
13
1
Calculer la moyenne de la classe A. Comparer les moyennes des deux classes.
2
Déterminer la médiane de la classe A. Comparer les médianes des deux classes.
3
Dans la classe B, combien d'élèves ont une note strictement supérieure à \(13\) ? Expliquer.
4
Les deux classes ont la même moyenne, mais pas la même médiane. Qu'est-ce que cela montre ?
Moyenne de A : additionne les \(10\) notes, divise par \(10\).
Médiane de A : \(10\) notes (pair) → une fois la série ordonnée, moyenne des \(5\)ᵉ et \(6\)ᵉ valeurs.
Question 3 : la médiane partage en deux. Si toutes les notes sont différentes, la moitié des \(20\) élèves sont au-dessus de la médiane.
Question 4 : si la moyenne est la même mais la médiane plus basse dans A, c'est que quelques notes élevées « gonflent » la moyenne de A.
1) Moyenne de la classe A
Somme : \(6+8+9+10+11+11+13+15+17+20 = 120\).
Moyenne : \(120 \div 10 = 12\).
La classe A a une moyenne de \(12\) — la même que la classe B.
2) Médiane de la classe A
On range d'abord les notes de la classe A :
6 – 8 – 9 – 10 – 11 – 11 – 13 – 15 – 17 – 20
\(10\) notes (pair) : les deux valeurs centrales sont la \(5\)ᵉ (\(11\)) et la \(6\)ᵉ (\(11\)).
Médiane = \((11 + 11) \div 2 = 11\).
Médiane de A = \(11\) ; médiane de B = \(13\). La classe B a une médiane plus élevée.
3) Élèves de B au-dessus de 13
La médiane de B est \(13\) : elle partage les \(20\) élèves en deux moitiés. Comme toutes les notes sont différentes, \(10\) élèves sont en dessous et \(10\) élèves au-dessus.
\(10\) élèves de la classe B ont plus de \(13\).
4) Ce que cela montre
Les deux classes ont la même moyenne (\(12\)), mais la classe A a une médiane plus basse (\(11\) contre \(13\)). Dans la classe A, quelques très bonnes notes (\(17\), \(20\)) « gonflent » la moyenne, alors que la moitié des élèves restent à \(11\) ou moins.
Une même moyenne peut cacher des répartitions très différentes : la médiane apporte une information que la moyenne, seule, ne donne pas.
À retenir : pour comparer deux séries, la moyenne ne suffit pas. La médiane dit où se situe la « moitié » des valeurs et complète la description.
Exercice 4Pour aller plus loin — quartiles & boîte à moustaches
✓ Vu
Deux classes ont relevé le temps de trajet (en minutes) de leurs élèves pour venir au collège.
Pour la classe A, déterminer la médiane, le premier quartile \(Q_1\) et le troisième quartile \(Q_3\).
2
Même travail pour la classe B. (Attention : le quart de l'effectif ne tombe pas sur un nombre entier.)
3
Tracer la boîte à moustaches de la classe A (sur un axe gradué en minutes).
4
À l'aide des quartiles, comparer les temps de trajet des deux classes.
Règle : \(Q_1\) est la valeur dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à \(\frac{n}{4}\) ; \(Q_3\) celle dont le rang atteint \(\frac{3n}{4}\).
Classe A (\(n=12\)) : \(\frac{12}{4}=3\) et \(\frac{3\times12}{4}=9\) sont entiers → \(Q_1\) = \(3\)ᵉ valeur, \(Q_3\) = \(9\)ᵉ valeur.
Classe B (\(n=11\)) : \(\frac{11}{4}=2{,}75\) → on arrondit au rang supérieur, soit le \(3\)ᵉ. \(\frac{3\times11}{4}=8{,}25\) → le \(9\)ᵉ.
Boîte à moustaches : un rectangle de \(Q_1\) à \(Q_3\), un trait pour la médiane, puis deux « moustaches » jusqu'au minimum et au maximum.
1) Classe A (12 élèves)
On range d'abord la série dans l'ordre croissant :
Les médianes sont proches (\(11\) min pour A, \(12\) min pour B). Mais l'écart entre \(Q_1\) et \(Q_3\) est plus grand pour B (\(6\) à \(18\), soit \(12\) min) que pour A (\(7\) à \(15\), soit \(8\) min).
Les temps de trajet de la classe B sont plus dispersés : la « boîte » centrale (la moitié des élèves) y est plus étalée que pour la classe A.
À retenir : la boîte à moustaches résume une série avec \(5\) nombres (minimum, \(Q_1\), médiane, \(Q_3\), maximum). La largeur de la boîte montre d'un coup d'œil si la moitié centrale des valeurs est resserrée ou étalée.
🎉
Bravo, tu as tout vu !
⭐⭐⭐
Tu as consulté toutes les corrections. Refais les exercices seul(e) : calculer une moyenne, trouver la médiane… et surtout, apprends à comparer ces deux indicateurs.