Statistiques – Leçon

I. Organiser et résumer une série de données

1) Vocabulaire

📘 Définition

Lors d'une étude statistique, on étudie sur une population un caractère qui peut prendre plusieurs valeurs.
L'effectif d'une valeur est le nombre de fois que cette valeur apparaît. L'effectif total est le nombre total de données.
La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total (souvent exprimée en pourcentage).

✏️ Exemple

On a interrogé 20 élèves de 3e sur leur animal préféré. Voici les réponses :

chat – chien – lapin – chien – oiseau – chat – chien – poisson – chat – lapin – chien – oiseau – chat – lapin – chien – poisson – oiseau – chat – lapin – chien.

1.La population étudiée est…
2.Le caractère étudié est…
3.Les valeurs possibles sont…
4.L'effectif total est…
5.L'effectif de la valeur « chien » est…
6.La fréquence de la valeur « chien » est…

1. La population : les 20 élèves de 3e interrogés.

2. Le caractère : l'animal préféré.

3. Les valeurs possibles : chat, chien, lapin, oiseau, poisson.

4. Effectif total : \(20\) élèves.

5. Effectif de « chien » : on compte \(6\) fois « chien ».

6. Fréquence de « chien » : \(6 \div 20 = 0{,}3 = 30\) %.

La fréquence est une proportion : la somme de toutes les fréquences fait \(1\) (soit \(100\) %).

2) La moyenne

📘 Définition

Pour calculer une moyenne : on additionne toutes les valeurs de la série et on divise par le nombre de valeurs.

moyenne \(= \dfrac{\text{somme des données}}{\text{effectif total}}\)

💬 Ce que ça dit : la moyenne résume toute la série par un seul nombre, comme si toutes les valeurs étaient égales.

✏️ Exemple

Un élève a obtenu les notes suivantes : \(12\) ; \(15\) ; \(7\) ; \(10\). Quelle est sa moyenne ?

\((12 + 15 + 7 + 10) \div 4 = 44 \div 4 = 11\).

La moyenne de l'élève est \(11\).

3) La moyenne pondérée

📘 Définition

Pour une moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son effectif (ou son coefficient), on additionne, puis on divise par l'effectif total (ou la somme des coefficients).

✏️ Exemple

En voulant recalculer sa moyenne, cet élève se rend compte que ses évaluations avaient des coefficients différents :

Note	12	15	7	10
Coefficient	2	1	1	2

Quelle est sa moyenne ?

\(12{\times}2 + 15{\times}1 + 7{\times}1 + 10{\times}2 = 24 + 15 + 7 + 20 = 66\).

Somme des coefficients : \(2 + 1 + 1 + 2 = 6\).

Moyenne pondérée : \(66 \div 6 = 11\).

La moyenne pondérée est \(11\).

👉 On divise par la somme des coefficients (ici \(6\)), et surtout pas par le nombre de notes (\(4\)).

II. Se situer dans une série de données

1) Les effectifs cumulés croissants

📘 Définition

Pour une série rangée dans l'ordre croissant, l'effectif cumulé croissant d'une valeur est le nombre de données inférieures ou égales à cette valeur. On les obtient en additionnant les effectifs au fur et à mesure.

✏️ Exemple

Compléter la ligne des effectifs cumulés croissants.

Note	8	10	12	14	16
Effectif	3	5	9	5	3
Effectif cumulé croissant	?	?	?	?	?

Note	8	10	12	14	16
Effectif	3	5	9	5	3
Effectif cumulé croissant	3	8	17	22	25

On additionne au fur et à mesure : \(3\) ; \(3{+}5{=}8\) ; \(8{+}9{=}17\) ; \(17{+}5{=}22\) ; \(22{+}3{=}25\).

Le dernier effectif cumulé (\(25\)) est l'effectif total.

2) La médiane

📘 Définition

Dans une série ordonnée, la médiane est un nombre qui partage cette série en deux groupes de même effectif (autant de valeurs en dessous qu'au-dessus).

💬 Ce que ça dit : la moitié des valeurs sont en dessous de la médiane, l'autre moitié au-dessus. Contrairement à la moyenne, elle n'est pas tirée par une valeur extrême.

📝 Méthode

on range d'abord les valeurs de la série dans l'ordre croissant ;
si le nombre de valeurs est impair, la médiane est la valeur du milieu ;
si le nombre de valeurs est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.

✏️ Exemple

Déterminer la médiane de chacune des séries suivantes.

Série 1

8 7 12 13 3

Série 2

6 4 13 10

Série 1 (5 valeurs — impair)

On range : \(3 - 7 - \mathbf{8} - 12 - 13\). La valeur du milieu est la \(3\)ᵉ.

La médiane de la série 1 est \(8\).

Série 2 (4 valeurs — pair)

On range : \(4 - \mathbf{6} - \mathbf{10} - 13\). Les deux valeurs centrales sont \(6\) et \(10\).

Médiane \(= (6 + 10) \div 2 = 8\).

La médiane de la série 2 est \(8\).

3) L'étendue

📘 Définition

L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Elle mesure la dispersion (l'écart entre les extrêmes).

💬 Ce que ça dit : elle indique si les valeurs sont resserrées (petite étendue) ou dispersées (grande étendue). Deux séries de même moyenne peuvent avoir des étendues très différentes.

✏️ Exemple

Calculer l'étendue de la série suivante : \(5\) ; \(12\) ; \(1\) ; \(0{,}1\) ; \(1{,}2\).

Plus grande valeur : \(12\). Plus petite : \(0{,}1\).

Étendue \(= 12 - 0{,}1 = 11{,}9\).

L'étendue de la série est \(11{,}9\).

4) Les quartiles (pour aller plus loin)

📘 Définition

Dans une série ordonnée, le premier quartile \(Q_1\) est la plus petite valeur telle qu'au moins un quart des données lui soient inférieures ou égales. De même, le troisième quartile \(Q_3\) correspond aux trois quarts.

💬 Ce que ça dit : les quartiles découpent la série ordonnée en quatre parts, chacune contenant environ un quart des valeurs. Ils affinent la médiane en montrant comment les données se répartissent.

📝 Méthode

On range la série. Le rang de \(Q_1\) est le plus petit entier supérieur ou égal à \(n \div 4\) ; celui de \(Q_3\) est le plus petit entier supérieur ou égal à \(3n \div 4\).

✏️ Exemple

Déterminer \(Q_1\) et \(Q_3\) de la série (8 valeurs) : \(7\) ; \(15\) ; \(4\) ; \(9\) ; \(12\) ; \(6\) ; \(18\) ; \(10\).

On range : \(4 - 6 - 7 - 9 - 10 - 12 - 15 - 18\) (\(n = 8\)).

\(Q_1\) : \(n \div 4 = 2\) → la \(2\)ᵉ valeur, soit \(6\).

\(Q_3\) : \(3n \div 4 = 6\) → la \(6\)ᵉ valeur, soit \(12\).

\(Q_1 = 6\) et \(Q_3 = 12\).

III. Représenter et interpréter des données

1) Le diagramme en bâtons

💡 À savoir

Pour représenter des données, on peut utiliser un diagramme en bâtons : chaque valeur est représentée par un bâton dont la hauteur correspond à son effectif. On lit les effectifs sur l'axe vertical gradué.

Diagramme en bâtons de l'exemple de la partie I.1 (animal préféré).

✏️ Exemple

À l'aide du diagramme ci-dessus, répondre aux questions.

1.Combien d'élèves préfèrent le chat ?
2.Quelle est la fréquence des élèves qui préfèrent le chien ? (en %)

1. Le bâton « Chat » monte jusqu'à \(5\) : \(5\) élèves préfèrent le chat.

2. « Chien » : \(6\) élèves sur \(20\), soit \(6 \div 20 = 0{,}3 = 30\) %.

Chat : \(5\) élèves · Chien : \(30\) %.

2) Le diagramme circulaire

💡 À savoir

Dans un diagramme circulaire, le disque entier (\(360°\)) représente l'effectif total : l'angle de chaque secteur est proportionnel à l'effectif. On calcule le coefficient (\(360 \div\) effectif total), on multiplie chaque effectif par ce coefficient, puis on construit au rapporteur.

✏️ Exemple

On reprend les 36 élèves et leur moyen de transport. Compléter le tableau des angles, puis vérifier sur le diagramme ci-dessus.

Transport	À pied	Vélo	Bus	Voiture	Total
Effectif	12	6	15	3	36
Angle (°)	?	?	?	?	360

Coefficient : \(360 \div 36 = 10\) (chaque élève correspond à \(10°\)).

Transport	À pied	Vélo	Bus	Voiture	Total
Effectif	12	6	15	3	36
Angle (\(\times 10\))	120°	60°	150°	30°	360°

À pied : \(120°\) · Vélo : \(60°\) · Bus : \(150°\) · Voiture : \(30°\).