Brevet Métropole – Antilles-Guyane

Diplôme National du Brevet · 1er juillet 2024

✦ 5 exercices 100 points ⏱ 2h · Calculatrice autorisée Justifications obligatoires sauf mention contraire
ℹ Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf indication contraire. Si une question n'est pas terminée, laisse une trace de ta démarche : elle sera prise en compte dans la notation.
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Exercice 1
20 points · Probabilités — La Roulette
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Questions 1 à 3

Probabilités — Roulette de casino
Au casino, la roulette est numérotée de 0 à 36. La bille a la même probabilité de s'arrêter sur chaque numéro. Il y a 19 cases blanches et 18 cases noires.
Roulette de casino numérotée de 0 à 36
  1. Expliquer pourquoi la probabilité que la bille s'arrête sur le numéro 7 est \(\dfrac{1}{37}\).
  2. Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur une case à la fois noire et paire.
  3. a. Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro inférieur ou égal à 6.
    b. En déduire la probabilité d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 7.
    c. Un joueur affirme qu'on a plus de 3 chances sur 4 d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 7. A-t-il raison ?
Combien y a-t-il de numéros au total sur la roue (de 0 à 36) ?
Parmi les cases noires, certaines portent un nombre pair. Comment reconnaît-on un nombre pair ? Parcours mentalement les cases noires pour les identifier.
Compare \(\dfrac{30}{37}\) à \(\dfrac{3}{4}\) en les mettant au même dénominateur.

Question 1 – Probabilité du numéro 7

La roue comporte 37 numéros en comptant le 0. La bille a la même probabilité de s'arrêter sur chacun de ces 37 numéros. La probabilité de chaque numéro est donc \(\dfrac{1}{37}\).

Question 2 – Case noire ET paire

Parmi les 18 cases noires, les nombres pairs sont : 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 20 ; 22 ; 24 ; 26 ; 28, soit 10 nombres.

La probabilité est \(\dfrac{10}{37}\)

Question 3a – Numéro inférieur ou égal à 6

Les numéros inférieurs ou égaux à 6 sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6, soit 7 numéros en comptant le 0.

La probabilité est \(\dfrac{7}{37}\)

Question 3b – Numéro supérieur ou égal à 7

L'événement « la bille s'arrête sur un numéro supérieur ou égal à 7 » et l'événement « la bille s'arrête sur un numéro inférieur ou égal à 6 » sont complémentaires : ensemble ils couvrent tous les cas possibles, et il est impossible que les deux se produisent en même temps. La somme de leurs probabilités vaut donc 1.

\(P(\text{numéro supérieur ou égal à } 7) = 1 - \dfrac{7}{37} = \dfrac{37-7}{37} = \dfrac{30}{37}\)

Question 3c – Le joueur a-t-il raison ?

On veut comparer \(\dfrac{30}{37}\) à \(\dfrac{3}{4}\).

\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 10}{4 \times 10} = \dfrac{30}{40}\)

Or \(37 < 40\), donc \(\dfrac{1}{40} < \dfrac{1}{37}\), et en multipliant par 30 :

\(\dfrac{30}{40} < \dfrac{30}{37}\), donc \(\dfrac{3}{4} < \dfrac{30}{37} \approx 0{,}81\)
✓ Le joueur a raison : \(\dfrac{30}{37}\) est bien supérieur à \(\dfrac{3}{4}\)
Exercice 2
20 points · Programmes de calcul
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Questions 1 à 3

Programme A (algèbre) · Programme B (Scratch)
Tableau des programmes A et B
  1. a. Vérifier que, si on choisit 5 comme nombre de départ, le résultat du programme A est 56.
    b. Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit −9 ?
  2. a. Parmi \(E_1 = (x+2)-1\), \(E_2 = (x+2)(x-1)\), \(E_3 = x+2 \times x - 1\), recopier celle qui donne le résultat du programme B.
    b. Exprimer en fonction de \(x\) le résultat du programme A.
  3. Démontrer que le résultat du programme A est toujours le double du résultat du programme B.
Le programme comporte plusieurs étapes successives. Prends le nombre donné et applique chaque instruction dans l'ordre, en notant le résultat intermédiaire à chaque étape.
Refais exactement ce que tu as fait avec un nombre, mais en remplaçant ce nombre par la lettre x. Qu'obtiens-tu après chaque étape ?
Développe E₂ = (x+2)(x−1) par la double distributivité, puis compare avec le résultat du programme A.

Question 1a – Vérification avec 5 (Programme A)

\(5 \xrightarrow{x^2} 25 \xrightarrow{\times 2} 50 \xrightarrow{+2\times 5} 60 \xrightarrow{-4} \mathbf{56} \checkmark\)

Question 1b – Programme B avec −9

Résultat 1 : \(-9 + 2 = -7\)
Résultat 2 : \(-9 - 1 = -10\)
Résultat final : \(-7 \times (-10) = \mathbf{70}\)

Question 2a – Expression du Programme B

Le programme B calcule (nombre + 2) × (nombre − 1), donc la bonne expression est :

\(E_2 = (x + 2)(x - 1)\)

Question 2b – Expression du Programme A

On applique les étapes avec \(x\) :

\(x \xrightarrow{x^2} x^2 \xrightarrow{\times 2} 2x^2 \xrightarrow{+2x} 2x^2+2x \xrightarrow{-4} \mathbf{2x^2 + 2x - 4}\)
Résultat du programme A : \(2x^2 + 2x - 4\)

Question 3 – Démonstration (Double distributivité)

On doit montrer que \(2x^2 + 2x - 4 = 2 \times E_2\).

Développement de \(E_2 = (x+2)(x-1)\) :

📊 Méthode du tableau
× x −1 Σ
x x² −x x² − x
+2 2x −2 2x − 2
\(E_2 = x^2 - x + 2x - 2\) = \(x^2 + x - 2\)
✏️ Méthode du calcul
\(E_2 = \textcolor{#dc2626}{x}(\textcolor{#2563eb}{x-1}) + \textcolor{#dc2626}{2}(\textcolor{#2563eb}{x-1})\)
= \(x^2 - x + 2x - 2\)
= \(x^2 + x - 2\)

Conclusion :

\(2x^2 + 2x - 4 = 2(x^2 + x - 2) = 2 \times E_2\)
✓ Le résultat du programme A est toujours le double du résultat du programme B.
Exercice 3
22 points · Cercle · Pythagore · Thalès · Aires
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Questions 1 à 5

Réciproque de Pythagore · Thalès · Aires
Cercle \(\mathscr{C}\) de centre O et de rayon 4,5 cm. [AB] est un diamètre, D est un point du cercle.
BD = 5,4 cm  ·  DA = 7,2 cm  ·  AE = 2,7 cm.
Les points B, E, A sont alignés ; les points D, F, A sont alignés. Les droites (BD) et (EF) sont parallèles.
Figure du cercle avec B, D, A, E, F, O
  1. Justifier que le diamètre [AB] mesure 9 cm.
  2. Démontrer que le triangle ABD est rectangle en D.
  3. Calculer AF.
  4. a. Justifier que l'aire du triangle ABD est égale à 19,44 cm².
    b. Calculer l'aire du disque arrondie au centième.
  5. Quel pourcentage de l'aire du disque représente l'aire du triangle ABD ?
Calcule AD² + DB² d'un côté, et AB² de l'autre. Compare et cite le théorème approprié.
Identifie le sommet commun (A), vérifie que les conditions de Thalès sont réunies, puis utilise les rapports.
Un pourcentage exprime une partie d'un tout. Quelle est la « partie » ici, et quel est le « tout » ? Comment calcule-t-on un pourcentage à partir de ces deux quantités ?

Question 1 – Diamètre [AB]

Le rayon du cercle est \(R = 4{,}5\) cm. Le diamètre vaut le double du rayon :

\(AB = 2R = 2 \times 4{,}5 = \mathbf{9 \text{ cm}}\)

Question 2 – Triangle ABD rectangle en D (Réciproque du théorème de Pythagore)

On a : Le triangle ABD a pour côtés : AD = 7,2 cm  ·  BD = 5,4 cm  ·  AB = 9 cm Le plus grand côté est AB = 9 cm.
Gauche (grand côté²)
AB²\(9^2 = \mathbf{\textcolor{#2563eb}{81}}\)
Droite (somme des carrés)
AD²+BD²\(7{,}2^2 + 5{,}4^2 = 51{,}84 + 29{,}16 = \mathbf{\textcolor{#16a34a}{81}}\)

Or : Gauche = Droite, donc \(AB^2 = AD^2 + BD^2\)

Donc : D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en D. [AB] est l'hypoténuse.

Question 3 – Calculer AF (Théorème de Thalès)

On a : Les points B, E, A sont alignés (dans cet ordre). Les points D, F, A sont alignés (dans cet ordre). Les droites (BD) et (EF) sont parallèles. Or : d'après le théorème de Thalès :
Rapport 1
AB
AE
=
Rapport 2
AD
AF
=
Rapport 3
BD
EF

On utilise Rapport 1 = Rapport 2 :

9
2,7
=
7,2
AF

Produit en croix :

AF = AE × AD ÷ AB = 2,7 × 7,2 ÷ 9 = 0,3 × 7,2 = 2,16 cm
Donc : AF mesure 2,16 cm

Question 4a – Aire du triangle ABD

Le triangle ABD est rectangle en D. Les côtés de l'angle droit sont BD et DA.

\(\mathcal{A} = \dfrac{BD \times DA}{2} = \dfrac{5{,}4 \times 7{,}2}{2} = \dfrac{38{,}88}{2} = \mathbf{19{,}44 \text{ cm}^2} \checkmark\)

Question 4b – Aire du disque

Le rayon est \(R = 4{,}5\) cm.

\(\mathcal{A}_{\text{disque}} = \pi \times R^2 = \pi \times 4{,}5^2 = \dfrac{81\pi}{4} \approx \mathbf{63{,}62 \text{ cm}^2}\)

Question 5 – Pourcentage

\(\dfrac{19{,}44}{63{,}62} \times 100 \approx \mathbf{30{,}6\,\%}\)
L'aire du triangle ABD représente environ 30,6 % de l'aire du disque.
Exercice 4
18 points · QCM — 6 questions
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Questions 1 à 6

QCM — Aucune justification demandée
Pour chaque question, une seule réponse (A, B ou C) est exacte. Recopie le numéro et la lettre correspondante.
Question Réponse A Réponse B Réponse C
1. Avec \(f(x) = 3x - 2\), quelle est l'image de −4 ? −14−10−3
2. Combien vaut \((-5)^3\) ? −125−15125
3. Quelle est l'image du point J par la translation qui glisse C vers A ? Grille de points B C G H A D J I F E L K
HED
4. Quel est l'antécédent de 3 par \(f\) ? Graphique de la droite Cf
3−30
5. Tailles en m : 1,46 ; 1,65 ; 1,6 ; 1,72 ; 1,7 ; 1,67 ; 1,75. Quelle est la médiane ? 1,721,671,65
6. Dans ce triangle, quelle est la valeur de \(\cos\alpha\) ? Triangle rectangle côté adjacent 4, hypoténuse 5
0,80,750,6

Question 1 – Image de −4

\(f(-4) = 3 \times (-4) - 2 = -12 - 2 = -14\)
Réponse A : −14

Question 2 – \((-5)^3\)

\((-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5) = 25 \times (-5) = -125\)
Réponse A : −125

Question 3 – Translation qui glisse C vers A

Une translation déplace chaque point du même glissement. Sur la grille, le glissement qui amène C sur A (une colonne vers la gauche, une ligne vers le bas) amène J sur E.

Réponse B : E

Question 4 – Antécédent de 3

L'antécédent de 3 est le nombre \(x\) dont l'image par \(f\) vaut 3. Sur le graphique, on part de l'ordonnée 3 sur l'axe vertical, on trace une droite horizontale jusqu'à la courbe, puis on lit l'abscisse : on arrive en \(x = 0\).

Réponse C : 0

Question 5 – Médiane

On ordonne les 7 tailles de la plus petite à la plus grande :

1,46   1,60   1,65   1,67   1,70   1,72   1,75

Avec 7 valeurs, la médiane est la 4e valeur (3 valeurs avant, 3 valeurs après).

Réponse B : 1,67 m

Question 6 – Cosinus

\(\cos\alpha = \dfrac{\text{côté adjacent à } \alpha}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\)
Réponse A : 0,8
Exercice 5 – Partie A
20 points · Décomposition en facteurs premiers
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Sachets cadeaux

Décomposition en facteurs premiers
La présidente d'une association a 330 autocollants et 132 drapeaux. Elle veut faire des sachets identiques, en utilisant tous les articles, avec le même nombre d'autocollants et le même nombre de drapeaux dans chaque sachet.
  1. Pourquoi n'est-il pas possible de faire 15 sachets ?
  2. a. Décomposer 330 et 132 en produits de facteurs premiers.
    b. En déduire le plus grand nombre de sachets possible.
    c. Combien mettra-t-elle d'autocollants et de drapeaux dans chaque sachet ?
Pour que chaque sachet contienne un nombre entier de bonbons, que doit-il se passer quand on divise le nombre de bonbons par le nombre de sachets ?
Identifie les facteurs premiers communs aux deux décompositions. Leur produit donne le plus grand nombre de sachets.
Tu connais maintenant le nombre de sachets. Comment trouves-tu combien chaque sachet contient de chaque type de bonbon ?

Question 1 – 15 sachets impossibles

Pour faire 15 sachets, il faudrait que 132 soit divisible par 15.

\(132 \div 15 = 8{,}8\) qui n'est pas un nombre entier.
132 n'est pas un multiple de 15 → impossible de faire 15 sachets identiques.

Question 2a – Décomposition en facteurs premiers

3302
1653
555
1111
1
1322
662
333
1111
1
\(330 = 2 \times 3 \times 5 \times 11\)
\(132 = 2^2 \times 3 \times 11\)

Question 2b – Plus grand nombre de sachets

On identifie les facteurs communs (en rouge) et les facteurs non communs (en vert) :

\(330 = \) 2 × 3 × 5 × 11
\(132 = \) 2 × 2 × 3 × 11

Le plus grand diviseur commun de 330 et 132 est le produit des facteurs communs :

\(2 \times 3 \times 11 = 66\)
La présidente pourra faire au maximum 66 sachets.

Question 2c – Contenu de chaque sachet

Les facteurs non communs donnent le nombre d'articles par sachet :

\(330 = 2 \times 3 \times \) 5 \(\times 11\)  → facteur non commun 5 → 5 autocollants par sachet
\(132 = 2 \times \) 2 \(\times 3 \times 11\)  → facteur non commun 2 → 2 drapeaux par sachet

Vérification : \(66 \times 5 = 330\) ✓   \(66 \times 2 = 132\) ✓

Chaque sachet contiendra 5 autocollants et 2 drapeaux.
Exercice 5 – Partie B
Volume d'un pavé droit · Coût
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Remplissage de la piscine

Volume · Coût
La piscine a la forme d'un pavé droit. Elle est remplie aux \(\dfrac{9}{10}\) de son volume. 1 m³ d'eau coûte 4,14 €.
Combien coûte le remplissage de la piscine ?
Piscine pavé droit 25m × 15m × 2m
L'aquarium a une forme simple. Quelle formule connais-tu pour calculer ce type de volume ? Attention, il n'est pas complètement rempli : comment cela change-t-il ton calcul ?

Remplissage de la piscine

Étape 1 : Volume total de la piscine :

\(V = 25 \times 15 \times 2 = 750 \text{ m}^3\)

Étape 2 : Volume d'eau versé (\(\dfrac{9}{10}\) du volume total) :

\(V_{\text{eau}} = 750 \times \dfrac{9}{10} = 75 \times 9 = 675 \text{ m}^3\)

Étape 3 : Coût du remplissage :

\(\text{Coût} = 675 \times 4{,}14 = 2\,794{,}50 \text{ €}\)
Le remplissage de la piscine coûtera 2 794,50 €.

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