Brevet 3ème : DNB 2025 – Métropole

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Questions 1 à 5

Urnes et probabilités

Urne A : 6 boules numérotées 7 ; 10 ; 12 ; 15 ; 24 ; 30
Urne B : 9 boules numérotées 2 ; 5 ; 6 ; 8 ; 17 ; 18 ; 21 ; 22 ; 25

Probabilité d'obtenir un nombre pair dans l'urne A ?
Justifier que la probabilité d'obtenir un nombre premier dans l'urne B est \(\dfrac{1}{3}\).
Quelle urne contient le plus grand nombre de multiples de 6 ?
La probabilité d'obtenir un nombre \(\geq 20\) est-elle la même dans les deux urnes ?
On ajoute une boule numérotée 50 dans chaque urne. Les probabilités restent-elles égales ?

Identifie les nombres pairs dans l'urne A. Rappel : un nombre pair est divisible par 2.

Forme les deux fractions correspondant aux nombres ≥ 20 dans chaque urne, simplifie-les et compare.

Question 1 – Nombre pair dans l'urne A

Les nombres pairs dans l'urne A sont : 10 ; 12 ; 24 ; 30 → 4 nombres pairs sur 6.

\(\boldsymbol{P(\text{pair}) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}}\)

Question 2 – Nombre premier dans l'urne B

Un nombre premier est divisible uniquement par 1 et par lui-même.

Dans l'urne B, les nombres premiers sont : 2 ; 5 ; 17 → 3 nombres premiers sur 9.

\(\boldsymbol{P(\text{premier}) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}}\) ✓

Question 3 – Multiples de 6

Urne A : \(12 = 6 \times 2\) ; \(24 = 6 \times 4\) ; \(30 = 6 \times 5\) → 3 multiples de 6

Urne B : \(6 = 6 \times 1\) ; \(18 = 6 \times 3\) → 2 multiples de 6

L'urne A contient le plus grand nombre de multiples de 6

Question 4 – Nombres ≥ 20

Urne A : 24 et 30 → 2 nombres sur 6 : \(\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)

Urne B : 21, 22, 25 → 3 nombres sur 9 : \(\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\)

Les deux probabilités sont égales : \(\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}\)

Question 5 – Ajout de la boule 50

Après ajout : Urne A → 7 boules, Urne B → 10 boules. La boule 50 est \(\geq 20\).

Urne A : nombres \(\geq 20\) : 24, 30, 50 → \(\dfrac{3}{7}\)

Urne B : nombres \(\geq 20\) : 21, 22, 25, 50 → \(\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\)

Or \(\dfrac{3}{7} \approx 0{,}428\) et \(\dfrac{2}{5} = 0{,}4\) → les probabilités sont différentes.

Non, les probabilités ne sont plus égales après l'ajout

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Partie A – La course à pied

Pythagore · Thalès · Trigonométrie

Parcours ACDEB. Points A, C, B alignés. Points A, D, E alignés.
Triangle ADC rectangle en A.
\(AC = 480\text{ m}\) · \(CB = 120\text{ m}\) · \(AE = 250\text{ m}\) · \(DE = 50\text{ m}\)

Justifier que \(AD = 200\text{ m}\).
Calculer la longueur \(CD\).
Le parcours est validé si (CD) parallèle à (BE) et \(\widehat{ACD} > 20°\). Est-ce le cas ?

Parcours ACDEB

Les points A, D, E sont alignés dans cet ordre, donc AD = AE − DE. Effectue le calcul.

Le triangle ADC est rectangle en A. Utilise le théorème de Pythagore : \(DC^2 = DA^2 + AC^2\).

Pour vérifier le parallélisme, calcule les rapports \(\dfrac{AC}{AB}\) et \(\dfrac{AD}{AE}\) et vérifie s'ils sont égaux (réciproque de Thalès).

Question 1 – Justifier AD = 200 m

Les points A, D, E sont alignés dans cet ordre, donc :

\[AD = AE - DE = 250 - 50 = 200 \text{ m}\]

Question 2 – Longueur CD

On a : Le triangle ADC est rectangle en A
AD = 200 m · AC = 480 m · DC = ?

Or : d'après le théorème de Pythagore,
dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

DC² = DA² + AC²

DC² = 200² + 480²

DC² = 40 000 + 230 400

DC² = 270 400

DC² = 520²

DC = 520

Donc : DC mesure 520 m

Question 3a – Les droites (CD) et (BE) sont-elles parallèles ?

Les points A, C, B sont alignés et A, D, E sont alignés. On calcule les rapports :

Gauche

\dfrac{AC}{AB}

\(= \dfrac{480}{600}\)

\(= \dfrac{4}{5}\)

=

Milieu

\dfrac{AD}{AE}

\(= \dfrac{200}{250}\)

\(= \dfrac{4}{5}\)

Ces deux rapports sont égaux. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (CD) et (BE) sont parallèles. ✓

Question 3b – L'angle \(\widehat{ACD}\) est-il supérieur à 20° ?

On a : Le triangle ACD est rectangle en A

Or : \(\tan(\widehat{ACD}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\)

\(\tan(\widehat{ACD}) = \dfrac{AD}{AC}\)

\(\tan(\widehat{ACD}) = \dfrac{200}{480}\)

\(\tan(\widehat{ACD}) = \dfrac{5}{12}\)

\(\dfrac{\tan(\widehat{ACD})}{1} = \dfrac{5}{12}\)
\(\widehat{ACD} = \arctan\!\left(\dfrac{5}{12}\right) \approx \mathbf{22{,}6°}\)

Donc : \(\widehat{ACD} \approx 22{,}6° > 20°\) ✓

Question 3c – Le parcours est-il validé ?

Les deux conditions sont remplies : (CD) parallèle à (BE) ✓ et \(\widehat{ACD} \approx 22{,}6° > 20°\) ✓.

Le parcours est validé ✓

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Partie B – La natation

Médiane · Vitesse

Distance : 200 m. Temps de 9 élèves :
5 min 30 s · 5 min 45 s · 5 min 49 s · 5 min 50 s · 6 min · 6 min 11 s · 6 min 12 s · 6 min 20 s · 6 min 40 s

Quel est le temps médian de cette série ?
Un poisson rouge nage à 5 km/h. Nage-t-il plus vite que l'élève le plus rapide ?

La médiane d'une série de 9 valeurs rangées dans l'ordre est la valeur au centre, c'est-à-dire en 5ème position.

L'élève le plus rapide fait 200 m en 5 min 30 s = 330 s. Calcule sa vitesse en m/s puis convertis en km/h (multiplier par 3600, diviser par 1000).

Question 4 – Temps médian

Il y a 9 temps déjà rangés dans l'ordre croissant. La médiane est la valeur centrale, soit la 5ème valeur (car \(\dfrac{9-1}{2} = 4\) valeurs de chaque côté) :

5'30 · 5'45 · 5'49 · 5'50 · 6'00 · 6'11 · 6'12 · 6'20 · 6'40

La médiane est 6 minutes

Question 5 – Comparaison avec le poisson rouge

L'élève le plus rapide : 200 m en 5 min 30 s = 5 × 60 + 30 = 330 s.

Le poisson rouge nage à 5 km/h = 5 000 m/h.
On cherche la distance parcourue en 3 600 s (1 heure) pour comparer avec 5 000 m.

Tableau de proportionnalité :

Distance (m)	200	?
Temps (s)	330	3 600

Produit en croix :

\(? = \dfrac{200 \times 3\,600}{330} \approx \mathbf{2\,182 \text{ m}}\)

L'élève le plus rapide parcourerait environ 2 182 m en 1 heure, soit ≈ 2,2 km/h.
Le poisson rouge nage à 5 km/h, soit plus de deux fois plus vite.

Oui, le poisson rouge (5 km/h) nage plus vite que l'élève le plus rapide (≈ 2,2 km/h)

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QCM – Questions 1 à 6

Aucune justification demandée

QCM : aucune justification n'est demandée. Une seule réponse est exacte par question.

Q1 : Le prix de 3 melons est 8,40 €. Combien coûtent 5 melons ?

A. 16,40 €

B. 42 €

C. 14 €

D. 10,40 €

Q2 : Quelle transformation permet de passer de la Figure 1 à la Figure 2 ?

A. Symétrie centrale

B. Rotation

C. Translation

D. Symétrie axiale

Figures 1 et 2

Q3 : Un article coûte 350 €. Son prix augmente de 20 %. Quel est son nouveau prix ?

A. 420 €

B. 330 €

C. 370 €

D. 280 €

Q4 : Quelle est l'aire du triangle rectangle ABC ?

A. 27 cm²

B. 13,5 cm²

C. 18 cm²

D. 9 cm²

Triangle rectangle ABC, 6 cm, 4,5 cm, 7,5 cm

Triangle ABC, rectangle en B

Q5 : Forme développée et réduite de \((2x+3)(x-4)\) ?

A. \(2x^2-5x-12\)

B. \(2x^2-11x-12\)

C. \(2x^2-12\)

D. \(3x-1\)

Q6 : Quel est le volume de cette pyramide à base rectangulaire ?

A. 23 cm³

B. 112 cm³

C. 336 cm³

D. 168 cm³

Pyramide base rectangulaire 7×4 cm, hauteur 12 cm

Pyramide 7 cm × 4 cm, h = 12 cm

Augmenter de 20 % revient à multiplier par un certain coefficient. Lequel ?

Rappelle-toi la formule du volume d'une pyramide. De quelles mesures as-tu besoin ?

Q1 – Prix de 5 melons

\(8{,}4 = 3 \times 2{,}8\) donc 1 melon coûte \(2{,}80\) €.

5 melons : \(5 \times 2{,}80 = 14\) € → Réponse C

Q2 – Transformation géométrique

La Figure 2 est l'image de la Figure 1 par une symétrie axiale (les deux figures sont des images miroir l'une de l'autre par rapport à un axe). → Réponse D

Q3 – Augmentation de 20 % → Réponse A. 420 €

Point de départ :

Pourcentage	100 %
Prix (€)	350

⚡ Méthode 1 — Calculer l'augmentation

Pourcentage	100 %	20 %
Prix (€)	350	?

\(? = \dfrac{20 \times 350}{100} = 70\)

Nouveau prix = 350 + 70 = 420 €

✨ Méthode 2 — Directe avec 120 %

Pourcentage	100 %	120 %
Prix (€)	350	?

\(? = \dfrac{120 \times 350}{100} = 420\)

Nouveau prix = 420 € directement

Q4 – Aire du triangle ABC

Le triangle est rectangle en B. Les deux côtés de l'angle droit sont AB = 6 cm et BC = 4,5 cm.

\[\mathcal{A} = \frac{AB \times BC}{2} = \frac{6 \times 4{,}5}{2} = \frac{27}{2} = 13{,}5 \text{ cm}^2\]

→ Réponse B

Q5 – Développement de \((2x+3)(x-4)\)

\[(2x+3)(x-4) = 2x \times x - 2x \times 4 + 3 \times x + 3 \times (-4)\]

\[= 2x^2 - 8x + 3x - 12 = \boldsymbol{2x^2 - 5x - 12}\]

→ Réponse A

Q6 – Volume de la pyramide

Base rectangulaire d'aire \(\mathcal{B} = 7 \times 4 = 28 \text{ cm}^2\), hauteur \(h = 12\) cm :

\[V = \frac{\mathcal{B} \times h}{3} = \frac{28 \times 12}{3} = \frac{336}{3} = 112 \text{ cm}^3\]

→ Réponse B

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Partie A – Le programme de Zoé

Programme de calcul · Généralisation

Programme de Zoé :

Choisir un nombre

↓

Soustraire 4

↓

Multiplier par 2

↓

Ajouter 8

↓

Afficher le résultat

Vérifier qu'avec 10 comme départ, on obtient 20.
Quel résultat avec \(-7\) comme départ ?
Zoé prétend que le résultat est toujours le double du nombre de départ. A-t-elle raison ?

Pour démontrer que le résultat vaut toujours le double, appelle \(a\) le nombre de départ et applique les étapes du programme avec \(a\). Tu devrais obtenir \(2a\).

Question 1 – Départ 10

\(10 \xrightarrow{-4} 6 \xrightarrow{\times 2} 12 \xrightarrow{+8} \boldsymbol{20}\) ✓

Question 2 – Départ −7

\(-7 \xrightarrow{-4} -11 \xrightarrow{\times 2} -22 \xrightarrow{+8} \boldsymbol{-14}\)

Résultat : \(\boldsymbol{-14}\)

Question 3 – Programme "magique" ?

En partant du nombre \(x\) :

\[x \xrightarrow{-4} x-4 \xrightarrow{\times 2} 2(x-4) = 2x - 8 \xrightarrow{+8} 2x - 8 + 8 = 2x\]

On obtient bien \(2x\), c'est-à-dire le double du nombre de départ.

Oui, Zoé a raison : le résultat est toujours le double du nombre de départ ✓

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Partie B – Le programme de Fred

Scratch · Équation · Modification

Démontrer que si le nombre de départ est \(x\), le résultat est \(20x + 50\).
Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir 75 ?
Compléter la 6ème ligne du programme pour que le résultat soit toujours 20 fois le nombre de départ.

Programme Scratch de Fred

Ligne 6 à compléter (Q6)

Applique les étapes du programme avec \(x\) : \(x \xrightarrow{\times 4} 4x \xrightarrow{+10} 4x+10 \xrightarrow{\times 5} \ldots\)

Pour obtenir 75, résous \(20x + 50 = 75\). Commence par soustraire 50 des deux membres.

Après l'étape 5, le résultat vaut \(20x + 50\). Pour obtenir \(20x\), il faut enlever 50. La 6ème ligne doit retrancher 50 au résultat.

Question 4 – Démonstration \(20x + 50\)

On suit les étapes avec le nombre de départ \(x\) :

\[x \xrightarrow{\times 4} 4x \xrightarrow{+10} 4x + 10 \xrightarrow{\times 5} 5(4x + 10) = 20x + 50\]

Le résultat du programme est \(\boldsymbol{20x + 50}\) ✓

Question 5 – Obtenir 75

On résout \(20x + 50 = 75\) :

\(20x\) \(+\,50\)	\(=\)	\(75\)
↓ on soustrait 50 des deux membres ↓			\(-50\)
\(20x\)	\(=\)	\(25\)
↓ on divise les deux membres par 20 ↓			\(\div 20\)
\(x\)	\(=\)	\(\dfrac{25}{20} = \dfrac{5}{4} = 1{,}25\)

Il faut choisir \(\boldsymbol{x = 1{,}25}\) (soit \(\boldsymbol{\frac{5}{4}}\)) au départ

Question 6 – Modifier le programme pour obtenir 20 fois le départ

Après les 5 étapes, le résultat vaut \(20x + 50\). Pour obtenir \(20x\), il faut soustraire 50.

La 6ème ligne doit être :

Ligne Scratch : mettre résultat à résultat - 50

Ligne 6 : « mettre résultat à résultat − 50 »

6ème ligne : mettre résultat à résultat − 50

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Partie A – Achat vs Location

Calculs · Tableur

Option Achat : 22 400 € + 75 € d'assurance par mois
Option Location : 425 € par mois, assurance comprise

Montrer que la dépense avec l'option Achat à la fin de la 1ère année est 23 300 €.
Après 36 mois, calculer l'économie réalisée avec l'option Location.
Quelle formule saisir en B3 du tableur pour calculer la dépense Location ?

	A	B	C	D	E	F
1	Nombre de mois	12	24	36	48	60
2	Option Achat (€)	23 300	24 200	25 100	26 000	26 900
3	Option Location (€)	?	?	?	?	?

1ère année = 12 mois. Dépense totale = prix d'achat + (assurance × nombre de mois). Calcule \(12 \times 75\).

La dépense Location après x mois est 425 × (nombre de mois). La cellule B1 contient le nombre de mois. La formule doit donc multiplier 425 par B1.

Question 1 – Dépense Achat à 12 mois

Prix d'achat : 22 400 € + assurance 12 mois : \(12 \times 75 = 900\) €

\[22\,400 + 900 = 23\,300 \text{ €}\] ✓

Question 2 – Économie après 36 mois

Option Achat après 36 mois : \(22\,400 + 36 \times 75 = 22\,400 + 2\,700 = 25\,100\) €

Option Location après 36 mois : \(36 \times 425 = 15\,300\) €

Économie : \(25\,100 - 15\,300 = 9\,800\) €

La Location coûte 9 800 € de moins que l'Achat après 36 mois

Question 3 – Formule tableur

La dépense Location \(= 425 \times \text{nombre de mois}\). La cellule B1 contient le nombre de mois.

Formule en B3 : =425*B1

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Partie B – Modélisation par fonctions

Fonctions affines · Lecture graphique

\(g(x) = 425x\) (dépense Location). On note \(x\) la durée en mois.

Déterminer l'expression de \(f(x)\) pour l'option Achat.
Par lecture graphique, à partir de combien de mois l'option Achat est-elle la plus avantageuse ?

Graphique fonctions Cf et Cg – achat vs location

Représentations graphiques de \(C_f\) et \(C_g\)

L'option Achat coûte 22 400 € au départ (valeur initiale) plus 75 € par mois (taux d'évolution). L'expression est donc de la forme \(f(x) = \text{valeur initiale} + \text{taux} \times x\).

L'Achat devient avantageux quand \(f(x) < g(x)\), c'est-à-dire quand \(C_f\) est en dessous de \(C_g\) sur le graphique. Lis l'abscisse du point d'intersection.

Question 4 – Expression de \(f(x)\)

Au bout de \(x\) mois, l'option Achat coûte : prix d'achat + assurance pendant \(x\) mois :

\[f(x) = 22\,400 + 75x\]

\(\boldsymbol{f(x) = 22\,400 + 75x}\)

Question 5 – Lecture graphique

L'option Achat est plus avantageuse quand \(C_f\) est en dessous de \(C_g\).

Sur le graphique, les deux courbes se croisent au point d'abscisse 64, pour une dépense d'environ 27 000 €.

Graphique avec point d'intersection à x=64, y≈27000

Intersection à \(x = 64\) mois, \(y \approx 27\,000\) €

À partir de 65 mois, \(C_g > C_f\) : l'option Achat devient financièrement avantageuse.

À partir de 65 mois, l'option Achat est la plus avantageuse