Chapitre 1 · Rappels de fractions · 3ème

Simplifier, additionner
et soustraire

Feuille d'exercices n°1 — sans calculatrice

Simplifier + et −

📌 Ce qu'il faut avoir en tête

① Simplifier
On divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre (par décomposition ou par étapes).
\(\dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a}{b}\)
② Additionner / Soustraire
On met au même dénominateur, puis on calcule avec les numérateurs.
\(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}\)
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Exercice 1 / 5

Simplification Calcul
✓ Vu

Simplifier les fractions suivantes au maximum.

a) Simplifier \(\dfrac{180}{126}\) en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
b) Simplifier \(\dfrac{48}{36}\) par divisions successives.
c) Simplifier \(\dfrac{75}{45}\) par divisions successives.

💡 Indices

Commence par diviser 180 et 126 par 2. Puis cherche les facteurs premiers suivants (3, 5, 7…).
Cherche un nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur. Recommence jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus.
a) Par décomposition en facteurs premiers

180

180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1

\(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\)

126

126 2 63 3 21 3 7 7 1

\(126 = 2 \times 3^2 \times 7\)

On repère les facteurs communs (entourés en rouge) :

180 126 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 2 × 3 × 3 × 7 = 2 × 5 7 = 10 7
\(\dfrac{180}{126} = \dfrac{10}{7}\)
b) Par divisions successives
48 36 ÷ 2 ÷ 2 = 24 18 ÷ 2 ÷ 2 = 12 9 ÷ 3 ÷ 3 = 4 3
\(\dfrac{48}{36} = \dfrac{4}{3}\)
c) Par divisions successives
75 45 ÷ 5 ÷ 5 = 15 9 ÷ 3 ÷ 3 = 5 3
\(\dfrac{75}{45} = \dfrac{5}{3}\)

Exercice 2 / 5

Addition / Soustraction Calcul
✓ Vu

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction simplifiée.

A
\(A = \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\)
B
\(B = \dfrac{7}{3} - \dfrac{1}{2}\)
C
\(C = 1 - \dfrac{2}{7}\)
D
\(D = \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}\)

💡 Indices

Pour A, le dénominateur commun à 4 et 6 est 12. Pour D, le dénominateur commun à 6, 4 et 3 est aussi 12.
A

\(A = \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\)

\(A = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} + \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2}\)

\(A = \dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12}\)

\(A = \dfrac{19}{12}\)

B

\(B = \dfrac{7}{3} - \dfrac{1}{2}\)

\(B = \dfrac{7 \times 2}{3 \times 2} - \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3}\)

\(B = \dfrac{14}{6} - \dfrac{3}{6}\)

\(B = \dfrac{11}{6}\)

C

\(C = 1 - \dfrac{2}{7}\)

\(C = \dfrac{7}{7} - \dfrac{2}{7}\)

\(C = \dfrac{5}{7}\)

D

\(D = \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}\)

\(D = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} - \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} + \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4}\)

\(D = \dfrac{10}{12} - \dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12}\)

\(D = \dfrac{10 - 3 + 4}{12}\)

\(D = \dfrac{11}{12}\)

Exercice 3 / 5

Addition Problème
✓ Vu

Pour préparer des crêpes, Emma utilise \(\dfrac{1}{4}\) de litre de lait. Pour un gâteau, elle utilise \(\dfrac{2}{3}\) de litre de lait.

1) Quelle quantité de lait Emma a-t-elle utilisée au total ?
2) Elle avait une bouteille d'un litre. Lui reste-t-il assez de lait pour refaire des crêpes ?
1) Quantité totale

\(\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}\)

\(= \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} + \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4}\)

\(= \dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12}\)

\(= \dfrac{11}{12}\)

Emma a utilisé \(\dfrac{11}{12}\) de litre au total.
2) Reste-t-il assez ?

\(1 - \dfrac{11}{12}\)

\(= \dfrac{12}{12} - \dfrac{11}{12}\)

\(= \dfrac{1}{12}\)

Il lui reste \(\dfrac{1}{12}\) de litre. Or il faut \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}\) de litre pour les crêpes.

Comme \(\dfrac{1}{12} < \dfrac{3}{12}\), elle n'a pas assez de lait pour refaire des crêpes.

Exercice 4 / 5

Soustraction Problème
✓ Vu

Tom mange \(\dfrac{1}{3}\) d'une tablette de chocolat. Léa en mange ensuite \(\dfrac{1}{4}\).

1) Quelle fraction de la tablette ont-ils mangée à eux deux ?
2) Quelle fraction de la tablette reste-t-il ?
3) La tablette contient 24 carrés. Combien de carrés reste-t-il ?

💡 Indices

Prendre une fraction d'un nombre, c'est multiplier la fraction par ce nombre.
1) Fraction mangée

\(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\)

\(= \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12}\)

\(= \dfrac{7}{12}\)

Ils ont mangé \(\dfrac{7}{12}\) de la tablette.
2) Fraction restante

\(1 - \dfrac{7}{12}\)

\(= \dfrac{12}{12} - \dfrac{7}{12}\)

\(= \dfrac{5}{12}\)

Il reste \(\dfrac{5}{12}\) de la tablette.
3) Nombre de carrés

\(\dfrac{5}{12} \times 24\)

\(= \dfrac{5 \times 24}{12}\)

\(= \dfrac{120}{12}\)

\(= 10\)

Il reste 10 carrés de chocolat.

Exercice 5 / 5

Addition / Soustraction Simplification Problème
✓ Vu

Un jardinier consacre \(\dfrac{2}{5}\) de son terrain aux tomates et \(\dfrac{1}{4}\) aux salades. Le reste est occupé par des fleurs.

1) Quelle fraction du terrain est occupée par les légumes (tomates et salades) ?
2) Quelle fraction du terrain est occupée par les fleurs ?
3) Le terrain mesure 60 m². Calculer la surface réservée aux fleurs.

💡 Indices

Le dénominateur commun à 5 et 4 est 20.
Le terrain entier vaut 1, donc fleurs = \(1 -\) légumes.
1) Fraction pour les légumes

\(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4}\)

\(= \dfrac{2 \times 4}{5 \times 4} + \dfrac{1 \times 5}{4 \times 5}\)

\(= \dfrac{8}{20} + \dfrac{5}{20}\)

\(= \dfrac{13}{20}\)

Les légumes occupent \(\dfrac{13}{20}\) du terrain.
2) Fraction pour les fleurs

\(1 - \dfrac{13}{20}\)

\(= \dfrac{20}{20} - \dfrac{13}{20}\)

\(= \dfrac{7}{20}\)

Les fleurs occupent \(\dfrac{7}{20}\) du terrain.
3) Surface des fleurs

\(\dfrac{7}{20} \times 60\)

\(= \dfrac{7 \times 60}{20}\)

\(= \dfrac{420}{20}\)

\(= 21\)

Les fleurs occupent 21 m².

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