Fractions 3ème : cours et exercices corrigés

I — Simplifier des fractions

📘 Rappel

Un nombre premier est un nombre qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Nombres premiers entre 1 et 30 :

2	3	5	7
11	13	17	19
23	29

1. Décomposition en facteurs premiers

✏️ Application

Décomposer en facteurs premiers les nombres 84 et 60.

En déduire la simplification de $\dfrac{84}{60}$.

Décomposition de 84

$84 = \textcolor{red}{2} \times \textcolor{red}{2} \times \textcolor{red}{3} \times 7$

Décomposition de 60

$60 = \textcolor{red}{2} \times \textcolor{red}{2} \times \textcolor{red}{3} \times 5$

On repère les facteurs communs (entourés) :

Résultat : $\dfrac{84}{60} = \dfrac{7}{5}$

2. Simplification par étapes

📗 Méthode

On peut aussi simplifier étape par étape, en divisant numérateur et dénominateur par un même nombre, jusqu'à ne plus pouvoir simplifier.

✏️ Application

Simplifier $\dfrac{84}{60}$ sans décomposition.

II — Comparer des fractions

1. Égalité des produits en croix

📗 Propriété

$a, b, c$ et $d$ désignent des nombres relatifs ($b \neq 0$ et $d \neq 0$).

Si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, alors $a \times d = b \times c$.

Réciproquement : si $a \times d = b \times c$, alors $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$.

🔍 Exemple

Les fractions $\dfrac{12}{24}$ et $\dfrac{3}{6}$ sont-elles égales ?

On calcule les produits en croix :

$12 \times 6 = 72$

$24 \times 3 = 72$

Les produits en croix sont égaux.

Conclusion : $\dfrac{12}{24} = \dfrac{3}{6}$

2. Mise au même dénominateur

📗 Propriété

$a, b$ et $c$ désignent trois nombres positifs ($c \neq 0$).

Si $a < b$, alors $\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$

Pour comparer deux fractions de dénominateurs différents, on les met au même dénominateur, puis on compare les numérateurs.

🔍 Exemple

Ranger dans l'ordre croissant : $\dfrac{1}{15}$ ; $\dfrac{2}{12}$ et $\dfrac{7}{10}$.

Le dénominateur commun à 15, 12 et 10 est 60.

$\dfrac{1}{15} = \dfrac{1 \times 4}{15 \times 4} = \dfrac{4}{60}$

$\dfrac{2}{12} = \dfrac{2 \times 5}{12 \times 5} = \dfrac{10}{60}$

$\dfrac{7}{10} = \dfrac{7 \times 6}{10 \times 6} = \dfrac{42}{60}$

On compare les numérateurs : $4 < 10 < 42$.

Conclusion : $\dfrac{1}{15} < \dfrac{2}{12} < \dfrac{7}{10}$

III — Additionner, soustraire des fractions

📗 Méthode

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions :

On met les deux fractions au même dénominateur.
On additionne (ou soustrait) les numérateurs.
On garde le dénominateur commun.

$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}$ et $\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a - b}{c}$
($c \neq 0$)

🔍 Exemple 1

$A = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3}$

$A = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} - \dfrac{2 \times 2}{3 \times 2}$

$A = \dfrac{3}{6} - \dfrac{4}{6}$

$A = \dfrac{3 - 4}{6}$

$A = \dfrac{-1}{6}$

🔍 Exemple 2

$B = 2 + \dfrac{1}{3}$

$B = \dfrac{6}{3} + \dfrac{1}{3}$

$B = \dfrac{6 + 1}{3}$

$B = \dfrac{7}{3}$

IV — Multiplier des fractions

📗 Règle

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$ ($b \neq 0$ et $d \neq 0$)

🔍 Exemple 1

$A = \dfrac{3}{8} \times \dfrac{-1}{4}$

$A = \dfrac{3 \times (-1)}{8 \times 4}$

$A = \dfrac{-3}{32}$

🔍 Exemple 2

$B = \dfrac{-4}{3} \times \dfrac{-5}{7}$

$B = \dfrac{(-4) \times (-5)}{3 \times 7}$

$B = \dfrac{20}{21}$

🔍 Exemple 3

$C = 3 \times \dfrac{2}{7}$

$C = \dfrac{3}{1} \times \dfrac{2}{7}$

$C = \dfrac{3 \times 2}{1 \times 7}$

$C = \dfrac{6}{7}$

V — Fraction d'une quantité

📗 Règle

Pour calculer une fraction d'un nombre (ou d'une quantité), on multiplie la fraction par ce nombre.

Prendre $\dfrac{a}{b}$ de $N$, c'est calculer $\dfrac{a}{b} \times N$.

🔍 Exemple 1

Florian boit les $\dfrac{2}{3}$ d'une canette de soda de 33 centilitres. Quelle quantité de soda a-t-il bue ?

$\dfrac{2}{3} \times 33$

$= \dfrac{2 \times 33}{3}$

$= \dfrac{66}{3}$

$= 22$

Réponse : Florian a bu 22 cL de soda.

🔍 Exemple 2

Dans une classe de 28 élèves, les $\dfrac{3}{4}$ ont choisi espagnol. Combien d'élèves ont choisi espagnol ?

$\dfrac{3}{4} \times 28$

$= \dfrac{3 \times 28}{4}$

$= \dfrac{84}{4}$

$= 21$

Réponse : 21 élèves ont choisi espagnol.

VI — Inverses et divisions

📗 Propriété

Diviser par un nombre relatif revient à multiplier par son inverse.

$a \div b = a \times \dfrac{1}{b}$ et $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$
($b \neq 0$, $c \neq 0$ et $d \neq 0$)

🔍 Exemple 1

$A = 6 \div 0{,}5$

$A = 6 \div \dfrac{1}{2}$

$A = 6 \times \dfrac{2}{1}$

$A = 12$

🔍 Exemple 2

$B = \dfrac{2}{3} \div \dfrac{5}{7}$

$B = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{5}$

$B = \dfrac{2 \times 7}{3 \times 5}$

$B = \dfrac{14}{15}$

VII — Enchaînement d'opérations

📗 Règle

Comme avec les nombres relatifs, s'il y a plusieurs opérations, on réalise dans l'ordre :

Les calculs entre parenthèses.
Les multiplications et les divisions.
Les additions et les soustractions.

🔍 Exemple 1

$A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} \times \dfrac{4}{5}$

On effectue d'abord la multiplication, puis la soustraction.

$A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} \times \dfrac{4}{5}$

$A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1 \times 4}{3 \times 5}$

$A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{15}$

$A = \dfrac{2 \times 5}{3 \times 5} - \dfrac{4}{15}$

$A = \dfrac{10}{15} - \dfrac{4}{15}$

$A = \dfrac{10 - 4}{15}$

$A = \dfrac{6}{15}$

$A = \dfrac{2}{5}$

🔍 Exemple 2

$B = \dfrac{2}{3} \div \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\right)$

On effectue d'abord les parenthèses, puis la division.

$B = \dfrac{2}{3} \div \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\right)$

$B = \dfrac{2}{3} \div \left(\dfrac{2}{4} - \dfrac{1}{4}\right)$

$B = \dfrac{2}{3} \div \dfrac{1}{4}$

$B = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{1}$

$B = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 1}$

$B = \dfrac{8}{3}$

Bilan

✅ Ce que je dois retenir

Simplifier une fraction : diviser numérateur et dénominateur par un même nombre (ou utiliser la décomposition en facteurs premiers).
Additionner / Soustraire : même dénominateur obligatoire.
Multiplier : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux.
Diviser par une fraction : multiplier par son inverse.
Priorités : parenthèses → ×, ÷ → +, −.

⚠️ Erreurs fréquentes

Additionner des fractions en additionnant aussi les dénominateurs : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}$.
Oublier de mettre au même dénominateur avant de soustraire.
Confondre « diviser par $\dfrac{2}{3}$» et « multiplier par $\dfrac{2}{3}$» (il faut inverser).
Oublier les priorités : dans $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} \times \dfrac{4}{5}$, on calcule d'abord le produit.

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