🔢 Puissances de 10 & Écriture scientifique

Fiche de synthèse – décalage de la virgule et notation scientifique

✖️ Multiplier par 10ⁿ 🔬 Écriture scientifique ✏️ Exercices
✖️ Multiplier par une puissance de 10
Multiplier par 10n = déplacer la virgule de n rangs :
n > 0 → vers la droite  |  n < 0 → vers la gauche
→
3,5 × 10² : virgule 2 rangs à droite → 350
←
3,5 × 10⁻² : virgule 2 rangs à gauche → 0,035
🔬 Écriture scientifique a × 10n
1 ≤ a < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule) et n entier.
1
Placer la virgule après le 1er chiffre non nul → obtenir a.
2
Compter le décalage retour : depuis a, combien de rangs pour retrouver le nombre d'origine ? Dans quel sens ?
3
Exposant : droite → positif ; gauche → négatif.
🎨 Code couleur utilisé dans les corrections
3 Partie entière
7 Partie décimale
5 Chiffre qui change de côté
0 Zéro ajouté
1 1er chiffre non nul
, Virgule
→ droite = ×10ⁿ
← gauche = ×10⁻ⁿ
Corrections vues :
0 / 8
✓ Vu

Exercice 1 – Multiplier par 10, 100, 1000…

Multiplier par 10ⁿ Exposant positif
💡 Multiplier par 10n (n positif) = déplacer la virgule de n rangs vers la droite. Si on manque de chiffres, on complète avec des zéros.

Calcule les produits suivants :

a) 4,7 × 10 =
b) 3,05 × 100 =
c) 0,6 × 10 =
d) 1,208 × 10³ =
e) 5,4 × 10² =
f) 0,09 × 10³ =

💡 Indices

Repère l'exposant de 10. C'est le nombre de rangs dont la virgule doit se déplacer vers la droite. Ex : × 10² → virgule avance de 2 rangs.
Pour f), le nombre de départ a des zéros après la virgule. Si tu manques de chiffres lors du décalage, que peut-on faire pour continuer ?
Règle : × 10n (n > 0) → la virgule avance de n rangs vers la droite →

a) 4,7 × 10 = 47

4,7
→ 1 rang à droite
47,
= 47

b) 3,05 × 100 = 305

3,05
→ 2 rangs à droite
305,
= 305

c) 0,6 × 10 = 6

0,6
→ 1 rang à droite
6,
= 6

d) 1,208 × 10³ = 1 208

1,208
→ 3 rangs à droite
1208,
= 1 208

e) 5,4 × 10² = 540

5,4
→ 2 rangs à droite
540,
= 540

f) 0,09 × 10³ = 90

0,09
→ 3 rangs à droite
90,
= 90
✓ Vu

Exercice 2 – Multiplier par 10⁻ⁿ

Multiplier par 10ⁿ Exposant négatif
💡 Multiplier par 10−n = déplacer la virgule de n rangs vers la gauche. Si on manque de chiffres à gauche, on ajoute des zéros après la virgule.

Calcule les produits suivants :

a) 83 × 10⁻¹ =
b) 750 × 10⁻² =
c) 9 × 10⁻¹ =
d) 460 × 10⁻³ =
e) 5 200 × 10⁻² =
f) 4 × 10⁻³ =

💡 Indices

L'exposant négatif signifie que la virgule recule vers la gauche. L'exposant donne le nombre de rangs. Ex : × 10⁻² → virgule recule de 2 rangs.
Pour f), essaie d'abord de repérer où est la virgule dans le nombre 4. Combien de rangs manque-t-il à gauche ? Que faire quand il n'y a plus de chiffres disponibles ?
Règle : × 10−n → la virgule recule de n rangs vers la gauche ←. Si on manque de chiffres, on ajoute des zéros après la virgule.

a) 83 × 10⁻¹ = 8,3

83,
← 1 rang à gauche
8,3
= 8,3

b) 750 × 10⁻² = 7,5

750,
← 2 rangs à gauche
7,50
= 7,5

c) 9 × 10⁻¹ = 0,9

9,
← 1 rang — plus de chiffre entier → on met 0
0,9
= 0,9

d) 460 × 10⁻³ = 0,46

460,
← 3 rangs à gauche
0,460
= 0,46

e) 5 200 × 10⁻² = 52

5200,
← 2 rangs à gauche
52,00
= 52

f) 4 × 10⁻³ = 0,004

4,
← 3 rangs — on ajoute 2 zéros après la virgule
0,004
= 0,004
✓ Vu

Exercice 3 – Grands nombres en écriture scientifique

Écriture scientifique Exposant positif
💡 Place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis détermine combien de rangs il faut aller vers la droite pour retrouver le nombre d'origine.

Écris en écriture scientifique :

a) 3 600 =
b) 85 000 =
c) 207 000 000 =
d) 4 080 =
e) 560 =
f) 9 400 000 =

💡 Indices

Repère le 1er chiffre non nul. Place la virgule juste après lui. Le résultat doit être entre 1 et 10. Exemple : 3 600 → virgule après le 3 → 3,6.
Une fois que tu as trouvé a, imagine que tu "défaisais" ce que tu viens de faire : dans quel sens et combien de rangs faudrait-il décaler la virgule pour retrouver le nombre d'origine ?
Pour c), attention : un zéro peut-il être le « premier chiffre non nul » ? Relis bien la définition de l'écriture scientifique et cherche le bon point de départ dans 207 000 000.

a) 3 600 = 3,6 × 10³

1
Placer la virgule
3600,
→ virgule après le 3 :
3,6
= 3,6 ✓
2
Décalage retour
3,600
→ 3 rangs à droite
Depuis 3,6, il faut aller 3 rangs à droite pour retrouver 3 600.
3
Exposant
Droite → exposant positif
10³
✔3 600 = 3,6 × 10³

b) 85 000 = 8,5 × 10⁴

1
Placer la virgule
8,5
= 8,5 ✓
2
Décalage retour
8,5000
→ 4 rangs à droite
3
Exposant
10⁴
✔85 000 = 8,5 × 10⁴

c) 207 000 000 = 2,07 × 10⁸

1
Placer la virgule
207000000,
→ virgule après le 2 :
2,07
= 2,07 ✓
⚠️ Le 1er chiffre non nul est 2, pas les zéros !
2
Décalage retour
2,07000000
→ 8 rangs à droite
3
Exposant
10⁸
✔207 000 000 = 2,07 × 10⁸

d) 4 080 = 4,08 × 10³

1
Placer la virgule
4,08
= 4,08 ✓
2
Décalage retour
4,080
→ 3 rangs à droite
3
Exposant
10³
✔4 080 = 4,08 × 10³

e) 560 = 5,6 × 10²

1
Placer la virgule
5,6
= 5,6 ✓
2
Décalage retour
5,60
→ 2 rangs à droite
3
Exposant
10²
✔560 = 5,6 × 10²

f) 9 400 000 = 9,4 × 10⁶

1
Placer la virgule
9,4
= 9,4 ✓
2
Décalage retour
9,400000
→ 6 rangs à droite
3
Exposant
10⁶
✔9 400 000 = 9,4 × 10⁶
✓ Vu

Exercice 4 – Petits nombres en écriture scientifique

Écriture scientifique Exposant négatif
💡 Pour les nombres inférieurs à 1 (0,0…), la virgule devra se déplacer vers la droite pour revenir au nombre d'origine → exposant négatif.

Écris en écriture scientifique :

a) 0,053 =
b) 0,000 81 =
c) 0,407 =
d) 0,000 006 =
e) 0,0072 =
f) 0,000 305 =

💡 Indices

Le 1er chiffre non nul d'un nombre comme 0,053 est le 5 (pas les zéros). Place la virgule juste après : 5,3. Depuis 5,3, dans quel sens faut-il aller pour retrouver 0,053 ?
Depuis 5,3, il faut aller vers la gauche (les nombres deviennent plus petits) pour retrouver 0,053. Un déplacement vers la gauche → exposant négatif.
Pour c) 0,407, compare-le aux autres nombres de l'exercice. Est-il vraiment "petit" au sens où la virgule est loin du premier chiffre non nul ? Combien de rangs sépare vraiment 4,07 de 0,407 ?

a) 0,053 = 5,3 × 10⁻²

1
Placer la virgule
0,053
→ virgule après le 5 :
5,3
= 5,3 ✓
2
Décalage retour
5,3
← 2 rangs à gauche
Depuis 5,3, il faut aller 2 rangs à gauche pour retrouver 0,053.
3
Exposant
Gauche → exposant négatif
10⁻²
✔0,053 = 5,3 × 10⁻²

b) 0,000 81 = 8,1 × 10⁻⁴

1
Placer la virgule
0,00081
→ virgule après le 8 :
8,1
= 8,1 ✓
2
Décalage retour
8,1
← 4 rangs à gauche
3
Exposant
10⁻⁴
✔0,000 81 = 8,1 × 10⁻⁴

c) 0,407 = 4,07 × 10⁻¹

1
Placer la virgule
0,407
→ virgule après le 4 :
4,07
= 4,07 ✓
2
Décalage retour
4,07
← 1 rang à gauche
3
Exposant
10⁻¹
✔0,407 = 4,07 × 10⁻¹

d) 0,000 006 = 6 × 10⁻⁶

1
Placer la virgule
0,000006
→ virgule après le 6 :
6,
= 6 ✓
2
Décalage retour
6,
← 6 rangs à gauche
3
Exposant
10⁻⁶
✔0,000 006 = 6 × 10⁻⁶

e) 0,0072 = 7,2 × 10⁻³

1
Placer la virgule
7,2
= 7,2 ✓
2
Décalage retour
7,2
← 3 rangs à gauche
3
Exposant
10⁻³
✔0,0072 = 7,2 × 10⁻³

f) 0,000 305 = 3,05 × 10⁻⁴

1
Placer la virgule
0,000305
→ virgule après le 3 :
3,05
= 3,05 ✓
2
Décalage retour
3,05
← 4 rangs à gauche
3
Exposant
10⁻⁴
✔0,000 305 = 3,05 × 10⁻⁴
✓ Vu

Exercice 5 – De l'écriture scientifique au nombre décimal

Sens inverse Exposants ±
💡 C'est la même règle dans l'autre sens : 10n avec n > 0 → virgule à droite ; n < 0 → virgule à gauche. Le chiffre de l'exposant donne le nombre de rangs.

Calcule et écris le résultat sous forme décimale :

a) 3,7 × 10³ =
b) 5,04 × 10⁻² =
c) 8,1 × 10⁵ =
d) 2,6 × 10⁻³ =
e) 1,09 × 10⁴ =
f) 7 × 10⁻⁵ =

💡 Indices

L'exposant dit tout : son signe donne le sens (droite ou gauche), sa valeur absolue donne le nombre de rangs. Exemple : 3,7 × 10³ → 3 rangs à droite.
Pour f), où est la virgule dans le nombre 7 ? Quand on manque de chiffres en déplaçant la virgule à gauche, quelle est l'astuce pour continuer ?
Rappel symétrie : Si a × 10ⁿ = décimal, alors le décimal en écriture scientifique donne a × 10ⁿ. Les deux opérations sont inverses l'une de l'autre.

a) 3,7 × 10³ = 3 700

3,7
→ 3 rangs à droite
3700,
= 3 700

b) 5,04 × 10⁻² = 0,0504

5,04
← 2 rangs à gauche
0,0504
= 0,0504

c) 8,1 × 10⁵ = 810 000

8,1
→ 5 rangs à droite
810000,
= 810 000

d) 2,6 × 10⁻³ = 0,0026

2,6
← 3 rangs à gauche
0,0026
= 0,0026

e) 1,09 × 10⁴ = 10 900

1,09
→ 4 rangs à droite
10900,
= 10 900

f) 7 × 10⁻⁵ = 0,00007

7,
← 5 rangs à gauche — on ajoute 4 zéros après la virgule
0,00007
= 0,00007
✓ Vu

Exercice 6 – Vrai ou Faux ?

Bilan Les deux notions
💡 Pour chaque affirmation, décide si elle est vraie ou fausse. Si elle est fausse, écris le résultat correct.
a) 2,5 × 10³ = 2 500  → Vrai / Faux
b) 0,0046 = 4,6 × 10⁻²  → Vrai / Faux
c) 6,08 × 10⁻³ = 0,00608  → Vrai / Faux
d) 47 000 = 47 × 10³ est une écriture scientifique  → Vrai / Faux
e) 3,2 × 10² = 3,2 × 10⁻²  → Vrai / Faux
f) 9,1 × 10⁻⁴ = 0,00091  → Vrai / Faux

💡 Indices

Pour vérifier une écriture scientifique, pose-toi deux questions : (1) le nombre a est-il entre 1 et 10 ? (2) n est-il un entier ? Si l'une des deux est "non", ce n'est pas une écriture scientifique valide.
Pour e), essaie de calculer les deux expressions séparément comme tu sais le faire. Sont-elles égales ? Pour b), refais la conversion depuis zéro : applique les 3 étapes sur 0,0046 et compare l'exposant que tu trouves avec celui proposé.
✓ VRAI
a) 2,5 × 10³ : virgule 3 rangs à droite depuis 2,5 → 2 500 ✓
✗ FAUX
b) 0,0046 : virgule après le 4 → 4,6. Depuis 4,6, il faut aller 3 rangs à gauche pour retrouver 0,0046. Donc 0,0046 = 4,6 × 10⁻³, pas 10⁻².
✓ VRAI
c) 6,08 × 10⁻³ : virgule 3 rangs à gauche → 0,00608 ✓
✗ FAUX
d) 47 × 10³ n'est pas une écriture scientifique : 47 n'est pas entre 1 et 10. La bonne écriture scientifique de 47 000 est 4,7 × 10⁴.
✗ FAUX
e) 3,2 × 10² = 320 mais 3,2 × 10⁻² = 0,032. Ces deux valeurs sont très différentes — le signe de l'exposant change tout !
✓ VRAI
f) 9,1 × 10⁻⁴ : virgule 4 rangs à gauche depuis 9,1 → 0,00091 ✓
✓ Vu

Problème 1 – La taille des cellules

Problème Mise en situation
🔬 Au microscope

Un biologiste observe des cellules sous un microscope. Il mesure une cellule musculaire et note : 0,000 1 m.

Sur la même lame, il observe une bactérie qui mesure 0,000 002 m.

Q1. Écris chacune de ces deux mesures en écriture scientifique.

Q2. Sans calculer, laquelle des deux est la plus grande ? Justifie en comparant les exposants.

💡 Indices

Pour chaque nombre, repère le 1er chiffre non nul, place la virgule juste après, puis compte les rangs pour revenir au nombre d'origine.

Q1 – Écriture scientifique

1
Cellule musculaire : 0,000 1 m
0,0001
→ virgule après le 1 → 1,← 4 rangs à gauche
✔0,000 1 m = 1 × 10⁻⁴ m
2
Bactérie : 0,000 002 m
0,000002
→ virgule après le 2 → 2,← 6 rangs à gauche
✔0,000 002 m = 2 × 10⁻⁶ m

Q2 – Comparaison

Cellule : 10⁻⁴  |  Bactérie : 10⁻⁶
−4 > −6 donc 10⁻⁴ > 10⁻⁶ → la cellule musculaire est plus grande que la bactérie. ✓
✓ Vu

Problème 2 – La vitesse de la lumière

Problème Mise en situation
🌟 L'Univers en chiffres

La lumière se déplace à 300 000 km/s dans le vide.

En 1 seconde, elle parcourt donc 300 000 km.

Q1. Écris la vitesse de la lumière en écriture scientifique (en km/s).

Q2. En 1 seconde, la lumière parcourt 300 000 km. Complète le tableau de proportionnalité ci-dessous, puis utilise un produit en croix pour calculer la distance parcourue par la lumière en 1 heure. Donne le résultat en écriture scientifique.

Temps (s) 1 3 600
Distance (km) 300 000 …

💡 Rappel : 1 heure = 3 600 secondes.

💡 Indices

300 000 ressemble aux nombres de l'exercice 3. Quel est le premier chiffre non nul ? Combien de zéros y a-t-il après lui ?
Dans un tableau de proportionnalité, comment calcule-t-on la valeur manquante à partir des trois autres ? Une fois le grand nombre obtenu, rappelle-toi les étapes de l'exercice 3 pour le mettre en écriture scientifique.

Q1 – Vitesse de la lumière : 300 000 km/s

1
Placer la virgule
3,
= 3 ✓
2
Décalage retour
300000,
→ 5 rangs à droite
✔300 000 km/s = 3 × 10⁵ km/s

Q2 – Distance parcourue en 1 heure

Tableau complété :
Temps (s) 1 3 600
Distance (km) 300 000 1 080 000 000
Produit en croix
d = 300 000 × 3 600 ÷ 1
d = 300 000 × 3 600
d = 1 080 000 000 km

Conversion en écriture scientifique

1
Placer la virgule
1080000000,
→ virgule après le 1 :
1,08
= 1,08 ✓
2
Décalage retour
1,080000000
→ 9 rangs à droite
3
Exposant
10⁹
✔En 1 heure, la lumière parcourt 1,08 × 10⁹ km
🏆
Excellent travail !
⭐⭐⭐⭐⭐

Tu maîtrises le décalage de la virgule et l'écriture scientifique. Ces deux outils vont de pair : l'écriture scientifique, c'est simplement un produit par une puissance de 10 bien choisi !

✓ 8 exercices 🔢 Puissances de 10 maîtrisées 🔬 Écriture scientifique maîtrisée
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