🔢 Fiche d'arithmétique n°2

Décompositions · Lots identiques · Fractions irréductibles

3ème · Brevet 3 exercices Décompositions · Lots · Fractions · Division euclidienne

📖 Méthode – ce qu'il faut faire

Trouver le nombre maximum de lots

On décompose chaque quantité en facteurs premiers, puis on repère les facteurs communs à toutes les quantités.

Facteurs communs → barrés en rouge → forment le diviseur commun max

Trouver la composition de chaque lot

Dans chaque décomposition, les facteurs qui ne sont pas communs (après avoir barré les rouges) donnent le contenu de chaque lot.

Facteurs non communs → surlignés en vert → contenu de chaque lot

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Exercice 1 – Lots de fête foraine

Exercice 1 / 3

Décompositions · Lots · Fractions

✓ Vu

Un forrain prépare des lots pour son stand de tir. Il dispose de 180 peluches, 120 figurines et 60 porte-clés. Il veut répartir tous ces articles en lots identiques.

1 Décomposer 180, 120 et 60 en produit de facteurs premiers.

2 a. Peut-il réaliser 24 lots ? Justifier sans calculatrice.
b. Quel est le nombre maximum de lots identiques qu'il peut réaliser ?

3 Donner la composition de chaque lot en utilisant les décompositions.

4 Un client tire une peluche au hasard parmi tous les articles. Calculer la probabilité que ce soit une peluche, et donner la fraction irréductible.

💡 Indices – débloque-les un par un

Q1 : rappelle-toi les critères de divisibilité. Par quel nombre premier commence-t-on en général ? Applique la même méthode aux trois nombres jusqu'à obtenir 1. Q2a : pour tester 24 lots, que doit-on vérifier sur chacune des trois quantités ?

Q2b : quand on veut le plus grand diviseur commun à plusieurs nombres, que cherche-t-on dans leurs décompositions ? Faut-il prendre le plus grand ou le plus petit exposant pour chaque facteur commun ? Q3 : une fois le nombre de lots connu, comment obtenir le contenu de chaque lot ?

Q4 : quel est le nombre total d'articles ? Parmi eux, combien sont des t-shirts ? Pense à utiliser les décompositions déjà trouvées pour simplifier la fraction.

1. Décompositions

180

180	2
90	2
45	3
15	3
5	5
1

180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5

120

120	2
60	2
30	2
15	3
5	5
1

120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5

60	2
30	2
15	3
5	5
1

60 = 2 × 2 × 3 × 5

2a. Peut-il faire 24 lots ?

60 ÷ 24 = 2,5 → 24 ne divise pas 60

Non, 24 lots ne sont pas possibles.

2b. Nombre maximum de lots

On repère les facteurs communs dans les trois décompositions :

● Facteurs communs (en rouge = barrés)

180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
60 = 2 × 2 × 3 × 5

Facteurs communs aux trois : 2 × 2 × 3 × 5 = 60

Le nombre maximum de lots est 60.

3. Composition de chaque lot

Les facteurs non communs (en vert) donnent le contenu de chaque lot :

● Facteurs non communs (en vert = ce qui reste)

180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 → reste 3 → 3 peluches par lot
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 → reste 2 → 2 figurines par lot
60 = 2 × 2 × 3 × 5 → reste 1 → 1 porte-clé par lot

Chaque lot : 3 peluches + 2 figurines + 1 porte-clé

4. Probabilité de tirer une peluche

Total = 180 + 120 + 60 = 360

P(peluche) = 180 / 360

Décompositions : 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 et 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5

180360

2 × 2 × 3 × 3 × 5 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 2

1 2

P(peluche) = 1/2

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Exercice 2 – La biscuiterie

Exercice 2 / 3

Lots · Division euclidienne · Multiples

✓ Vu

Une biscuiterie prépare des boîtes cadeaux. Elle a fabriqué 126 sablés, 84 macarons et 210 financiers. Chaque boîte doit avoir la même composition et utiliser tous les gâteaux.

1 a. Décomposer 126, 84 et 210 en produit de facteurs premiers.
b. Quel est le nombre maximum de boîtes que la biscuiterie peut préparer ?
c. Donner la composition de chaque boîte.

La biscuiterie décide finalement de préparer 21 boîtes.

2 a. Combien de macarons restera-t-il inutilisés ? Justifier par une division euclidienne.
b. Combien de macarons faut-il fabriquer en plus pour pouvoir en mettre dans une boîte supplémentaire ?

La biscuiterie souhaite ajouter des meringues. Elle en a entre 95 et 115 disponibles.

3 Combien doit-elle en mettre au maximum pour que chaque boîte en contienne le même nombre, sans en gaspiller ?

💡 Indices – débloque-les un par un

Q1a : rappelle-toi les critères de divisibilité par 2, 3, 5… Applique-les à chaque nombre pour choisir par où commencer. Q1b : pour qu'un nombre divise les trois à la fois, que doit-on retrouver dans chacune des trois décompositions ?

Q2a : quand on divise 84 macarons en boîtes de 21, que donne la division euclidienne ? Que nous apprend le reste ? Q2b : pour remplir une boîte de plus, combien faudrait-il de macarons supplémentaires ?

Q3 : pour répartir les meringues en parts égales dans 21 boîtes, quel lien doit exister entre le nombre de meringues et 21 ? Quels nombres entre 95 et 115 vérifient ce lien ? Lequel est le plus grand ?

1a. Décompositions

126

126	2
63	3
21	3
7	7
1

126 = 2 × 3 × 3 × 7

84	2
42	2
21	3
7	7
1

84 = 2 × 2 × 3 × 7

210

210	2
105	3
35	5
7	7
1

210 = 2 × 3 × 5 × 7

1b. Nombre maximum de boîtes

● Facteurs communs (en rouge = barrés)

126 = 2 × 3 × 3 × 7
84 = 2 × 2 × 3 × 7
210 = 2 × 3 × 5 × 7

Facteurs communs aux trois : 2 × 3 × 7 = 42

Le nombre maximum de boîtes est 42.

1c. Composition de chaque boîte

● Facteurs non communs (en vert = contenu de chaque boîte)

126 = 2 × 3 × 3 × 7 → reste 3 → 3 sablés par boîte
84 = 2 × 2 × 3 × 7 → reste 2 → 2 macarons par boîte
210 = 2 × 3 × 5 × 7 → reste 5 → 5 financiers par boîte

Chaque boîte : 3 sablés + 2 macarons + 5 financiers

2a. Macarons restants avec 21 boîtes

84 = 21 × 4 + 0

→ 21 × 4 = 84 macarons utilisés, reste = 0

Aucun macaron ne restera inutilisé : 84 est divisible par 21.

2b. Macarons supplémentaires pour une 22ème boîte

22 boîtes × 4 macarons/boîte = 88 macarons nécessaires

Il en manque : 88 − 84 = 4 macarons à fabriquer

Il faut fabriquer 4 macarons supplémentaires.

3. Nombre maximum de meringues (entre 95 et 115)

On cherche un multiple de 21 entre 95 et 115.

21 × 4 = 84 (trop petit) | 21 × 5 = 105 ✓ | 21 × 6 = 126 (trop grand)

La biscuiterie doit utiliser au maximum 105 meringues (= 5 par boîte).

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Exercice 3 – La bibliothèque

Exercice 3 / 3

Fractions irréductibles · Décompositions

✓ Vu

Une bibliothécaire range ses livres en rayons. Elle a 396 romans, 264 bandes dessinées et 132 documentaires. Elle veut former des rayons identiques en utilisant tous les livres.

1 a. Décomposer 396, 264 et 132 en produit de facteurs premiers.
b. Quel est le nombre maximum de rayons identiques ?
c. Donner la composition de chaque rayon.

2 On choisit un livre au hasard. Calculer la probabilité que ce soit un roman. Donner la réponse sous forme de fraction irréductible.

3 Dans une autre section, le rapport entre le nombre de livres en anglais et le nombre total de livres est 315/630. Simplifier cette fraction.

4 Justifier sans calculatrice que la fraction 143/169 est irréductible.

💡 Indices – débloque-les un par un

Q1a : quel est le plus petit des trois nombres ? Commence par lui décomposer. Y a-t-il un lien entre les trois nombres qui pourrait simplifier le travail pour les deux autres ? Q1b : que cherche-t-on dans les décompositions pour trouver le PGCD ? Q2 : quel est le total de billes ? Comment obtenir une fraction irréductible ?

Q3 : y a-t-il un lien visible entre 315 et 630 ? Si oui, comment exploiter cela dans les décompositions ? Q4 : pour montrer qu'une fraction est irréductible, que doit-on chercher (ou ne pas trouver) dans les décompositions de 143 et 169 ?

Q4 : commence par décomposer 169. Est-il divisible par un nombre premier ? Fais de même pour 143. Si les deux décompositions partagent un facteur commun, que cela signifie-t-il pour la fraction ?

1a. Décompositions

132

132	2
66	2
33	3
11	11
1

132 = 2 × 2 × 3 × 11

264

264	2
132	2
66	2
33	3
11	11
1

264 = 2 × 2 × 2 × 3 × 11

396

396	2
198	2
99	3
33	3
11	11
1

396 = 2 × 2 × 3 × 3 × 11

1b. Nombre maximum de rayons

● Facteurs communs (en rouge = barrés)

132 = 2 × 2 × 3 × 11
264 = 2 × 2 × 2 × 3 × 11
396 = 2 × 2 × 3 × 3 × 11

Facteurs communs aux trois : 2 × 2 × 3 × 11 = 132

Le nombre maximum de rayons est 132.

1c. Composition de chaque rayon

● Facteurs non communs (en vert = contenu de chaque rayon)

132 = 2 × 2 × 3 × 11 → reste 1 → 1 documentaire par rayon
264 = 2 × 2 × 2 × 3 × 11 → reste 2 → 2 bandes dessinées par rayon
396 = 2 × 2 × 3 × 3 × 11 → reste 3 → 3 romans par rayon

Chaque rayon : 3 romans + 2 BD + 1 documentaire

2. Probabilité de tirer un roman

Total = 396 + 264 + 132 = 792

P(roman) = 396 / 792

Décompositions : 396 = 2 × 2 × 3 × 3 × 11 et 792 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 11

396792

2 × 2 × 3 × 3 × 11 2 × 2 × 3 × 3 × 11 × 2

1 2

P(roman) = 1/2

3. Simplification de 315/630

315

315	3
105	3
35	5
7	7
1

315 = 3 × 3 × 5 × 7

630

630	2
315	3
105	3
35	5
7	7
1

630 = 2 × 3 × 3 × 5 × 7

315630

3 × 3 × 5 × 7 2 × 3 × 3 × 5 × 7

1 2

315/630 = 1/2

4. La fraction 143/169 est-elle irréductible ?

143

143	11
13	13
1

143 = 11 × 13

169

169	13
13	13
1

169 = 13 × 13

⚠️ 143 = 11 × 13 et 169 = 13 × 13. Le facteur 13 est commun !
La fraction 143/169 n'est pas irréductible.

143169

11 × 13 13 × 13

11 13

La forme irréductible est 11/13.