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Arithmétique – Décompositions, diviseurs, fractions et probabilités

3ème · Brevet 3 exercices Décompositions · Lots · Fractions irréductibles · Probabilités

📖 Ce qu'il faut savoir

Décomposer en facteurs premiers

On divise successivement le nombre par les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11…) jusqu'à obtenir 1.

On écrit le nombre à gauche et le diviseur premier à droite, séparés par une barre verticale.

On continue jusqu'à atteindre 1.

Lots identiques & fractions irréductibles

Le nombre max de lots = le plus grand diviseur commun aux deux quantités. On le trouve grâce aux décompositions.

Pour simplifier une fraction : on repère les facteurs communs (surlignés en rouge), on les barre, et on garde ce qui reste.

Corrections vues :

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Exercice 1 – Cartes Pokémon

Exercice 1 / 3

Décompositions · Lots · Probabilité

✓ Vu

Une collectionneuse possède 252 cartes « feu » et 156 cartes « terre ». Elle veut réaliser des paquets identiques en utilisant toutes ses cartes.

1 a. Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 252 ?

Proposition 1

2² × 9 × 7

Proposition 2

2 × 2 × 3 × 21

Proposition 3

2² × 3² × 7

b. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 156.

2 a. Peut-elle faire 36 paquets ?
b. Quel est le nombre maximum de paquets qu'elle peut réaliser ?
c. Combien de cartes de chaque type contient alors chaque paquet ?

3Elle choisit une carte au hasard parmi toutes ses cartes. Calculer la probabilité que ce soit une carte de type « terre ».

💡 Indices – débloque-les un par un

Q1a : rappelle-toi la définition d'un nombre premier. Tous les facteurs dans une décomposition doivent l'être — passe en revue chacun. Q1b : par quel petit nombre premier commence-t-on toujours en premier lors d'une décomposition ? Pourquoi ?

Q2 : pour faire des paquets identiques, le nombre de paquets doit diviser les deux quantités à la fois. Comment les décompositions en facteurs premiers peuvent-elles t'aider à trouver le plus grand diviseur commun ?

Q3 : combien y a-t-il de cartes en tout ? Parmi elles, combien correspondent à l'événement souhaité ? Pense à utiliser le travail déjà fait pour simplifier ta fraction.

1a. Décomposition de 252

Proposition 1 ✗

2² × 9 × 7
9 = 3² n'est pas premier

Proposition 2 ✗

2 × 2 × 3 × 21
21 = 3 × 7 n'est pas premier

Proposition 3 ✓

2² × 3² × 7
Tous les facteurs sont premiers

1b. Décomposition de 156

156	2
78	2
39	3
13	13
1

156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3 × 13

2a. Peut-elle faire 36 paquets ?

252 ÷ 36 = 7 ✓ 156 ÷ 36 = 4,33… → 36 ne divise pas 156.

Non, elle ne peut pas faire 36 paquets.

2b & 2c. Nombre maximum de paquets

252

252	2
126	2
63	3
21	3
7	7
1

252 = 2² × 3² × 7

156

156	2
78	2
39	3
13	13
1

156 = 2² × 3 × 13

On repère les facteurs communs (en rouge) :

252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
156 = 2 × 2 × 3 × 13

Les facteurs communs sont 2 × 2 × 3 = 12. Le plus grand diviseur commun est donc 12.

Elle peut faire au maximum 12 paquets.
Chaque paquet contient : 252 ÷ 12 = 21 cartes « feu » et 156 ÷ 12 = 13 cartes « terre ».

3. Probabilité d'une carte « terre »

Total de cartes = 252 + 156 = 408

P(« terre ») = 156 / 408

On utilise les décompositions pour simplifier :

156

156	2
78	2
39	3
13	13
1

156 = 2² × 3 × 13

408

408	2
204	2
102	2
51	3
17	17
1

408 = 2³ × 3 × 17

156408

2 × 2 × 3 × 13 2 × 2 × 3 × 2 × 17

13 2 × 17

13 34

P(carte « terre ») = 13/34

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Exercice 2 – Paniers de légumes

Exercice 2 / 3

Lots identiques · Division euclidienne

✓ Vu

José a récolté 39 salades, 78 carottes et 51 aubergines. Il veut préparer des paniers ayant tous la même composition, en utilisant tous les légumes.
On sait que 39 = 3 × 13.

1 a. Décomposer en facteurs premiers les nombres 39, 78 et 51.
b. En déduire le nombre de paniers maximum que José peut préparer.
c. Combien de salades, carottes et aubergines y aurait-il dans chaque panier ?

Finalement, José décide de préparer 13 paniers.

2 a. Combien d'aubergines ne seront pas utilisées ? Justifier.
b. Combien doit-il cueillir au minimum d'aubergines supplémentaires pour pouvoir toutes les utiliser ?

José souhaite ajouter des tomates à ses 13 paniers. Il estime qu'il en a entre 110 et 125 prêtes à être récoltées.

3Combien doit-il en cueillir au maximum pour éviter les pertes et que chaque panier ait toujours la même composition ?

💡 Indices – débloque-les un par un

Q1a : rappelle-toi les critères de divisibilité par 2, 3, 5… Applique-les un par un à chaque nombre pour trouver par quel facteur premier commencer. Q1b : que doit-il se passer pour qu'un nombre soit un diviseur commun aux trois ?

Q2 : quand on répartit 51 aubergines en 13 paniers, qu'est-ce que la division euclidienne te donne comme information ? Que signifie le quotient ? Que signifie le reste ?

Q3 : pour que toutes les tomates se répartissent en parts égales entre 13 paniers, quel lien doit exister entre le nombre de tomates et 13 ? Quels nombres entre 110 et 125 ont ce lien avec 13 ?

1a. Décompositions de 39, 78 et 51

39	3
13	13
1

39 = 3 × 13

78	2
39	3
13	13
1

78 = 2 × 3 × 13

51	3
17	17
1

51 = 3 × 17

1b. Nombre maximum de paniers

On repère les facteurs communs (en rouge) dans les trois décompositions :

39 = 3 × 13 | 78 = 2 × 3 × 13 | 51 = 3 × 17

Le seul facteur commun aux trois est 3. Le plus grand diviseur commun est donc 3.

José peut préparer au maximum 3 paniers.

1c. Composition de chaque panier

Méthode 1 : Division par le plus grand diviseur commun.

Salades : 39 ÷ 3 = 13

Carottes : 78 ÷ 3 = 26

Aubergines : 51 ÷ 3 = 17

Méthode 2 : On reprend les décompositions et on surligne en vert les facteurs non communs — ce sont eux qui restent dans chaque paquet.

39 = 3 × 13   →   13 salades par panier

78 = 2 × 3 × 2 × 13   →   26 carottes par panier

51 = 3 × 17   →   17 aubergines par panier

2a. Aubergines non utilisées avec 13 paniers

51 = 13 × 3 + 12

→ 13 paniers utilisent 13 × 3 = 39 aubergines, il en reste 12.

12 aubergines ne seront pas utilisées.

2b. Aubergines supplémentaires à cueillir

Pour un 14ème panier complet, il faudrait 13 × 4 = 52 aubergines.

Il en manque : 52 − 51 = 1 aubergine.

José doit cueillir 1 aubergine supplémentaire.

3. Nombre maximum de tomates (entre 110 et 125)

On cherche un multiple de 13 entre 110 et 125.

13 × 8 = 104 (trop petit) | 13 × 9 = 117 ✓ | 13 × 10 = 130 (trop grand)

José doit cueillir au maximum 117 tomates (= 13 × 9, soit 9 par panier).

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Exercice 3 – Laboratoire et vaccins

Exercice 3 / 3

Fractions · Simplification · Proportion

✓ Vu

Dans un laboratoire A, cinq groupes de 29 souris ont reçu la même souche de virus. Dans les 3 groupes vaccinés, aucune souris n'est malade. Dans chacun des 2 groupes non vaccinés, 23 souris ont développé la maladie.

1Expliquer pourquoi la proportion de souris malades est 46/145.

2Justifier sans calculatrice pourquoi on ne peut pas simplifier cette fraction.

3Dans un laboratoire B, la proportion de souris malades est 140/870.
a. Décomposer 140 et 870 en produit de facteurs premiers.
b. En déduire la forme irréductible de cette proportion.

💡 Indices – débloque-les un par un

Q1 : fais un bilan rapide : combien de groupes sont vaccinés, combien ne le sont pas ? Combien de souris par groupe ? Q2 : pour montrer qu'une fraction est irréductible, que doit-on vérifier sur son numérateur et son dénominateur ?

Q3a : rappelle-toi les critères de divisibilité. Par quel nombre premier commence-t-on généralement ? Applique la même méthode aux deux nombres. Q3b : une fois les deux décompositions trouvées, qu'est-ce qui doit apparaître dans les deux pour être barré en rouge ?

Une fois les facteurs communs barrés, que reste-t-il au numérateur et au dénominateur ? Comment obtenir la fraction finale ? Et comment s'assurer qu'elle est bien irréductible ?

1. Pourquoi 46/145 ?

Souris malades : 2 groupes × 23 = 46 souris malades

Total de souris : 5 groupes × 29 = 145 souris

Proportion = 46 / 145

2. Pourquoi 46/145 est-elle irréductible ?

46	2
23	23
1

46 = 2 × 23

145

145	5
29	29
1

145 = 5 × 29

46 = 2 × 23 et 145 = 5 × 29. Ces deux nombres n'ont aucun facteur premier commun : la fraction 46/145 est déjà irréductible.

3a. Décompositions de 140 et 870

140

140	2
70	2
35	5
7	7
1

140 = 2 × 2 × 5 × 7

870

870	2
435	3
145	5
29	29
1

870 = 2 × 3 × 5 × 29

3b. Fraction irréductible de 140/870

On repère les facteurs communs (en rouge) puis on simplifie :

140 870

2 × 2 × 5 × 7 2 × 2 × 5 × 3 × 29

7 3 × 29

7 87

La proportion irréductible de souris malades dans le laboratoire B est 7/87.