Dire qu'un nombre entier \(a\) est multiple d'un nombre entier \(b\) signifie qu'il existe un entier \(k\) tel que \(a = b \times k\).
On dit aussi que « \(b\) est un diviseur de \(a\) » ou « \(a\) est divisible par \(b\) ».
Tout nombre entier est divisible par 1 et par lui-même.
| Divisible par | Si et seulement si… | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | Le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. | 348 → unité 8 ✓ |
| 5 | Le chiffre des unités est 0 ou 5. | 235 → unité 5 ✓ |
| 10 | Le chiffre des unités est 0. | 470 → unité 0 ✓ |
| 3 | La somme de ses chiffres est un multiple de 3. | 135 → 1+3+5=9 ✓ |
| 9 | La somme de ses chiffres est un multiple de 9. | 162 → 1+6+2=9 ✓ |
| ÷2 | Chiffre des unités : 5 → ni 0, 2, 4, 6 ni 8 | ❌ Non |
| ÷5 | Chiffre des unités : 5 → 0 ou 5 ✓ | ✓ Oui |
| ÷10 | Chiffre des unités : 5 → pas 0 | ❌ Non |
| ÷3 | \(1+2+5+6+4+7+5 = 30\) → 30 est multiple de 3 ✓ | ✓ Oui |
| ÷9 | \(1+2+5+6+4+7+5 = 30\) → 30 n’est pas multiple de 9 | ❌ Non |
Dire qu'un nombre \(d\) est un diviseur commun de deux nombres entiers \(a\) et \(b\) signifie que \(a\) et \(b\) sont tous les deux divisibles par \(d\).
On liste les diviseurs de chaque nombre :
Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Les diviseurs communs sont : 1, 2, 3 et 6. Le plus grand est 6.
Un nombre premier est un entier qui admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
⚠️ 1 n’est pas un nombre premier (il n’a qu’un seul diviseur).
Liste des nombres premiers :
💡 7 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 7. En revanche, 9 n’est pas premier car \(9 = 3 \times 3\).
On peut toujours décomposer un nombre entier non premier en produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique.
On divise le nombre par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le quotient, jusqu’à obtenir 1.
| 140 | 2 |
| 70 | 2 |
| 35 | 5 |
| 7 | 7 |
| 1 |
| 294 | 2 |
| 147 | 3 |
| 49 | 7 |
| 7 | 7 |
| 1 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 84 | 2 |
| 42 | 2 |
| 21 | 3 |
| 7 | 7 |
| 1 |
| 270 | 2 |
| 135 | 3 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Soit \(a\) et \(b\) deux entiers. La fraction \(\dfrac{a}{b}\) est irréductible si le seul diviseur commun à \(a\) et \(b\) est 1. Autrement dit, la fraction est simplifiée au maximum.
Pour rendre une fraction irréductible :
D’après les décompositions précédentes :
On réécrit les décompositions :
On surligne en rouge les facteurs communs (un 2 et un 7 en haut et en bas) :
Il reste après simplification :
💡 On vérifie que 10 et 21 n’ont pas de diviseur commun autre que 1 : la fraction 10/21 est bien irréductible.
Fraction \(\dfrac{84}{270}\) :
Fraction \(\dfrac{12}{84}\) :