Décomposition en facteurs premiers & plus grand diviseur commun
On divise successivement le nombre par les premiers (2, 3, 5, 7…). On surligne en rouge les facteurs communs aux deux décompositions : leur produit donne le plus grand diviseur commun (= nombre max de lots).
Proportionnalité : f(x) = kx (passe par l'origine, pas de terme constant).
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Exercice 1 – Nems, samossas et tarifs
Exercice 1 / 3
Décompositions · Lots · Fonctions · Tarifs
✓ Vu
Un snack a préparé 162 nems et 108 samossas. Le cuisinier veut réaliser des barquettes identiques en utilisant tous les nems et tous les samossas (même nombre de nems dans chaque barquette, même nombre de samossas dans chaque barquette).
1Décomposer les nombres 162 et 108 en produits de facteurs premiers.
2Déterminer deux diviseurs communs aux nombres 162 et 108 plus grands que 10.
3a. Le cuisinier peut-il réaliser 36 barquettes ? Justifier. b. Quel est le nombre maximal de barquettes qu'il pourra réaliser ? c. Dans ce cas, combien y aura-t-il de nems et de samossas dans chaque barquette ?
4Pour vendre ces nems, le vendeur met en place trois tarifs : Tarif A : 2 € par nem. Tarif B : Payer 15 € à l'entrée, puis 1 € par nem. Tarif C : Payer 27 € à l'entrée, et ne pas payer les nems.
aRemplir le tableau suivant qui détaille le prix selon le tarif :
Nombre de nems
1
2
5
8
Tarif A
Tarif B
Tarif C
bOn considère trois fonctions f, g et h telles que : f(x) = 27, g(x) = 2x, h(x) = x + 15. Associer chaque fonction au bon tarif.
cCalculer l'image de 8 par g. Que représente ce résultat ?
dCalculer l'antécédent de 47 par h. Que représente ce résultat ?
ePour combien de nems les tarifs A et B sont-ils égaux ? Justifier.
5Représenter sur le graphique ci-dessous les fonctions f, g et h pour x ∈ [0 ; 16].
📏 Graduation : Axe des abscisses (x) : 1 carreau = 1 nem | Axe des ordonnées (y) : 1 carreau = 1 €. Place des points pour chaque fonction en utilisant les valeurs du tableau de la question 4a, puis relie-les à la règle.
6Lire graphiquement l'image de 10 par g (laisser les pointillés).
7Lire graphiquement l'antécédent de 25 par h (laisser les pointillés).
8La fonction h est-elle associée à une situation de proportionnalité ? Justifier.
💡 Indices (révèle-les un à un)
Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, par quel nombre premier commence-t-on toujours en premier ? Rappelle-toi les critères de divisibilité que tu connais et applique-les un par un.
Le nombre maximum de barquettes, c'est le plus grand diviseur commun de 162 et 108. Comment les décompositions en facteurs premiers peuvent-elles t'aider à le trouver ?
Pour l'antécédent de 47 par h : quelle équation obtient-on en remplaçant h(x) par 47 ? Pour l'égalité des tarifs A et B : que doit-on écrire pour exprimer que les deux tarifs sont identiques ?
1. Décompositions en facteurs premiers
162
162
2
81
3
27
3
9
3
3
3
1
162 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3
108
108
2
54
2
27
3
9
3
3
3
1
108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
2. Deux diviseurs communs plus grands que 10
On écrit les deux décompositions et on surligne en rouge les facteurs communs :
162 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3
108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Le plus grand diviseur commun = 2 × 3 × 3 × 3 = 2 × 27 = 54.
Deux diviseurs communs plus grands que 10 : 18 (= 2 × 3 × 3) et 27 (= 3 × 3 × 3). On pouvait aussi citer 54.
3. Barquettes
a. 36 divise-t-il 162 et 108 ?
162 ÷ 36 = 4,5 → 36 ne divise pas 162
→ Le cuisinier ne peut pas réaliser 36 barquettes.
b. On relit les décompositions et on surligne en rouge les facteurs communs :
162 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3
108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Le plus grand diviseur commun = 2 × 3 × 3 × 3 = 54.
Le cuisinier peut réaliser au maximum 54 barquettes.
c. On surligne en vert les facteurs qui ne sont pas communs :
f(x) = 27 → prix constant quel que soit le nombre de nems → Tarif C g(x) = 2x → 2 € par nem, pas de frais fixe → Tarif A h(x) = x + 15 → 1 € par nem + 15 € à l'entrée → Tarif B
4c. Image de 8 par g
g(8) = 2 × 8 = 16
L'image de 8 par g est 16. Cela représente le prix à payer avec le tarif A pour 8 nems : 16 €.
4d. Antécédent de 47 par h
On cherche x tel que h(x) = 47, c'est-à-dire :
x+ 15 = 47
− 15
− 15
x = 32
L'antécédent de 47 par h est 32. Cela signifie qu'avec le tarif B, pour 32 nems, on paie 47 €.
4e. Égalité des tarifs A et B
On cherche x tel que les deux tarifs soient égaux :
2x = x + 15
− x
− x
x = 15
Les tarifs A et B sont égaux pour 15 nems. Dans ce cas, chaque tarif coûte 30 €.
5, 6 & 7. Représentation graphique corrigée
Q6. L'image de 10 par g : on lit sur la droite g(x)=2x en x=10 → g(10) = 20 (pointillés verts). Q7. L'antécédent de 25 par h : on part de y=25 sur la droite h(x)=x+15 → on lit x = 10 (pointillés rouges). Vérification : h(10) = 10+15 = 25 ✓
8. Proportionnalité
⚠️ La fonction h(x) = x + 15 n'est pas associée à une situation de proportionnalité, car elle ne s'écrit pas sous la forme h(x) = kx. La droite ne passe pas par l'origine (0 ; 0) : h(0) = 15 ≠ 0.
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Exercice 2 – Programme de calcul
Exercice 2 / 3
Programme de calcul · Image · Antécédent
✓ Vu
On considère le programme de calcul suivant. La fonction f associe à tout nombre de départ x le résultat de ce programme.
1→Choisir un nombre
2→Retrancher 2
3→Multiplier par 5
1Montrer qu'en prenant x au départ, on obtient 5x − 10.
2Calculer l'image de 6 par f.
3Calculer l'antécédent de 3 par f.
💡 Indices
Pour montrer la formule, suis le programme étape par étape avec x : x → (x−2) → 5×(x−2). Développe ensuite.
Pour l'image de 6 : que fait-on avec x dans la formule f(x) pour obtenir l'image ? Pour l'antécédent de 3 : quelle équation traduit « l'image d'un nombre par f vaut 3 » ?
Tu as une équation du type 5x = … Pour isoler x, que doit-on faire des deux côtés de l'égalité ? Le résultat sera-t-il forcément un entier ?
1. Développement du programme
Départ : x
Après « retrancher 2 » : x − 2
Après « multiplier par 5 » : 5 × (x − 2) = 5x − 10
Donc f(x) = 5x − 10 ✓
2. Image de 6 par f
f(6) = 5 × 6 − 10 = 30 − 10 = 20
L'image de 6 par f est 20.
3. Antécédent de 3 par f
On cherche x tel que f(x) = 3, c'est-à-dire :
5x− 10 = 3
+ 10
+ 10
5x = 13
÷ 5
÷ 5
x = 13/5
L'antécédent de 3 par f est 13/5.
📋
Exercice 3 – Tableau de valeurs
Exercice 3 / 3
Tableau de valeurs · Image · Antécédent
✓ Vu
Soit la fonction f définie par : f(x) = 3x + 7
1Remplir le tableau suivant :
x
2
0
f(x)
5
2Faire une phrase avec le mot image et une phrase avec le mot antécédent qui fonctionnent avec ce tableau.
💡 Indices
Pour calculer une image : que remplace-t-on dans la formule de f ? Pour trouver un antécédent : quelle équation traduit « f associe à un nombre la valeur 5 » ?
Pour résoudre une équation du type 3x + 7 = 5, quelle est la première étape pour isoler le terme en x ? Les résultats peuvent-ils être négatifs ou non entiers ?
Les mots « image » et « antécédent » ont des rôles bien distincts. Dans f(2) = 13, quel est le nombre qu'on donne à la fonction, et quel est celui qu'elle renvoie ? Comment intégrer ces deux rôles dans une phrase ?
1. Tableau complété
f(2) = 3 × 2 + 7 = 6 + 7 = 13
f(0) = 3 × 0 + 7 = 0 + 7 = 7
Antécédent de 5 : on cherche x tel que f(x) = 5 :
3x+ 7 = 5
− 7
− 7
3x = −2
÷ 3
÷ 3
x = −2/3
x
2
0
−2/3
f(x)
13
7
5
2. Phrases
Avec le mot image : « L'image de 2 par f est 13. »
(c'est-à-dire f(2) = 13)
Avec le mot antécédent : « L'antécédent de 5 par f est −2/3. »
(c'est-à-dire f(−2/3) = 5)